Ученики на Учителя.com


Конспект урока-семинара по математикев 11 классе по теме: «Логарифмы. Логарифмические уравнения»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Черемшанская СОШ №1»
Конспект урока-семинара по математике
в 11 классе
по теме:
«Логарифмы. Логарифмические уравнения»
подготовила:
учитель математики
Макарова Юлия Андреевна
Черемшан 2015
Цели урока:
Образовательная цель: обеспечить в ходе урока сознательное повторение
определения логарифма и его свойств. Умение применять эти свойства при решении
различных типов логарифмических уравнений. Показать необходимость глубоких
знаний по данной теме на более сложных уравнениях.
Воспитательная цель: воспитывать сознательное отношение к учебе, повышение
интереса к математике, к исследовательской работе.
Развивающая цель: развивать логическое мышление, математическую речь,
умение сравнивать и делать выводы; совершенствовать навыки работы со
свойствами логарифмов и применять их при решении уравнений.
Методы и приёмы: словесный и наглядный.
Форма работы: индивидуальная, групповая, коллективная, устная, письменная.
По типу: урок-семинар обобщения и систематизации знаний.
Наглядность к уроку и раздаточный материал:
• карточки-тесты с заданиями для самостоятельной работы (приложение 1);
• групповые задания для практической работы (приложение 2);
• учебник «Алгебра и начала анализа 10-11» под редакцией А. Н. Колмогорова.
Ход урока
Класс делится на три группы. Два урока разделены на три части:
1. Повторить определение логарифма, все свойства логарифма и применить эти
свойства при тестировании.
2. Повторить все типы уравнений и решить уравнения.
3. Заслушать доклады "Логарифмические уравнения, требующие глубоких знаний
свойств логарифма".
I. Организационная часть
- приветствие
- подготовка учащихся к уроку
- получение сведений об отсутствующих.
П. Повторение материала
1. Сформулируйте определение логарифма.
logab
а = b, а > 0, а≠1 , b > 0. Как называется это равенство?
2. Вычислить устно (где это возможно).
1) log416 6) log264
log25
2)2 7) logππ
3) log41∕16 8) log√39
4) log0,31 9) log log 9
5) log11 10) log4 log 864
3. Сформулируйте основные свойства логарифмов (написать их на доске).
4. Вычислить устно.
10 1+log5
1) log4 + log25 4) log327 7) 10
log2536 -2log63
2) log211 – log244 5) 5 8) 5
log54 log611
3) log54 6) 3
Примените определение логарифма, свойства логарифма при решении теста.
Тесты для двух вариантов включают по 5 заданий. Вычислите значения
выражений и найдите правильный ответ. (Приложение 1)
Учащиеся меняются карточками для проверки (ответы на доске). Учитель
объявляет оценки.
Ответы:
III. Решение уравнений. (Приложение 3)
IV. Доклады. (Приложение 4)
V. Итог урока. Какие свойства логарифмов вы сегодня повторили?
Какие типы уравнений умеете решать?
Что нового узнали из докладов?
Объявить оценки за работу на уроке. Подвести итоги работы каждой группы
учащихся.
Домашнее задание: № 175 страница 287.
Задания на карточках (Приложение 2)
1
2
3
4
5
I вариант
В
А
Д
Б
Г
II вариант
В
Д
Б
Г
А
Приложение 1.
№
Задание
Б
В
Г
д
Ответ
1
1 – log23 2
(2 )
9∕4
4∕9
4/3
3/9
2
3 – log8
(√10)
8
3√10
8√5
5/4√10
3
log35 - log0,1√6
5 * 100
8√6
27
3√6
18
4
log4√5-1
5
4√5
2
√5
√5
4
2√5
5
-2 log√3√5
3
9
1/5
1/25
2/5
№
Задание
A
Б
В
Г
д
Ответ
1
2 + log34
√3
3
6√3
6
3√3
√3
2
2 - log4
( √3 )
8
4
2√10
5√5
5
3
log255 – log7√5
49
1*1/5
1*2/5
7√5
1*3/5
1*4/5
4
1 – log493
7
2√3
4√7
3
3√7
3
7√3
3
3√3
5
-3 log259
5
1/27
27
1/3
1/9
9
Приложение 2.
Задания на карточках каждой группе.
I Группа.
1. log2x-a(1-x) = 1
x
2. log7(9 - 9) = log78 * 3
2
3. logx(2x + 12x – 11) = 2 + logx8
2 X
4. log5 ( 5 ) + 5 = 3log5X
log2x-2
5. X = 8
II группа.
1. logx(√2x – 1 + 2) = 1
6 + X
2. log7 X - 4 = log3X
3. 1 + log1/39 + log3(5x – a)
4 + log x
4. 31 log X = log X
log5X 2
5. X = 125 X
III группа.
1. logx(3X² - 3X + 1) = 2
_______________
2. log5√X² - 5X + A = log5(X – 1)
3. log2(X – 2) + 1 = log2(X + 7) – log2X
4. logcosx sinx + logsinxcosx = 2
1 + logX
5. X = 100
Приложение 3
III. Решение уравнений. Устно. а) При каких действительных значениях а
и х имеет смысл выражение
а) logax б) loga│x│ в) log│x│а г) logxа²
При каком значении х верно равенство:
X lgx
а) lg10 = x б) 10 = x
Решите уравнения по определению логарифма.
log
1
3
x = 2 log
5
x
= 2
log
1
4
(7x-5) = - 2 log
x
16 = 4
Здесь приведены уравнения, где х содержится либо в основании
логарифма, либо в выражении под знаком логарифма. А давайте
рассмотрим уравнения, в которых X содержится и там, и там.
I тип уравнений: Уравнения решаемые по определению
логарифма.
log
)(xf
g(x) = b
Какими способами можно решить такое уравнение?
I. способ: решить уравнение по определению логарифма и сделать
проверку корней.
II. способ: решить с помощью равносильной системы:
g ( x ) = f ( x )
b
f ( x ) ˃ 0
f ( x ) ≠ 1
Задание №1. Каждой группе решить уравнение I типа.
I. II
log
ax2
(l-x) = 1 log
X
(
12 x
+2) = 1
Ответ: Ответ:
2
1
Ответ: 5.
при a∑(-
;-l)U(-1;2)
х=(1+а)/3,
при а∑{□ 1} и [2;+
) нет корней.
II тип уравнений. Уравнения, решаемые потенцированием. Можно также
решить двумя способами.
log
a
f(x) = log
a
g(x) (a > 0, a
1)
f(x) = g(x)
f(x) > 0 (или g(x) > 0)
III
log
X
(3x
2
-3x + l) = 2
Устно: a) Какой системе равносильно это уравнение lg(3x-6) = lg(4x-10).
Назовите корень уравнения.
б) Не решая уравнения, докажите, что у них нет корней.
log
2
(x-2)=log
2
(2-x).
log
x
4 = log
x
4
Задание №2. Каждой группе решить уравнение.
I. log
7
(9
x
-9) = log
7
8•3
x
II. log
3
4
6
x
x
= log
3
x
III. log
5
axx 5
2
= log
5
(x-1)
Ответ: 2 Ответ: 6 Ответ: при a>4x=(a-1)/3,
при a
4 корней нет.
Устно. Как решить такие уравнения?
a) log
1
2
x
(x
x
+6) = log
1
2
x
(4x
2
-x);
b) log
x
x
3
(x
2
-4) = log
6
2
4
x
(x
2
-4);
c) log
1x
xx 2
2
= log
12
2
x
x
(5-2x).
III тип уравнений. Уравнения, решаемые с применением свойств
логарифмов.
I log
x
(2x
2
+12x-11)=2+ log
x
3 Ответ: 11.
II. 1 + log
3
1
9 + log
3
x = log
3
(5x-a ) Ответ: при a>0 x =
14
3a
, при a
0
- нет
корней.
Ill log
2
(x-2) +1 =log
2
(x+7)-log
2
x Ответ: 3,5
IV тип уравнений. Логарифмические уравнения второй степени относительно
логарифма и уравнения, которые сводятся к уравнениям второй степени. Решаются
методом введения новой переменной.
I II III
log
5
2
(
)
5
x
+5= 3log
5
x
31lg
lgx4
= lgx
log
xcos
sinx + log
xsin
cosx= 2
Ответ: 25; 125. Ответ: 10*
3
10
; 0,1. Ответ:
4
+2
n,
n□Z.
V тип уравнений. Показательно - степенные уравнения решаются логарифмированием
обеих частей уравнения по одному основанию. Показательно - степенными
уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в основании и в
показатели степени.
I II III
х
2
2
log
x
=8 х
x
5
log
=125x
2
х
xlg1
=100
Ответ:
2
1
; Ответ:
5
1
; 125 Ответ: 0,01; 10.
IV. Доклады.
Приложение 4
Доклад №1. Откройте учебник на странице 229 № 498.
При выполнении № 498(б, г) мы доказали равенство:
a
b
c
log
=b
a
c
log
, a>0, b>0, c>0, c
1.
Это равенство промелькнуло в этом упражнении и больше мы его нигде не
использовали. Вот уравнение, в котором при решении используют это равенство.
5x
2
3
log
+2
x
3
log
=24
Заметим, что x
2
3
log
= 2
x
3
log
верно при х > 0,
5*2
x
3
log
+2
x
3
log
=24,
6*2
x
3
log
=24, 2
x
3
log
=4, log
3
x = 2, х = 8. Ответ: 8
Применим эту формулу при решении ещё одного уравнения.
25
xlg
= 5 + 4 •x
5lg
Решение: 25
xlg
=5+4• x
5lg
,x>0
(5
xlg
)
2
=5+4 • x
5lg
=5
xlg
,[
5lg
(5
xlg
)
2
=5+4 • 5
xlg
Пусть 5
xlg
=t (t>0),
t
2
- 4 t - 5 = 0 , D = 36, t
1
=5, t
2
=-1 (не удовлетворяет условию t>0),
5
xlg
=5
1
, lgx=1,x=10,
Ответ: 10.
Доклад №2.
Формальное использование формул логарифма суммы, частного, степени, log
p
a
x
p
может привести как к расширению, так и к сужению области допустимых значений
переменных. Вследствие этого возможны соответственно как появление, так и потеря
корней. Применение формул «справа - налево» приводит к уравнению- следствию (его
ОДЗ шире). В этом случае необходимо проверить принадлежность каждого из найденных
корней ОДЗ исходного уравнения. Применение формул «слева - направо» приводит к
потере корней. Поэтому, чтобы избежать потери корней при использовании формул
свойств логарифма «слева - направо», следует применять более общие формулы, лишь
расширяющие область определения.
log
a
(f(x) • g(x)) = log
a
)(xf
- log
a
)(xg
,
log
a
)(
)(
xg
xf
= log
a
)(xf
- log
a
)(xg
,
log
a
(f(x))
p
=p• log
a
)(xf
, если p - четное число.
Пример.
21og
2
(3x + 5 ) + l o g
2
x
2
= 2 , 21og
2
(3x + 5)+21og
2
|x| = 2, 1og
2
(3x+ 5)
x
=1,(3x + 5)|x| =2
х, х>0
│х│=
- x, x<0
1) x>0 2) x<0
(3x+5)∙x=2 (3x+5)(-x)=2
- 3 x
2
- 5 x =2
Зх
2
+ 5 х - 2=0 3x
2
+5x+2=0
D = 49 D=1
x
1
=
6
75
=-2 x
1
=
6
15
=
3
2
x
2
=
6
75
=
2
1
x
2
=
6
15
=-1
Ответ:
3
1
; -1; -
3
2
II способ:
1og
2
(3x + 5 ) ² + l o g
2
x
2
=2 x² (3x + 5)² = 4 x (3x + 5)= 2
3x+5>0 => 3x + 5 > 0 => x (3x + 5)= - 2 =>
3x + 5 > 0
x =
3
1
x=- 2 x =
3
1
x=- 1 => x=- 1
x = -
3
2
x = -
3
2
3 x + 5 > 0
Ответ:
3
1
; -1; -
3
2
Литература
1. А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. Алгебра и начала
математического анализа 10-11 классы. - Москва: Просвещение, 2011г.
2. А.П. Ершова, В.В. Голобородько. Алгебра и начала анализа. Разноуровневые
дидактические материалы 10-11 классов. – Москва: «Илекса», 2011г
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: