Методическая разработка "Логарифмические уравнения" скачать

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Московский государственный

университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)»

УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА

МАТЕМАТИКА

Методическая разработка по теме

«Логарифмические уравнения»

подготовила

преподаватель

математических дисциплин

Новосёлова Елена Викторовна

2015

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

3

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

4

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

16

ЗАДАНИЯ ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЫ

19

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ

РАЗРАБОТКИ

20

4

ВВЕДЕНИЕ

Методическая разработка составлена в соответствии с государственными

требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников для

специальностей среднего профессионального образования, одобренной и

рекомендованной Департаментом государственной политики и нормативно –

правового регулирования в сфере образования Министерства образования и

науки России в 2008г. Содержание реализуется в процессе освоения

обучающимися 1 курса основной профессиональной образовательной

программы СПО с получением среднего (полного) общего образования,

разработанной в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.

Предлагаемая методическая разработка включает теоретический

материал по теме «Логарифмические уравнения», методику решения разных

типов уравнений, решение типовых примеров, задания для самостоятельной

работы обучающихся по теме с ответами и варианты проверочных работ.

Методическую разработку можно использовать как на уроках, так и для

организации индивидуальной и самостоятельной работы обучающихся, на

дополнительных занятиях и консультациях. В качестве дополнительного

материала она может быть использована на факультативных занятиях по

математике.

Цель методической разработки – помочь обучающимся в освоении

материала по теме «Логарифмические уравнения» и получить необходимые

практические навыки по применению теоретического материала в условиях

конкретного задания.

5

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия и определения

 Уравнение, в котором неизвестное является аргументом логарифмической

функции, называется логарифмическим уравнением.

 Решить логарифмическое уравнение – это значит найти все его корни или

доказать что их не существует.

 Корнем логарифмического уравнения называется значение переменной,

которое принадлежит области допустимых значений уравнения

 

.З.Д.О

и при

подстановке обращает его в тождество.

Для решения логарифмических уравнений необходимо знать

определение логарифма, свойства логарифмической функции, знать и уметь

применять основные свойства логарифмов.

Основные свойства логарифмов

1.

xa

xlog

a



2.

2a1a21a

xlogxlogxxlog 

3.

2a1a

2

1

a

xlogxlog

x

log 

4.

xlognxlog

a

n

a



Применение свойств логарифмов может привести к потере корней,

если их использовать в сторону логарифмирования, или к приобретению

посторонних, если свойства использовать в сторону потенцирования. Это

происходит за счет того, что в формулах 1 − 4 левая и правая части определены

для разных значений х. Поэтому, приступая к решению логарифмического

уравнения необходимо установить О.Д.З. и следить за равносильностью

совершаемых преобразований, или сделать проверку полученных корней.

Например, для свойства 2 можно записать равносильное

преобразование:



21a

xxlog











0xx

xlogxlog

21

2a1a

или



2a1a

xlogxlog















0x

xxlog

2

1

21a

6

Методы решения логарифмических уравнений

1. Простейшее логарифмическое уравнение.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

bxlog

a



,

1a,0a 

О.Д.З.:

x

> 0.

Всегда имеет единственное решение:

b

a

ax

bxlog



2. Логарифмические уравнения, решаемые потенцированием.

Этим методом решается большинство логарифмических уравнений. Если

уравнение, в котором содержатся логарифмические функции различных

аргументов, с помощью равносильных преобразований приводится к виду:

   

xglogxflog

aa



,

1a,0a 

,

то оно решается потенцированием. Учитывая ОДЗ каждой логарифмической

функции, входящей в уравнение, потенцируем:

   

xglogxflog

aa



   

xgxf 

Т.е. от логарифмического уравнения переходим к уравнению с аргументами

логарифмических функций левой и правой частей уравнения, полученных в

результате равносильных преобразований.

3. Логарифмические уравнения, решаемые введением новой переменной.

Уравнение, в котором проводятся алгебраические действия над одной и той же

логарифмической функцией, решается заменой переменной и сводится к

решению простейших логарифмических уравнений. Например, квадратное

уравнение:

0xlogxlog

а

2

а



,

1a,0a 

,

const,, 

, О.Д.З.:

x

> 0

Замена

txlog

a



, причем

 

22

а

2

а

txlogxlog 

.

Решается полученное квадратное уравнение

7

0tt

2



.

Затем производится обратная замена, и решаются простейшие

логарифмические уравнения.

4. Логарифмические уравнения, решаемые логарифмированием.

Рассмотрим логарифмическое уравнение вида

 

 

 

xhxf

xglog

a



,

1a,0a 

.

Логарифмированием обеих частей уравнения по данному основанию а

уравнение такого вида сводится к уравнению относительно одной

логарифмической функции и решается с помощью замены переменной. При

решении такого вида логарифмических уравнений необходимо правильно

устанавливать ОДЗ.

 

 

 

xhxf

xglog

a



, ОДЗ:













.0)x(h

,0)x(g

,0)x(f

Логарифмируем обе части уравнения по основанию а и используем свойства

логарифмов:

 

 

 

xhxf

xglog

a



,

 

 

 

xhlogxflog

a

xglog

a



,

   

xhlogxflog)x(glog

aaa



.

После дальнейших преобразований получится логарифмическое уравнение,

решаемое заменой переменной.

6. Графическое решение логарифмических уравнений.

Решить графически логарифмическое уравнение, значит в одной системе

координат построить графики левой и правой частей уравнения. Корнями

уравнения являются абсциссы точек пересечения построенных графиков

функций.

Примеры

1. Решить уравнение

4xlog

2



.

Устанавливаем О.Д.З.:

0x 

. Рассмотрим 2 способа решения.

8

а) Приводим уравнение к виду, в котором можно потенцировать. Для

этого прологарифмируем правую часть уравнения по основанию 2:

16log2log2log4144

2

4

22



Тогда получится:

16logxlog

2



4x

16x

2





Оба корня входят в О.Д.З. уравнения.

Ответ: {

4

}.

б) Используем свойство логарифмов с учетом О.Д.З. уравнения:

xlognxlog

a

n

a



.

Получаем:

4xlog2

2



2xlog

2



4x

2x

2





Ответ: {

4

}.

2. Решить уравнение

   

11xlog1x2log

33



.

Устанавливаем О.Д.З.:









,01x

,01x2



x > 1.

Используем свойства логарифмов и приводим уравнение к виду, в котором

можно потенцировать.

   

1x3log1x2log

1xlog3log1x2log

3log1xlog1x2log

33

333







Потенцируем:

9

 

1x31x2 

2x 



О.Д.З.

Ответ: {2}.

3. Решить уравнение

 

29x10x2log

2

2x





.

О.Д.З.

















,12x

,02x

,09x10x2

2



х >

2

75

Приводим уравнение к виду, в котором можно потенцировать. Для этого

прологарифмируем правую часть уравнения по основанию

2x 

:

   

2

2x2x

2xlog2xlog2122 



Получаем:

 

2

2x

2

2x

2xlog9x10x2log 



Потенцируем:

 

05x6x

4x4x9x10x2

2x9x10x2

2

22

2







1

x

= 1,

2

x

= 5

х

1



О.Д.З., т.е. не является корнем исходного уравнения, х

2



О.Д.З.

Ответ: {5}.

4. Решить уравнение

02xlogxlog

5

2

5



.

О.Д.З.: x > 0

В это уравнение входит одна и та же логарифмическая функция

xlog

5

.

Делаем замену

txlog

5



, тогда

 

2

5

2

5

txlogxlog 

.

Получаем квадратное уравнение:

10

t

2

+ t – 2 = 0

t

1

= − 2, t

2

= 1

Делаем обратную замену и находим корни логарифмического уравнения:

xlog

5

= − 2

xlog

5

= 1

04,0x 

x = 5

Оба корня входят в О.Д.З. уравнения.

Ответ: {0,04; 5}.

5. Решить уравнение

06

2log

1

xlog16

x

2

16



.

О.Д.З.:











1x

0x

.

Приводим логарифмы к одному основанию:

 

xlog

16

1

xlog

4

1

xlogxlogxlog

2

16

2

16

4

















,

xlog

2log

1

2

x



.

Тогда получаем:

06xlogxlog

16

1

16

2



06xlogxlog

2



Делаем замену

txlog

2



.

t

2

+ t – 6 = 0

t

1

= − 3 t

2

= 2

Обратная замена:

3xlog

2



2xlog

2



x =

8

1

x = 4

Оба корня входят в О.Д.З. уравнения.

11

Ответ: {

81

; 4}

6. Решить уравнение

3

xlg

1

xlg3

xx 



.

О.Д.З.:











0xlg

0x













1x

0x

.

Уравнение такого типа решается логарифмированием обеих частей по

основанию 10 (так как оно уже дано в уравнении).

3

xlg

1

xlg3

xlgxlg 















3

1

10lgxlg

xlg

1

xlg3 















3

1

1xlg3

2



3

4

xlg3

2



9

4

xlg

2



Можно сделать замену

txlg 

, а можно сразу решить уравнение, извлекая

квадратный корень. Получаем два простейших логарифмических уравнения:

3

2

xlg 

3

2

xlg 

3

2

10x





3

2

10x 

3

100

1

x 

3

100x 

Оба корня входят в О.Д.З. уравнения.

Ответ: {

3

100

1

;

3

100

}.

7. Решить уравнение

30log

xlog

2

4

5

165x3 

.

О.Д.З.: x > 0

12

Это логарифмическое уравнение не относится ни к одному из рассмотренных

типов. Проведем равносильные преобразования по свойствам логарифмов.

Используем основное логарифмическое тождество:

x5

xlog

5



 

304416

2

4

30log

2

30log



Получаем уравнение:

3х

2

+ х = 30

3х

2

+ х – 30 = 0

D = 361,

3

10

x

1





О.Д.З. уравнения,

х

2

= 3



О.Д.З.

Ответ: {3}.

8. Решить уравнение

 

8

5,0x

2

1

5,0xlog

8

x

logx4log 



.

О.Д.З.:

















,15,0x

,05,0х

,0x













5,1x

5,0x

Используя свойства, приводим логарифмы к одному основанию и сводим

уравнение к уравнению относительно одной логарифмической функции.

 

88logxlogx4log

2

1





 

83xlog2x4log

2



 

011xlog2xlog4log

2

22



 

11xlog2xlog2

2



Делаем замену

txlog

2



.

 

011t2t2

2



07t6t

2



7t

1



1t

2



Обратная замена:

13

7xlog

2



1xlog

2



128

1

x 



О.Д.З.

2x 



О.Д.З.

Ответ: {2}.

9. Решить уравнение

   

1x2log

1x

1

log3x7log

2

3

22







.

О.Д.З.:















01x2

01x

0x7













.7x

,5,0x



(– 0,5; 7).

Используем свойства логарифмов и приводим логарифмическое уравнение к

виду, в котором можно потенцировать׃

   

1x2log

1x

1

logx7log

2

3

22



















   

1x2log

1x

1

logx7log

222







     

1x2log1xlogx7log

222



     

1xlog1x2logx7log

222



    

1x1x2logx7log

22



  

1x1x2x7 

1x3x2x7

2



06x4x2

2



03x2x

2



3x

1



1x

2



1

x



О.Д.З.

Ответ: {1}.

10. Решить уравнение

5xlg

xlgxlg

xlg1

4

2

22





.

14

О.Д.З.











.0x

,0xlgxlg

2

















.0x

,10x

,1x

Преобразуем логарифмическое уравнение, используя свойства логарифмов:

 

xlg4xlg2xlgxlg

2

222



,

xlg4xlg

4



.

Тогда получим:

5xlg4

xlg2xlg

xlg41

2





Делаем замену

txlg 

5t4

t2t

t41

2





  

 

5t4

t21t

t21t21







5t4

t

t21





01t3t4

2



25D 

1t

1



4

1

t

2



1xlg 

4

1

xlg 

10

1

x 

4

10x 

Оба корня входят в О.Д.З.

Ответ: {

4

10;1,0

}.

11. Решить систему уравнений

 











.2lgxlgylg

,1yxlg

15

О.Д.З.:















.0y

,0x

,0yx

Решить систему двух уравнений с двумя переменными, значит найти пары

значений (х; y), которые при подстановке обращают в тождество каждое

уравнение системы. Оба уравнения системы – логарифмические. Используем

свойства логарифмов и приводим каждое логарифмическое уравнение к виду, в

котором можно потенцировать. Решаем оба логарифмических уравнения и

переходим к системе линейных уравнений:

 











,xlg2lgylg

,1yxlg



 











,x2lgylg

,1yxlg













,x2y

,10yx













,x2y

,10x2x











,x2y

,10x3











.320y

,310x

.

Значения обеих переменных входят в О.Д.З.

Ответ:

 

.320;310

12. Решить систему уравнений

 











.2xylog

,14423

2

yx

О.Д.З.:

0xy 

Систему уравнений можно и удобно решать методом подстановки. Решаем

второе уравнение системы и оттуда выражаем одно из неизвестных. Выражаем

у из второго уравнения и переходим к показательному уравнению во первом:











,2xy

,14423

yx













,2xy

,14423

yx















,2xy

,14423

2xx













,2xy

,144423

xx













,2xy

,366

x













,2xy

,2x











.4y

,2x

Решение системы

 

4;2

удовлетворяет О.Д.З.

Ответ:

 

4;2

.

16

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить уравнения 1 – 30:

1.

4xlog

2



{16}

2.

02xlg 

{0,01}

3.

 

36xlog

3



{15}

4.

 

2x2log

x



Ø

5.

   

3хlog1x2log

55



{4}

6.

 

хlog212xlog

22



{4}

7.

 

0х6logхlog

2

55



{2}

8.

5,0xloglog

24



{4}

9.

 

xlg5,1xlg 

{0,5}

10.

     

2хlog2xlog1xlog

555



{4}

11.

 

24xlgx100xlg

2



{20}

12.

5lg2xlg 

{20}

13.

 

xlog28xlog

33



{9}

14.

   

8lg3xlg4xlg 

{4}

15.

 

241x7xlog

2

1x





{8}

16.

     

3х2logx21log4xlog

555



{− 1}

17.

18lg21xlg4x5lg 

{8}

18.

12

11

xlogxlogxlog

2793



{

3

}

19.

6xlogxlogxlog

3

1

3



{27}

20.

4xlogxlog

5,02



{4}

21.

0xlogxlog2

16

2

16



{1; 4}

22.

xlg23xlg

2



{0,001; 10}

17

23.

03xlog5xlog3

2

4

2

4



{

3

4

; 64}

24.

01xlog20xlog

2

32

2



{

9

2

; 2}

25.

1

xlg1

2

xlg5

1







{100; 1000}

26.

25logxlog

x5



{5}

27.

100x

xlg1





{0,01; 10}

28.

32x

4xlog

2





{

321

; 2}

29.

42xlog4xlog1

42



{8}

30.

 

42xlog2xlog2xlog

2,0

3

5



{3}

Найти произведение корней уравнений 31 − 35:

31.

xlog2xlog416log3

216x



1

32.

364log16log

x2

x

2



3

42

33.

1xlog

x

3

log

2

3x3



31

34.

3

2

xlogxlogxlogxlog

812793



1

35.

x100x

xlg



10

Найти сумму корней уравнений 36 − 40:

36.

55log2xlog2

x5



25 +

5

37.

1

xlg2

2

xlg4

1







110

38.

 

018xlg5xlg

3



1100

39.

 

2x518x2log

2

2x





9

40.

 

221x7xlog

2

3



7

18

Решить системы уравнений 41 − 44:

41.

 













323ylog

2ylog

1x

x

(2; 4)

42.











2xlogy

1xlog2

2

ylog

2

(2; 2)

43.

 











25yx

0xylog

22

3

{(− 4; − 3), (3; 4)}

44.











3ylogxlog

6y9x

22

{12;

32

}

Решить графически уравнения 45 – 48:

45.

x1xlog

2



1

46.

2

x1xlog 

1

47.

 

21xlog

2



5

48.

x2xlog

5,0



0,5

19

ЗАДАНИЯ ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЫ

Варианты проверочной работы использовать как для индивидуальной

работы, так и для работы в микрогруппах. Каждый вариант состоит из двух

заданий. Первое задание содержит три уравнения, второе – систему уравнений.

Решение каждого задания оценивается по пятибалльной системе.

ВАРИАНТ 1.

1. Решить уравнения:

1)

2)5x2(log

6



2)

1)2x(log)1x3(log

44



3)

02

x

1

lgxlg

2



2. Решить систему уравнений:











.27)2y(x

,уlog2хlog

33

ВАРИАНТ 2.

1. Решить уравнения:

1)

03)6x5(log

3

1



2)

5log3x8log

22



3)

3xlogxlog

2

2,0

2

2,0



2. Решить систему уравнений:











.3y2x

,1уlogхlog

5,05,0

ВАРИАНТ 3.

1. Решить уравнения:

1)

1)1x7(log

3



2)

0)2х5lg()5х4lg( 

3)

5,1xlogxlog

4

2

4



2. Решить систему уравнений:











.15y4x

,2уlogхlog

22

Ответы.

Вариант 1. 1.1. {20,5} 1.2. Ø 1.3. {

100;101

} 2. (27; 3)

Вариант 2. 1.1. {6,6} 1.2. {5} 1.3. {

125;51

} 2. (4;

21

)

Вариант 3. 1.1. {

212

} 1.2. {3} 1.3. {3; 9} 2.(16;

41

)

20

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ

1. Башмаков М.И. Математика. Книга для преподавателя: методическое

пособие для НПО, СПО. – М.: Академия, 2013 – 224с.

2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. Пособие для образоват.

Учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Академия, 2013 – 416с.

3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 – 11 кл. / Под ред. Колмогорова

А.Н. – 11 изд. – М.: Просвещение, 2009 – 384 с.

4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа./ Под ред. Яковлева

Г.Н. – М.: Наука, 2008 – 294 с.

5. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных

заведений. – М.: Академия, 2006 – 241 с.

6. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие, 5–е

издание. – М.: Высшая школа, 2009 – 323 с.

Методическая разработка "Логарифмические уравнения"

Математика - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы