Конспект урока "Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений"

БЮДЖЕТНО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ОМСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ Н. Е. ЖУКОВСКОГО»
Урок по теме:
«Логарифмические уравнения.
Способы решения логарифмических
уравнений»
Разработали: Белова О.В., Туголукова Е.А.
Преподаватели БОУ ОО СПО
«Омский авиационный колледж им. Н.Е. Жуковского»
2014
Тема: «Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений»
Цель урока: формирование умения решать логарифмические уравнения разных типов на
основе применения определения логарифма, свойств логарифмов и общих методов решения
уравнений.
Задачи:
а) общенаучная: выбирать рациональные способы решения уравнений, применять
полученные теоретические знания для решения уравнений;
б) воспитательная: воспитывать сознательное отношение к учению, познавательную
активность и интерес к предмету, культуру умственного труда;
в) развивающая: развивать навыки сравнительного анализа, логического мышления, умение
делать обобщения и выводы;
Тип урока: комбинированный
Оборудование и материалы:
1. Тест для первичного закрепления.
2. Раздаточный материал.
3. Оценочный лист.
4. Компьютер.
5. Презентация.
Методы обучения: наглядный, проблемный
Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.
Технологии, используемые на уроке: групповая технология, обучение в сотрудничестве,
информационно-коммуникативная.
План проведения урока:
Этапы урока
Временная реализация
1
Организационный момент.
1мин
2
Проверка домашнего задания
4 мин
3
Проверь себя.
4 мин
4
Историческая справка.
2 мин
5
Изучение нового материала.
12 мин.
6
Первичное закрепление.
8 мин.
7
Обучающая самостоятельная работа
10 мин.
8
Рефлексия
2 мин
9
Подведение итогов
1 мин.
10
Домашнее задание
1 мин
Ход урока.
1. Организационный момент
Изучив определение логарифма, основные свойства логарифмической функции, правила
вычисления логарифмов и их свойства нам необходимо выстроить маршрут для этого
урока .С чего начнем?
2. Проверка домашнего задания
Выступление студентов, подготовивших сообщения по применению логарифмической
функции в быту и жизни (показ презентаций)
Опрос:
1. Что называется логарифмом числа? (Логарифмом положительного числа по основанию
, где , называется показатель степени, в которую надо возвести число ,
чтобы получить число )
2. Какие свойства логарифма вы знаете?
1. 


 
;
2. 

 
;
3. 

3. Напишите на доске основное тригонометрическое тождество (

)
3. «Проверь себя и угадай слово»
Вычисли и поставь соответствующую букву (карточка с заданием)
1. 

;
2.



;
3.   ;
4.  ;
5. 
6. 

7. 

;
8. 

;
9. 
.
Н
Ж
О
Д
Е
П
Р
-1
2
3
-3
100
1
0
Таблица ответов (слайд презентации)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Д
Ж
О
Н
Н
Е
П
Е
Р
-3
2
3
-1
-1
100
1
100
0
В результате этой работы каждый студент может оценить себя сам.
Если он решил правильно, то получил имя и фамилию математика-Джон Непер.
4. Историческая справка.
Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как
«искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в
течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки.
Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических
вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы
только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание
чудесных логарифмических таблиц».
5. Изучение нового материала.
Я вам предлагаю решить следующую задачу:
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 5∙10
-6
Ф. Параллельно с
конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 2∙10
6
Ом. Во время работы
телевизора напряжение на конденсаторе U
0
= 25 кВ. После выключения телевизора
напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое
следующим образом:
u
u
RCt
0
2
log
, где
3,2
-постоянная
Определите (в киловольтах), напряжение на конденсаторе, если после выключения
телевизора прошло 46 с.
С какой проблемой мы встретились на этом этапе? (Не возможно решить данное уравнение)
Тема нашего урока: Логарифмические уравнения и способы их решения.
Какие цели можно поставить перед нами?
Ответ: познакомить с приемами решения логарифмических уравнений и научиться их
решать.
Ответьте, пожалуйста, на вопросы:
Вопрос 1. Назовите основные виды уравнений (Линейные, квадратные, биквадратные и
другие целые уравнения; дробно-рациональные уравнения; тригонометрические уравнения;
иррациональные уравнения; показательные уравнения).
Вопрос 2. Назовите основные способы решений, являющиеся общими для уравнений
различных типов (Преобразование уравнения по формулам; разложение на множители;
замена переменной).
Вопрос 3. Назовите основные способы решения показательных уравнений (Решение
простейших показательных уравнений; приведение степеней к одному основанию;
применение формул; разложение на множители; замена переменной).
Сегодня мы изучим ещё один вид уравнений: логарифмические уравнения.
Объяснение нового материала (проводится учителем у доски).
Определение: Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, называются
логарифмическими.
Методы решения логарифмических уравнений.
По определению логарифма;
Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма);
Решение уравнений с использованием свойств логарифмов;
Метод введения новой переменной;
Логарифмирование уравнений;
Другие методы (функционально-графический, метод приведения к одному
основанию).
Рассмотрим каждый метод более подробно:
1) По определению логарифма.
По определению логарифма решаются простейшие уравнения вида 
.


.
Пример 1. Решить уравнение 
 

Решение: 
 

ОДЗ:  ,
Используем определение логарифма:
 ,
 ,
.
Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение 
 
,
Решение: 
 
,
ОДЗ:  .
По определению логарифма:

 ,
 ,
,
.
Ответ: .
2) Метод потенцирования (освобождения от знака логарифма).
Решение логарифмического уравнения 

 основано на том, что данное
уравнение равносильно уравнению
 при дополнительных условиях
.
Пример 3. Решить уравнение
.20log27log
3
3
xx
Решение:
ОДЗ:
 

<





.
Потенцируя получим:
;2027 xx
.3x
Ответ:
.3x
Вернемся к нашей задаче и дорешаем её. (Ответ: 6,25)
3) Решение уравнений с использованием свойств логарифмов.
Пример 4. Решить уравнение
.21log32log4log
222
xxx
Решение:
.21log32log4log
222
xxx
ОДЗ:
 
 
  







.
Вспомним свойства логарифмов – сумма логарифмов двух положительных чисел равна
логарифму произведения этих чисел, поэтому:
xxx 21log324log
22
Освободимся от знака логарифма и решим квадратное уравнение:
 

 
  

  ,

,


    


  
,
 .
Согласовав корни с ОДЗ, получим корень .
Ответ: .
4) Метод введения новой переменной.
Пример 5. Решить уравнение 
 
 
Решение:
ОДЗ:
В данном уравнении повторяется выражение: 
. Значит можно выполнить замену
переменной.
Пусть 
. Тогда уравнение примет вид
  


Возвратимся к исходной переменной. Остается решить простейшие логарифмические
уравнения:






Ответ:

.
5) Есть другие способы решения, познакомимся с ними на следующем уроке
(функционально-графический метод, приведение к одному основанию).
6. Первичное закрепление нового материала.
Ученики выполняют тест (Время на выполнение теста – 8 мин)
Тест
по теме: Логарифмические уравнения»
Работа в парах
1. Какое из заданных чисел является корнем уравнения?
Уравнения
Варианты ответов
Правильный ответ





  


  
2. Решите уравнения:
№ п.п.
Уравнения
Ответы
1

2


3

 

 
4

 
 
 


3. Установите соответствие между уравнениями и методами их решения.
Уравнения
Методы решения
1. 
  
2.
 
 
 

  
,
3.

,
4.
 


,
5. 
 
 
 
) Решение уравнения с помощью свойств
логарифма;
Замена переменной.
Метод потенцирования
Другие методы.
Проверить в классе. Напротив каждого верного ответа поставьте «+» Критерии оценивания:
11-12 верных ответов «5»,
9-10 верных ответов – «4»,
7-8 верных ответов – «3»,
6 верных ответов – «2».
7. Обучающая самостоятельная работа
Выполнение заданий по группам.
Решите уравнение,
используя алгоритм

 

  
1) найдите ОДЗ,
2) освободитесь от знака
логарифма,
3) решите получившееся
Решите уравнение, используя
алгоритм

 

 


1) найдите ОДЗ,
2) преобразуйте левую часть с
помощью свойств логарифма,
3) освободитесь от знака
Решите уравнение,
используя алгоритм

 
1) найдите ОДЗ,
2) введите
замену,
уравнение,
4) согласуйте найденные
корни с ОДЗ,
5) запишите ответ.
логарифма,
4) решите получившееся
уравнение,
5) согласуйте найденные корни с
ОДЗ,
6) запишите ответ.
3) решите
полученное
уравнение,
4) выполните
обратную
замену,
5) согласуйте
корни с ОДЗ,
6) запишите
ответ.
Решение записывают представители группы (по одному уравнению), с последующим
обсуждением.
Группа 1.
1)
 
  





2)    
3)    

.


,
5) Ответ:
.
Группа 2.
1)
 
 






2) 
 

 


.
3)
 

 

4) 
 ,
 ,


5)



6) Ответ:
Группа 3.
1) 
2) 
.
3) 2
  ,

 
    

  
,
.
4) 

.





.
5)



.
6) Ответ

.
Работа оценивается следующим образом: 3 задания – «5»,
2 задания – «4»,
1 задание– «3»,
Оцените свою работу на уроке и сдайте оценочный лист.
8. Подведение итогов урока
Мы изучили основные методы решения логарифмических уравнений и научились решать
уравнения данного вида с применением изученных методов.
Оценки за урок выставляются с учетом результатов оценочного листа и устных ответов.
9. Домашнее задание: решить уравнения:

 
  ;

  

 
;


 
 
;

 
 ;
Для подготовленных учащихся:

 
 


;


.
10. Рефлексия
Чем был полезен наш урок математики для Вас? (Научились решать логарифмические
уравнения разных типов на основе применения определения логарифма, свойств логарифмов и
общих методов решения уравнений).
Предлагается учащимся продолжить фразу:
«Сегодня на уроке мне понравилось…»
«Сегодня на уроке мне не понравилось…»
«Сегодня на уроке мне удалось…»
«Сегодня на уроке мне не удалось…»
Студенты высказываются, с учетом сказанного планируется следующий урок
Список литературы:
1. Ковалева Г. И. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной
сложности с ответами [Текст] / Г. И. Ковалева, Т. И. Бузулина, О. Л. Безрукова, Ю. А.
Розка. – Волгоград.: «Учитель», 2007. – 494 с.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб. для общеобразоват.
Учреждений. – 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2001. – 335 с.