Конспект урока "Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений"
БЮДЖЕТНО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОМСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ Н. Е. ЖУКОВСКОГО»
Урок по теме:
«Логарифмические уравнения.
Способы решения логарифмических
уравнений»
Разработали: Белова О.В., Туголукова Е.А.
Преподаватели БОУ ОО СПО
«Омский авиационный колледж им. Н.Е. Жуковского»
2014
Тема: «Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений»
Цель урока: формирование умения решать логарифмические уравнения разных типов на
основе применения определения логарифма, свойств логарифмов и общих методов решения
уравнений.
Задачи:
а) общенаучная: выбирать рациональные способы решения уравнений, применять
полученные теоретические знания для решения уравнений;
б) воспитательная: воспитывать сознательное отношение к учению, познавательную
активность и интерес к предмету, культуру умственного труда;
в) развивающая: развивать навыки сравнительного анализа, логического мышления, умение
делать обобщения и выводы;
Тип урока: комбинированный
Оборудование и материалы:
1. Тест для первичного закрепления.
2. Раздаточный материал.
3. Оценочный лист.
4. Компьютер.
5. Презентация.
Методы обучения: наглядный, проблемный
Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.
Технологии, используемые на уроке: групповая технология, обучение в сотрудничестве,
информационно-коммуникативная.
План проведения урока:
Этапы урока
Временная реализация
1
Организационный момент.
1мин
2
Проверка домашнего задания
4 мин
3
Проверь себя.
4 мин
4
Историческая справка.
2 мин
5
Изучение нового материала.
12 мин.
6
Первичное закрепление.
8 мин.
7
Обучающая самостоятельная работа
10 мин.
8
Рефлексия
2 мин
9
Подведение итогов
1 мин.
10
Домашнее задание
1 мин
Ход урока.
1. Организационный момент
Изучив определение логарифма, основные свойства логарифмической функции, правила
вычисления логарифмов и их свойства нам необходимо выстроить маршрут для этого
урока .С чего начнем?
2. Проверка домашнего задания
Выступление студентов, подготовивших сообщения по применению логарифмической
функции в быту и жизни (показ презентаций)
Опрос:
1. Что называется логарифмом числа? (Логарифмом положительного числа по основанию
, где , называется показатель степени, в которую надо возвести число ,
чтобы получить число )
2. Какие свойства логарифма вы знаете?
1.
;
2.
;
3.
3. Напишите на доске основное тригонометрическое тождество (
)
3. «Проверь себя и угадай слово»
Вычисли и поставь соответствующую букву (карточка с заданием)
1.
;
2.
;
3. ;
4. ;
5.
6.
7.
;
8.
;
9.
.
Н
Ж
О
Д
Е
П
Р
Е
-1
2
3
-3
100
1
0
100
Таблица ответов (слайд презентации)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Д
Ж
О
Н
Н
Е
П
Е
Р
-3
2
3
-1
-1
100
1
100
0
В результате этой работы каждый студент может оценить себя сам.
Если он решил правильно, то получил имя и фамилию математика-Джон Непер.
4. Историческая справка.
Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как
«искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в
течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки.
Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических
вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы
только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание
чудесных логарифмических таблиц».
5. Изучение нового материала.
Я вам предлагаю решить следующую задачу:
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 5∙10
-6
Ф. Параллельно с
конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 2∙10
6
Ом. Во время работы
телевизора напряжение на конденсаторе U
0
= 25 кВ. После выключения телевизора
напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое
следующим образом:
u
u
RCt
0
2
log
, где
3,2
-постоянная
Определите (в киловольтах), напряжение на конденсаторе, если после выключения
телевизора прошло 46 с.
С какой проблемой мы встретились на этом этапе? (Не возможно решить данное уравнение)
Тема нашего урока: Логарифмические уравнения и способы их решения.
Какие цели можно поставить перед нами?
Ответ: познакомить с приемами решения логарифмических уравнений и научиться их
решать.
Ответьте, пожалуйста, на вопросы:
Вопрос 1. Назовите основные виды уравнений (Линейные, квадратные, биквадратные и
другие целые уравнения; дробно-рациональные уравнения; тригонометрические уравнения;
иррациональные уравнения; показательные уравнения).
Вопрос 2. Назовите основные способы решений, являющиеся общими для уравнений
различных типов (Преобразование уравнения по формулам; разложение на множители;
замена переменной).
Вопрос 3. Назовите основные способы решения показательных уравнений (Решение
простейших показательных уравнений; приведение степеней к одному основанию;
применение формул; разложение на множители; замена переменной).
Сегодня мы изучим ещё один вид уравнений: логарифмические уравнения.
Объяснение нового материала (проводится учителем у доски).
Определение: Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются
логарифмическими.
Методы решения логарифмических уравнений.
• По определению логарифма;
• Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма);
• Решение уравнений с использованием свойств логарифмов;
• Метод введения новой переменной;
• Логарифмирование уравнений;
• Другие методы (функционально-графический, метод приведения к одному
основанию).
Рассмотрим каждый метод более подробно:
1) По определению логарифма.
По определению логарифма решаются простейшие уравнения вида
.
.
Пример 1. Решить уравнение
Решение:
ОДЗ: ,
Используем определение логарифма:
,
,
.
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение
,
Решение:
,
ОДЗ: .
По определению логарифма:
,
,
,
.
Ответ: .
2) Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма).
Решение логарифмического уравнения
основано на том, что данное
уравнение равносильно уравнению
при дополнительных условиях
.
Пример 3. Решить уравнение
.20log27log
3
3
xx
Решение:
ОДЗ:
<
.
Потенцируя получим:
;2027 xx
.3x
Ответ:
.3x
Вернемся к нашей задаче и дорешаем её. (Ответ: 6,25)
3) Решение уравнений с использованием свойств логарифмов.
Пример 4. Решить уравнение
.21log32log4log
222
xxx
Решение:
.21log32log4log
222
xxx
ОДЗ:
.
Вспомним свойства логарифмов – сумма логарифмов двух положительных чисел равна
логарифму произведения этих чисел, поэтому:
xxx 21log324log
22
Освободимся от знака логарифма и решим квадратное уравнение:
,
,
,
.
Согласовав корни с ОДЗ, получим корень .
Ответ: .
4) Метод введения новой переменной.
Пример 5. Решить уравнение
Решение:
ОДЗ:
В данном уравнении повторяется выражение:
. Значит можно выполнить замену
переменной.
Пусть
. Тогда уравнение примет вид
Возвратимся к исходной переменной. Остается решить простейшие логарифмические
уравнения:
Ответ:
.
5) Есть другие способы решения, познакомимся с ними на следующем уроке
(функционально-графический метод, приведение к одному основанию).
6. Первичное закрепление нового материала.
Ученики выполняют тест (Время на выполнение теста – 8 мин)
Тест
по теме: Логарифмические уравнения»
Работа в парах
1. Какое из заданных чисел является корнем уравнения?
Уравнения
Варианты ответов
Правильный ответ
2. Решите уравнения:
№ п.п.
Уравнения
Ответы
1
2
3
4
3. Установите соответствие между уравнениями и методами их решения.
Уравнения
Методы решения
1.
2.
,
3.
,
4.
,
5.
) Решение уравнения с помощью свойств
логарифма;
Замена переменной.
Метод потенцирования
Другие методы.
Проверить в классе. Напротив каждого верного ответа поставьте «+» Критерии оценивания:
11-12 верных ответов – «5»,
9-10 верных ответов – «4»,
7-8 верных ответов – «3»,
6 верных ответов – «2».
7. Обучающая самостоятельная работа
Выполнение заданий по группам.
Решите уравнение,
используя алгоритм
1) найдите ОДЗ,
2) освободитесь от знака
логарифма,
3) решите получившееся
Решите уравнение, используя
алгоритм
1) найдите ОДЗ,
2) преобразуйте левую часть с
помощью свойств логарифма,
3) освободитесь от знака
Решите уравнение,
используя алгоритм
1) найдите ОДЗ,
2) введите
замену,
уравнение,
4) согласуйте найденные
корни с ОДЗ,
5) запишите ответ.
логарифма,
4) решите получившееся
уравнение,
5) согласуйте найденные корни с
ОДЗ,
6) запишите ответ.
3) решите
полученное
уравнение,
4) выполните
обратную
замену,
5) согласуйте
корни с ОДЗ,
6) запишите
ответ.
Решение записывают представители группы (по одному уравнению), с последующим
обсуждением.
Группа 1.
1)
2)
3)
.
,
5) Ответ:
.
Группа 2.
1)
2)
.
3)
4)
,
,
5)
6) Ответ:
Группа 3.
1)
2)
.
3) 2
,
,
.
4)
.
.
5)
.
6) Ответ
.
Работа оценивается следующим образом: 3 задания – «5»,
2 задания – «4»,
1 задание– «3»,
Оцените свою работу на уроке и сдайте оценочный лист.
8. Подведение итогов урока
Мы изучили основные методы решения логарифмических уравнений и научились решать
уравнения данного вида с применением изученных методов.
Оценки за урок выставляются с учетом результатов оценочного листа и устных ответов.
9. Домашнее задание: решить уравнения:
;
;
;
;
Для подготовленных учащихся:
;
.
10. Рефлексия
Чем был полезен наш урок математики для Вас? (Научились решать логарифмические
уравнения разных типов на основе применения определения логарифма, свойств логарифмов и
общих методов решения уравнений).
Предлагается учащимся продолжить фразу:
«Сегодня на уроке мне понравилось…»
«Сегодня на уроке мне не понравилось…»
«Сегодня на уроке мне удалось…»
«Сегодня на уроке мне не удалось…»
Студенты высказываются, с учетом сказанного планируется следующий урок
Список литературы:
1. Ковалева Г. И. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной
сложности с ответами [Текст] / Г. И. Ковалева, Т. И. Бузулина, О. Л. Безрукова, Ю. А.
Розка. – Волгоград.: «Учитель», 2007. – 494 с.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват.
Учреждений. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2001. – 335 с.
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Технологическая карта урока "Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства" 11 класс
- Конспект урока "Решение показательных неравенств" 11 класс
- Презентация "Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции"
- Презентация "Элементарные функции"
- Конспект урока "Исследование функции элементарными методами, построение графика функции" 11 класс
- Методическая разработка урока "Задачи прикладного содержания, решаемые на основе дифференцирования и интегрирования" 11 класс
