План-конспект занятия "Логарифмические уравнения, системы уравнений и методы их решения"
Дистанционные курсы повышения квалификации
Методическая разработка по математике
План-конспект занятия
«Логарифмические уравнения, системы уравнений и методы их решения»
Составил: Н.М.Кудина – преподаватель математики.
2011-12 уч. год.
План-конспект занятия.
Тема: Логарифмические уравнения, системы уравнений и методы их
решения.
Учебно-воспитательные задачи.
Дидактическая цель. Сформировать умения и навыки решения
несложных логарифмических уравнений, систем уравнений.
Воспитательная цель. Развивать продуктивное мышление и навыки
самоконтроля в процессе выполнения упражнений. Систематически
обращать внимание н грамотность записей, на умение пользоваться
математической символикой в процессе решения упражнений, усилить
внимание к развитию творческого мышления и повышения интереса к
предмету.
Основные знания и умения.
Знать: определение логарифмического уравнения; основные методы и
приемы решения логарифмических уравнений и систем.
Уметь: решать несложные логарифмические уравнения и системы.
Обеспечение занятия.
Раздаточный материал. Карточки-задания для проверочной работы.
Т.С.О. интерактивная доска.
Методические рекомендации.
Вид занятия. Формулирование умений и навыков.
Мотивация познавательной деятельности. Для активации
познавательной деятельности необходимо создавать проблемные ситуации
при отыскании методов решения логарифмических уравнений и систем в
процессе их решения.
Последовательность изложения нового материала.
1. Определение логарифмического уравнения.
2. Способы решения логарифмических уравнений, систем.
3. Решение логарифмических уравнений и систем логарифмических
уравнений.
План занятия.
Проверка домашнего задания.
Провести проверочную работу. Примерное содержание одного
варианта:
1. Решить уравнения:
2. Решить неравенства:
Ответ:
1. а) 4; б)
; в) 4; г) 0;
.
2. а)
б) (4; ∞).
Повторение опорных знаний.
Повторить с учащимися определение и свойства логарифмической
функции, формулы логарифмирования (потенцирования), формулы перехода
от одного основания логарифма к другому, понятия и теоремы о
равносильности уравнений.
Изучение нового материала.
I. Теоретическая часть
(весь материал идет с показом на интерактивной доске).
Определение: Логарифмическим уравнением называется уравнение,
содержащее неизвестное только под знаком логарифма.
Общего метода решения логарифмических уравнений, как и
показательных, не существует.
Логарифмические уравнения, как и показательные, рассматриваются
только в множестве действительных чисел. Проверка найденных значений
неизвестного по условию уравнения в общем случае является обязательной.
1. Уравнение вида
где х – неизвестное, а «а» и «b» - заданные числа, называется простейшим.
Если а > 0 и а 1, то такое уравнение при любом действительном значении
«b» имеет единственное решение
2. Логарифмическое уравнение
где , после потенцирования приводится к виду
Корнями уравнения
будут только те корни уравнения
, при которых
, т.е. корни,
принадлежащие к области определения уравнения
.
3. Логарифмические уравнения вида
где
- некоторые заданные функции, заменой
приводятся к уравнению
II. Применение знаний при решении типовых примеров и задач.
Решить примеры типа:
а) базовый уровень (тренировочный тест с решением)
По определению
Ответ: x=1.
Ответ: x = 2.
Ответ: x = -0,25.
+ +
-2 -
x
Ответ: x = 2.
Ответ: x = -113.
Ответ: x =
.
Решим это уравнение на уровне равносильных преобразований
Геометрически:
-1 0 x
+ +
-1 -
x
-1 1 x
Ответ: x = 1.
Геометрически:
3 x
1 4 x
Ответ: x = 4.
б) повышенный уровень
10. Решите уравнение
Примем во внимание, что
.
Пусть
. Тогда
Ответ:
.
11. Решите систему уравнений:
т.к. Следовательно,
т.е. система не имеет решения.
*
Следовательно, наша система равносильна совокупности:
Ответ: (2;
).
Тренировочные упражнения.
Базовый уровень.
Решите уравнения:
Решите системы логарифмических уравнений:
Повышенный уровень:
Ответы:
1. x=4;
2. x=11;
3. x=15;
4. x=216;
5.
;
6.
7. x=4;
8. x=64;
9. x=16;
10. x=27;
11. (1; 10);
12. (2; 6);
13. (16; 25), (25; 16);
14. (6; 8), (8; 6);
15. (16; 4).
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание:
1. Повторить основные определения, формулировки и формулы изучаемой
темы.
2. Тренировочные упражнения №1-15.
Анализ усвоения материала:
1. Тренировочные упражнения №1-11 выполнило около 80% учащихся.
2. Тренировочные упражнения № 12-15 – около 5% учащихся.
3. Основные трудности при разборе решения заданий №12-15 в самом
начале: в выборе пути решения (с чего начать?): какие необходимо
выполнить преобразования, состоящие в замене какого-то фрагмента
данного соотношения другим фрагментом на основании конкретной
формулы или свойства, справедливые при имеющихся в данном
соотношении ограничениях.
Поэтому учащимся должны быть предложены следующие
рекомендации:
1. Одно ли основание во всех логарифмах?
2. Приведи все логарифмы к одному основанию. Лучше приводить к
простому постоянному основанию.
3. Встречается ли в уравнении логарифм в степени, под корнем, в
знаменателе дроби или произведение логарифмов?
4. Если есть хотя бы одно из указанных обстоятельств, раздроби
входящие в уравнение логарифмы на возможно мелкие
составляющие с тем, чтобы увидеть замену и перейти к уравнению
без логарифмов.
5. Старайся собрать всё в один логарифм и прийти к соотношению
простейшего вида.
Например, для уравнения вида:
6. Тема вызвала достаточный интерес учащихся.
Литература:
1. Сергиенко Л.Ю., Самойленко П.Н. «Планирование учебного процесса по
математике» - М.: Высшая школа, 2007 г.
2. Н.В. Богомолов «Математика задачи с решениями» - М.: Дрофа, 2010 г.
3. К.И. Мазур «Решебник всех конкурсных задач по математике» под
редакцией М.И. Сканави – Украинская энциклопедия 1995 г. – т. 2.
4. А.Х. Шахмейстер «Уравнения» - Спб.: «ЧеРо-на Неве», 2003 г.
5. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе
математики»: Лекции 1-8. – М.: Пед. Университет «Первое сентября», 2010 г.
6. «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. А.Н. Колмагоров – М.: ВАКО,
2004 г.
7. Журнал (методический) «Математика» №9 октябрь 2012 г.
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Презентация "Показательные уравнения" 11 класс
- Конспект урока "Решение уравнений, содержащих абсолютные величины" 9 класс
- Открытый урок "Уравнения с одной переменной. Метод введения новой переменной" 9 класс
- Конспект урока "Язык уравнений" 7 класс
- Презентация "Язык уравнений" 7 класс
- Конспект урока "Решение показательных уравнений и неравенств"
