Методическая разработка урока "Равносильность уравнений (Логарифмические уравнения)" 11 класс
Министерство образования Тверской области
Муниципальное образовательное учреждение
“Кувшиновская средняя общеобразовательная школа №1”
Методическая разработка урока
Тема: «Равносильность уравнений (Логарифмические уравнения)»
(Открытый урок с использованием ИКТ в рамках подготовки к
ЕГЭ по математике)
Дисциплина «Математика»
Разработала
Малышева Любовь Николаевна,
учитель математики
г. Кувшиново, 2013 г.
2
Тема: Равносильность уравнений. (Логарифмические уравнения) 11 класс.
Цели урока:
1) продолжить изучение способов решения логарифмических уравнений,
уделяя внимание этапам решения, характеристики преобразований,
приводящих к нахождению корней;
2) развивать логическое мышление через приемы сравнения, умение
классифицировать, акцентировать внимание на постановку вопроса в
задании;
3) воспитывать ответственное отношение к учебному труду, дать
рекомендации школьникам, собирающимся сдавать ЕГЭ.
Оборудование:
компьютер, экран, обучающе - демонстрационная программа
«Логарифмические уравнения».
План урока.
I. Организационный момент. (учащиеся садятся за компьютеры, перед
началом урока разделить детей на четыре группы по желанию для работы в
группах.)
- Сегодняшний урок я хотела начать с вопроса: Бывает ли верно равенство
2=3? (заслушать высказывания учеников)
- На прошлом уроке я попросила вас написать свой вес на листочках,
просмотрев их, я пришла к выводу, что в наше время 2 мальчика имеют тот
же вес, что и 3 девочки.
- И в математике, оказывается можно встретить такое. Об этом вам
расскажет____________.
2=3?
«Доказать» это «равенство» можно следующим образом:
4 – 10 = 9 – 15,
4 – 10 +
4
25
= 9 – 15 +
4
25
,
22
2
5
3
2
5
2
,
2 -
2
5
3
2
5
,
2=3. Где ошибка?
(Ответ: ошибка заключается в неравносильном преобразовании при
извлечении квадратного корня:
3
,
2
1
2
5
2
2
1
4
1
2
1
2
5
2
22
2
1
4
1
2
1
2
5
3
22
).
- Тема нашего урока «Равносильность уравнений» и сегодня мы рассмотрим
только решение логарифмических уравнений и их преобразования, которые
могут привести к неверному решению.
II. Актуализация знаний.
- Но сначала посмотрим, достаточно хорошо вы знаете определение
логарифма и его свойства. Для этого предлагаю выполнить тест. (У каждого
ученика бланк для ответов типа бланка для сдачи ЕГЭ, на выполнение
отводится 3-5 мин. Проверку провести с помощью презентации)
Вариант 1.
ЧАСТЬ 1
При выполнении заданий А1 – А5 в бланке ответов №1 под номером
выполняемого задания поставьте знак "
" в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
А1. Найдите значение выражения
7
5
3log
5
1) 5 2) 3
7
3) 3 4)
7
3
А2. Вычислите
8
1
log
4
1
log
2
12
1) 0 2) - 1 3) 1 4) 5
А3. Укажите значение выражения
2log
5
8
8log
5
1) 1 2) 3 3) 2 4) 24
А4. Найдите область определения функции
2
0,5
log 2f x x x
.
1)
0; 2
2)
; 0 2;
3)
0; 2
4)
; 0 2;
4
А5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
252log
7
x
1) (0;5) 2) (5;15) 3) (15;25) 4) (25;100)
Ответы: 2,3,4,1,3
Вариант 2.
ЧАСТЬ 1
При выполнении заданий А1 – А5 в бланке ответов №1 под номером
выполняемого задания поставьте знак "
" в клеточке, номер
которой соответствует номеру выбранного вами ответа.
А1. Найдите значение выражения
2
log 10
1
2
2
.
1)
10
2)
5
3)
2
log 10
4)
20
А2. Вычислите
4
1
log3log2
66
1) 1 2) 2 3) - 1 4) - 2
А3. Укажите значение выражения
4lg
128lg
1)
124lg
2)
32lg
3) 3,5 4) 4
А4. Найдите область определения функции
21log)(
2
1
xxxf
.
1)
;12;
2)
;12;
3)
1;2
4)
1;2
А5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
0logloglg
53
x
1) (1;30) 2) (30;50) 3) (50;100) 4) (100;200)
Ответы: 2,2,3,1,4.
5
III. Систематизация теоретического материала.
- Итак, мы повторили определение и свойства логарифма. А теперь дайте
определение равносильных уравнений, уравнения - следствия. Чем
отличаются эти определения? Опишите схему решения любого уравнения.
(технический этап, анализ решения, проверка) Совпадает ли множество
корней последнего уравнения с множеством корней исходного уравнения?
Задание 1.
- Можно ли сказать, что эти уравнения равносильны?
log
,8
2
2
х
2log
,8
2
х
log
,4
2
х
,2
4
х
х=16.
log
,8
2
2
х
2log
,8
2
х
log
,4
2
х
,2
4
х
х=16 или х = - 16.
Что произошло с одним из корней первого уравнения?
.,0,1,0,log2log
2
Nnbaabnb
a
n
a
Что можно сказать об области определения левой и правой частей свойств
логарифмов?
.0,1,0,logloglog cbaacbcb
aaа
.0,1,0,logloglog
c
b
aacb
c
b
aaа
.,0,1,log
2
1
log
2
Nnbab
n
b
a
a
n
Задание 2. Решить уравнение (на сужение ОДЗ)
46log
2
2
1
xx
x
Задание 3. Решить уравнение
5log
1
log3log
2
5
3
5
x
xx
Какие преобразования в рассмотренных уравнениях приводят к потере
корней?
- деление на выражение с переменной,
- формальное применение логарифмических формул.
Известны ли вам другие преобразования, приводящие к сужению ОДЗ?
- логарифмирование обеих частей уравнения,
- извлечение корня чётной степени.
6
Назовите преобразования, приводящие к расширению ОДЗ, появлению
посторонних корней?
- освобождение от знаменателя, содержащего переменную величину,
- освобождение от знаков корней чётной степени,
- потенцирование.
Перечислите теоремы равносильности, которые гарантируют
равносильность преобразований без дополнительных условий.
- перенос членов уравнения…,
- возведение в нечётную степень,
- показательное уравнение…
IV. Физминутка. (предложить группам сесть за столы)
Математические иллюзии.
Задание 4. (Работа в группах) Представьте, что решая некоторое уравнение,
вы на каком-то шаге переходите от уравнения (1) к уравнению (2). Что
произошло с корнями уравнения (1) при этом переходе?
Поставьте в колонке I знак «+», если при переходе от (1) к (2) ни один из
корней (1) не потерялся, знак « - » - если потерялся;
в колонке II знак «+», если при переходе от (1) к (2) не появилось новых
корней, знак « - » - если они появились;
в колонке III знак «+», если уравнения (1) и (2) равносильны, знак « - » - в
противном случае.
IV. Решение заданий части С.
Задание 5. Решить уравнение
.563log
2005
2
xx
Решение. Можно заметить, что корень уравнения 1. Докажем, что других
корней нет. Функция
xy 3log
2
убывает на своей области определения,
(1)
(2)
I
II
III
1.
xx 3log2log
22
xx 32
+
+
+
2.
32lg1lg xx
321 xx
+
-
-
3.
02ln1ln xx
021ln xx
+
+
+
4.
132log x
x
32 xx
+
-
-
5.
012log
2
2
2
x
x
012log
2
x
x
-
+
-
6.
0
9
log9log
22
x
x
xx
09log2
2
x
+
-
-
7.
xx 73
xx 7ln3ln
+
+
+
8.
12
2
x
x
2ln1ln2 xx
-
+
-
7
т.к. она является композицией убывающей линейной и возрастающей
логарифмической функций. Функция
56
2005
xy
возрастает на
,
.
Следовательно, графики этих функций могут иметь не более одной точки
пересечения. Абсцисса этой точки уже найдена. Получаем, что
единственным корнем уравнения является х=1.
VI. Рефлексия. (Проверь своё внимание!).
1)
?
5
1
log
3
x
2)
3)
4)
5)
Логарифмическая «комедия 2>3».
8
1
4
1
верно? (бесспорно правильно.)
- запишем в виде степени числа
2
1
.
32
2
1
2
1
верно? (не внушает сомнения)
- прологарифмируем обе части по основанию 10:
lg
2
2
1
lg
3
2
1
,
2lg
2
1
3 lg
,
2
1
- сократив на lg
2
1
имеем 2<3.
- В чём ошибка этого доказательства? (при сокращении на lg
,
2
1
необходимо
изменить знак неравенства, т.к. lg
,
2
1
< 0. ) На следующих уроках мы
выясним, какие преобразования используются при решении неравенств.
VI. Итог урока.
- Наш урок заканчивается. Что на нем было самым главным? Что узнали
нового? Преодолели страх сдачи ЕГЭ?
.11,11,0121,121log)(
22
5
xxxxxf
.
2
3log
,23log,53
5
5
2
xx
x
.439
5
5log45log2
33
.lg2lg
2
xx
8
Домашнее задание:
1. Найдите ОДЗ уравнения
.14lg9lg
22
xx
Пустое множество. Т.к. система, определяющая ОДЗ, не имеет решений.
.4
9
2
2
x
x
2.
.05433lg
222
xxxx
(ответ: -1.)
Решение. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и
только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому…
Корни первого уравнения числа -1 и 2. Решения системы содержатся среди
этих чисел, поэтому достаточно проверить, являются ли они корнями второго
уравнения. Подстановка показывает, что корнем второго уравнения яв. число
-1.
