Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Решение показательных неравенств" 11 класс

Урок алгебры 11 класс
Автор УМК А.Г. Мордкович
Тема урока «Решение показательных неравенств»
Ц е л и : ввести понятие показательного неравенства; изучить теорему о
равносильном переходе от показательного неравенства к алгебраическому;
формировать умения решать простейшие показательные неравенства и
неравенства, сводящиеся к ним; производить подготовку к итоговой аттестации.
Х о д у р о к а
I. Организационный момент.
II. Решение заданий из открытого банка заданий ЕГЭ (сайт ФИПИ).
1. а) Решите уравнение
sin2x+2sinx=3√cosx+3√3.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 3π ; −3π2].
2. Решите уравнение
sin2x+√2sinx=2cosx+√2.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π2].
3. а) Решите уравнение (16
sinx
)
cosx
=4
√3sinx
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].
III. Объяснение нового материала.
1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й .
Выполнив устную работу, учащиеся вспомнили теоремы 2, 4, изученные на
предыдущих уроках:
Если a > 1, то a
x
> 1 x > 0; (a
x
< 1 x < 0);
0 < a < 1, то a
x
> 1 x < 0; (a
x
< 1 x > 0).
2. Вводим определение показательного неравенства – неравенство вида a
f (x)
> a
g (x)
, где a > 0, a 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
3. Метод решения показательного неравенства.
Напоминаем, что для f (x) = a
x
E (f) = (0; +).
Имеем: a
f (x)
> a
g (x)
/ : a
g (x)
> 0
> 1; a
f (x) – g (x)
> 1.
На основе теорем 2 и 4 делаем в ы в о д ы , что если a > 1, то
a
f (x)
> a
g (x)
f (x) > g (x).
0 < a < 1, то a
f (x)
> a
g (x)
f (x) < g (x).
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 40.30, 40.31 (устно).
При выполнении упражнений ученики должны называть основание степени
и определять, больше оно 1 или меньше и на основании этого делать переход к
равносильному алгебраическому неравенству.
2. № 40.32, 40.34, 40.36 (а; б).
В данных упражнениях необходимо обе части неравенства представить в
виде степеней с одинаковыми основаниями.
3. № 40.37 (а; б), 40.38 (а; б).
Данные неравенства сводятся к решению квадратных неравенств.
Решение:
№ 40.37 (б).
;
0,6
6
x
2
– x 6 (так как 0 < 0,6 < 1);
x
2
– x – 6 0;
(x + 2)(x – 3) 0.
О т в е т : [–2; 3].
№ 40.38 (б).
;
< 0,9
–3
x
2
– 4x > –3 (так как 0 < 0,9 < 1);
x
2
– 4x + 3 > 0;
(x – 3)(x – 1) > 0.
О т в е т : (–; 1) (3; +).
4. № 40.39, 40.40.
Неравенства, решаемые методом подстановки.
Решение:
№ 40.40 (а).
3
2x
– 4 · 3
x
+ 3 0.
Пусть 3
x
= t, где t > 0, тогда неравенство примет вид:
t
2
– 4t + 3 0;
(t – 3)(t – 1) 0;
1 t 3;
3
0
3
x
3
1
0 x 1, так как 3 > 1.
О т в е т : [0; 1].
5. № 40.42.
Неравенства вида a
f (x)
> b
f (x)
. Решаются аналогично уравнениям подобного
вида, переход к равносильным неравенствам осуществляется с учетом
основания .
6. № 40.43 (а; б).
Неравенства, решаемые функционально-графическим методом. Учащиеся
должны использовать формулировки «график показательной функции лежит
выше прямой при значениях х, равных...» и т. д.
7. № 40.44 (а; б), 40.45 (а; б), 40.46 (а; б).
При решении данных неравенств используются комбинированные
приемы.
Решение:
№ 40.44 (б).
< 1 > 0, так как 0 < 0,36 < 1.
Решим дробное рациональное неравенство методом интервалов.
О т в е т : .
№ 40.45 (б).
;
–2, так как 0 < < 1.
+ 2 0; 0; 0.
Решим дробное рациональное неравенство методом интервалов.
О т в е т : .
№ 40.46 (б).
9
x
· > 0,25;
; x < 2, так как 0 < < 1.
О т в е т : (–; 2).
8. № 40.47, 40.48 (а; б), 40.49 (а; б), 40.50*.
В данных упражнениях необходимо не только решить показательные
неравенства, но и отобрать решения, удовлетворяющие некоторому условию.
Решение:
№ 40.47 (б).
243;
3
–3
3
2x – 14
3
5
–3 2x – 14 5, так как 3 > 1;
11 2x 19;
5,5 x 9,5.
Отберем натуральные числа, входящие в данный отрезок решений: {6; 7;
8; 9}.
О т в е т : 4.
№ 40.48 (б).
;
7x – 9 3, так как 0 < < 1.
7x 12;
x ;
x 1 .
Наибольшим целочисленным решением неравенства является х = 1.
О т в е т : 1.
№ 40.49 (б).
; 2x
2
– 3x 2, так как 0 < < 1.
2x
2
– 3x – 2 0;
2x
2
– 3x – 2 = 0;
D = (–3)
2
– 4 · 2 · (–2) = 9 + 16 = 25;
x
1
= = 2; x
2
= .
Имеем: 2(x – 2) 0.
В полученный отрезок решений входят целые числа {0; 1; 2}.
О т в е т : 3.
V. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Решите неравенство.
1. 5
–x
> 1250 3. 1.
2. . 4. 5
2x
– 6 · 5
x
+ 5 > 0.
В а р и а н т 2
Решите неравенство.
1. 3
x
> 81 * . 3. 1.
2. . 4. 4
2x
– 5 · 4
x
+ 4 < 0.
Домашнее задание: 40. № 40.33, 40.35, 40.36 (в; г) – 40.38 (в; г), 40.41,
40.43 (в; г) – 40.46 (в; г).
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: