Ученики на Учителя.com


Методическая разработка урока "Задачи прикладного содержания, решаемые на основе дифференцирования и интегрирования" 11 класс

Разработка урока по алгебре и началам анализа (экономический профиль) по теме:
"Задачи прикладного содержания, решаемые на основе
дифференцирования и интегрирования".
Преподаватель: Старикова Светлана Вячеславовна
НП «Техникум экономики и предпринимательства» г. Тамбов.
Тип урока: Семинар.
На семинаре были использованы следующие педагогические технологии:
по концепции усвоения развивающие;
по типу управления познавательной деятельностью система малых групп, обучение
с помощью;
по подходу к учащемуся личностно-ориентированные, деятельностные;
по доминирующему методу проблемно-поисковые, саморазвивающие.
Цели:
1. Обучающие: провести практическое закрепление по теме «Дифференцирование и
интегрирование», проиллюстрировать реализацию межпредметной связи математического
анализа с геометрией, информатикой и физикой. Систематизировать, расширить и
углубить знания по данной теме.
2. Воспитывающие: создание условий для успешного профессионального
самоопределения учащихся посредством решения трудных практических задач ,
воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств, средствами углубленного
изучения математики.
3. Развивающие: расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления,
формирование активного познавательного интереса к предмету, развитие
профессиональных интересов учащихся, развитие навыков самостоятельной и
исследовательской деятельности, развитие рефлексии учащихся (осознание своих
склонностей и способностей, необходимыми для будущей профессиональной
деятельности). Способствовать развитию умения сравнивать, обобщать,
классифицировать, анализировать, делать выводы. Побуждать учащихся само- и
взаимоконтролю, воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в
достижении цели.
Оборудование: экран, кодопозитивы, магнитная доска, папки с приложениями,
индивидуальные оценочные листы.
Урок происходит по этапам. Результаты каждого этапа учащимся заносят в оценочные
листы:
Урок
Ф.И. учащегося
Этапы
Задания
Количество
баллов (n)
Итоговое
количество
Замечания
баллов (n)
I
Повторение
0-25
Домашнее
задание
0-20
II
Математическая
эстафета
0-20
Аукцион задач
0-20
III
Тренажер
0-20
IV
Из истории
0-20
V
Синквейн
0-10
VI
Подведение
итогов.
Рефлексия
Отметка
Оценка за урок зависит от суммы набранных баллов по всем заданиям.
Первый этап
Повторение
Учащиеся в парах повторяют теорию по теме и отвечают друг другу на вопросы.
Правильный ответ оценивается в один балл.
Применение интеграла и производной.
Таблица 1
Вычисление производной
a(t) =
2
1
()
t
t
s t dt
2
1
()
t
t
a t dt
F(x) = A'(x)
N(t) = A'(t)
2
1
()
x
x
A F x dx
2
1
()
t
t
A N t dt
(x) = m'(x)
2
1
()
x
x
m x dx
I(t) = q (t)
2
1
()
t
t
q J t dt
c(t) = Q'(t)
2
1
()
t
t
Q c t dt
F(x) = A'(x)
2
1
()
x
x
A F x dx
F(p) = A'(p)
Е(p) = A'(p)
Первообразная и интеграл.
1) F(x) - первообразная для f(x) на множестве Х если F'(x) = f(x) для всех x X. Если F(x) -
первообразная для f(x) на множестве X, то F(x) + c - множество всех первообразных для
f(x) на множестве X. Это множестве первообразных называют неопределенным
интегралом и обозначают
( ) ( ) .f x dx F x C
2) Таблица первообразных и интегралов
Производная
Функция
Первообразная
Промежуток
0
K
kx + C
R
1
1
n
x
C
n
,
, ( ;0) (0; )
: 0, 0;
n N x R
n N x
n Z n x


0, (0; )nx
0
1
xC
R
-sinx
cosx
sinxC
R
Cosx
sinx
cosxC
R
tgx C
;
22
n n n Z





ctgx C
( ; ),n n n Z

1
C
x

( ;0) (0; )x
2 xC
x<0
x
2
3
x x C
x>0
1
x
In x C
R
+
x
eC
R
,0
x
a
Ca
Ina

R
Таблица 2
3) Правила вычисления первообразных
- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная для
f+g.
-Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.
Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k 0, то есть
1
()F kx b
k
есть первообразная для f(kx+b).
4)
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a
- формула Ньютона-Лейбница.
5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на
промежутке [a;b] функций
1
()fx
и
2
()fx
таких, что
2
()fx
1
()fx
для всех x [a;b]
вычисляется по формуле
21
( ( ) ( )) .
b
a
S f x f x dx
6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой
y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу, вычисляются
соответственно по формулам:
2
()
B
x
A
V f x dx
или
2 ( )
B
y
A
V xf x dx
6)
Предельные показатели в микроэкономике
Приведем примеры двух предельных показателей в микроэкономике.
1. Первый из них связан с зависимостью себестоимости С произведенной продукции от
ее объема Q: С = f(Q). Так называемая предельная себестоимость характеризует
себестоимость ΔC прироста продукции ΔQ:
В предположении о непрерывной зависимости ΔС от ΔQ естественно напрашивается
замена разностного отношения в (5.13) его пределом:
Обычно в приложениях с использованием аппарата математики под предельной
себестоимостью понимают именно величину (5.13а).
Например, пусть зависимость издержек производства от объема выпускаемой
продукции выражается формулой
Определим средние и предельные издержки при объеме продукции Q = 15 ден. ед.
А) Функция средних издержек на единицу продукции определяется по формуле
C
=
C/Q, или в нашем случае
откуда
C
(15) = 40 - 0,03 ∙ 225 = 33,25 ден. ед.
Б) Предельные издержки определяются, согласно (5.13а), по формуле
откуда при Q = 15 получаем С' (15) = 19,75 ден. ед.
Иными словами, при средних издержках на производство единицы продукции в 33,25
ден. ед. дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции
составят 19,75 ден. ед. и не превысят средних издержек.
2. В анализе и прогнозах ценовой политики применяется понятие эластичности
спроса. Пусть D = f(Р) — функция спроса от цены товара Р (см. п. 3.1). Тогда под
эластичностью спроса понимается процентное изменение спроса при изменении цены
товара на один процент:
Как и в предыдущем случае, в случае непрерывной зависимости ΔD от ΔQ удобно
перейти к пределу при ΔР
0:
Аналогичное понятие можно ввести и для функции предложения S(P). Напомним, что
функция D(P) убывает, а функция S(P) возрастает с ростом цены Р.
Сообщение подготовлено учеником каждого ряда
Историческая справка Трудность интегрирования по сравнению с
дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных
функций не всегда выражаются через элементарные, могут не выражаться, как говорят, «в
конечном виде». И. и. располагает лишь отдельными приёмами интегрирования в
конечном виде, область применения каждого из которых ограничена (способы
интегрирования излагаются в учебниках математического анализа: обширные таблицы
интегралов приводятся во многих справочниках).
Историческая справка. Возникновение задач И. и. связано с нахождением площадей и
объёмов. Ряд задач такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная
математика предвосхитила идеи И. и. в значительно большей степени, чем
дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл
Исчерпывания метод, созданный Евдоксом Книдским (См. Евдокс Книдский) и широко
применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания
интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма И. и.
Учёные Среднего и Ближнего Востока в 9—15 вв. изучали и переводили труды Архимеда
на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в И. и.
они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более
скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой
Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и
определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском
и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним
из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный «неделимых»
метод (См. Неделимых метод) был возрожден И. Кеплером. В более общей форме идеи
этого метода были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Валлисом, Б. Паскалем (См.
Паскаль). Методом «неделимых» был решен ряд геометрических и механических задач. К
этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по
квадрированию парабол n-й степени, а затем — работы Х. Гюйгенса по спрямлению
кривых.
В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при
решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам
как к геометрическому эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в
цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами
на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и
интегрированием. Основные понятия и алгоритм И. и. были созданы независимо друг от
друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Последнему принадлежит термин «интегральное
исчисление» и обозначение интеграла ∫ydx.
Проверка домашнего задания
Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. 5 ребят заранее
заготавливают по одному примеру на карточках для кодоскопа из домашнего задания и
комментируют их решение.
Предварительное домашнее задание
1) Материальная точка массы m = 1 кг движется по прямой под действием силы,
которая меняется по закону F(t) = 8 – 12 t н. Найдите закон движения точки, если в
момент времени t = 1 секунде, её координата равна 0 и скорость равна 1 м/сек. В
какой момент времени скорость точки будет максимальной?
Решение.
1. F = ma?
2.
3. x (t) =
23
2
42t t t c
, так как x (0) = 0, то
2
c
= 0.
Значит x (t) =
23
42t t t
.
4. Найдем момент времени, когда скорость точки будет максимальной
8 – 12t = 0,
t =
2
3
Ответ: x (t) =
23
42t t t
,
t =
2
3
с.
2) Материальная точка движется по закону. Найти скорость и ускорение в момент
времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
3) При каком а выполняется равенство
2
1 2 4
33
a
a
x
dx

?
Решение.
2 2 2 2
2
22
1 2 1 2 1 2 3
()
3 3 3 3 3 3 3 6 12 12
aa
a
a
aa
x x a a a a a a
dx x dx x


По условию задачи
2
2 3 4
12 3
aa

, откуда
1
2a 
,
2
2
2
3
a
.
Ответ: -2;
2
2
3
.
4) Вычислить интеграл
0
sin 2 cos3x xdx
Решение
00
1 1 1 4
sin2 cos3 (sin5 sin ) (cos5 cos )
2 2 5 0 5
x xdx x x dx x x





Ответ:
4
5
.
Задача 5. Объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией
, t– время, ч
Вопрос: почему после третьего часа работы мы наблюдаем спад производительности
труда? (Сделать вывод)
Каждое правильное выполнение задание оценивается от 1 до 5 баллов.
Вопросы по теме «Дифференцирование. Первообразная. Интеграл.»
1. В чем состоят трудности интегрального и дифференциального исчисления?
2. Сформулируйте взаимосвязь интегрального и дифференциального исчисления.
3. Дайте определение первообразной.
4. Сформулируйте основное свойство первообразных.
5. В чем заключается геометрический смысл основного свойства первообразной?
6. Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
7. Какую фигуру называют криволинейной трапецией?
8. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.
9. Объясните, что такое интеграл?
10. В чем заключается геометрий смысл интеграла?
11. Запишите формулу Ньютона- Лейбница.
12. Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и
физике.
13. Назовите несколько примеров применения дифференцирования в геометрии и физике.
14. Какая связь существует между операциями дифференцирования и интегрирования?
Второй этап
Математическая эстафета
Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок (таблица 3) с 10
заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые два
задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда учитель
получается листок с правильно выполненными 10 заданиями.
Таблица 3
Математическая эстафета.
1 ряд
2 ряд
3 ряд
1.
xdx
(1б)
1.
1
7
dx
(1б)
1.
( 6)dx
(1б)
2.
5
x
dx
(1б)
2.
2
xdx
(1б)
2.
1
3
xdx
(1б)
3.
5
x dx
(1б)
3.
7
x dx
(1б)
3.
10
x dx
(1б)
4.
6
7x dx
(1б)
4.
5
5
x dx
dx
(1б)
4.
10
11x dx
(1б)
5.
3
(7 1)x dx
(2б)
5.
2
(2 1)x dx
(2б)
5.
4
(3 2 )x dx
(2б)
6.
10sin 5xdx
(2б)
6.
3cos3xdx
(2б)
6.
2
4
sin 2
3
dx
x



(2б)
7.
2
3(5 1)x dx
(2б)
7.
3
4(5 6 )x dx
(2б)
7.
2
7(2 9 )x dx
(2б)
8.
3
dx
x
(2б)
8.
4
dx
x
(2б)
8.
7
x dx
(2б)
9.
43
x dx
(2б)
9.
3
xdx
(2б)
9.
7
x dx
(2б)
10.
5
57
dx
x
(3б)
10.
4
3
(8 7 )
dx
x
(3б)
10.
32
2 (7 3 )x dx
(3б)
Таблица 4
Ответы к математической эстафете
1 ряд
2 ряд
3 ряд
1.
2
2
x
c
1.
1
7
xc
1. -6x+c
2.
2
10
x
c
2.
2
4
x
c
2.
2
6
x
c
3.
6
6
x
c
3.
8
8
x
c
3.
11
11
x
c
4.
7
xc
4.
6
30
x
c
4.
11
xc
5.
2
7
2
x x c
5.
3
(2 1)
6
x
c
5.
5
(3 2 )
10
x
c

6.
2cos5xc
6.
sin3xc
6.
2 ( 2 )
3
ctg x c

7.
3
(5 1)
5
x
c
7.
4
(5 6 )
6
x
c

7.
3
7(2 9 )
27
x
c

8.
2
1
2
c
x

8.
3
1
3
c
x

8.
6
1
6
c
x

9.
43
4
7
x x c
9.
3
3
4
x x c
9.
4
2
9
x x c
10.
2 5 7xc
10.
3
1
7(8 7 )
c
x
10.
32
2
(7 3 ) (7 3 )
5
x x c
Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания. Проверка работ
осуществляется с помощью таблицы (таблица 5).
Ученики распределяют между собой заработанной количество баллов, выставляют их в
оценочные листы.
Аукцион задач
(проверка решения с помощью кодоскопа)
1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y =
2
x
и касательными,
проведенными к графику в точках
1
1x 
и
2
2x
(5 баллов).
2) В каком отношении парабола y =
2
x
делит площадь прямоугольника, вершины которого
находятся в точках A(0;0) B(3;0) C(3;9) D(0;9)? (5 баллов).
3) Доказать, что функция удовлетворяет данному уравнению
(4 балла).
4)Найдите объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапецией,
ограниченной линиями y =
1x
, y = 1, x = 0, x = 1 (4 балла).
5)Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой
продукции x (ед.) выражается функцией y = 10x - 0,04x3. Определить средние и
предельные издержки при объеме продукции, равном 5 ед.
6) Задача. Производительность труда рабочего времени в течение смены приблизительно
выражается функцией. где х – время (ч) , .
Вычислить объем выпуска продукции в течение месяца, если количество рабочих дней
равно 24. (Ответы округлять до целых )
В течение месяца объем выпуска составит
(Составить и решить задачу по аналогии)
Ответы: 1) 2 ; 2) 1:3;
3)
5) Ответ: 9 ден. ед.; 7 ден. ед.
Третий этап
Тренажер.
Работа проводится по трем вариантам, в каждом из которых по четыре задания. Решая,
ученик записывает варианты ответа на листе ответов. По истечении времени, отведенного
на тренажер, учащиеся обмениваются листами и проводят быструю взаимопроверку.
Учитель демонстрирует кодопозитив с ответами к заданиям теста. Каждое правильно
решенное задание оценивается двумя баллами. Результаты заносятся в оценочный лист.
Вариант 1
1. Найти производную функции
24sin
36
xy
.
2. Найти производную третьего порядка функции
xxy 5cos3
4
.
3. Написать уравнение касательной к графику функции
x
xf
3
)(
в
точке с абсциссой
1
0
x
,
1
0
x
.
4. Материальная точка движется по закону
ttttx 52
3
1
)(
23
. Найти
скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 2
1. Найти производную функции
96cos
24
xy
.
2. Найти производную третьего порядка функции
xxy 3sin2
5
.
3. Написать уравнение касательной к графику функции
2
2)( xxxf
в точке
с абсциссой
0
0
x
,
2
0
x
.
4. Материальная точка движется по закону
23
4)( tttx
. Найти скорость и
ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Вариант 3
1. Найти производную функции
133
45
xtgy
.
2. Найти производную третьего порядка функции
x
exy
53
4
.
3. Написать уравнение касательной к графику функции
1)(
2
xxf
в
точке с абсциссой
0
0
x
,
1
0
x
.
4. Материальная точка движется по закону
24
4
1
)( tttx
. Найти скорость
и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)
Четвертый этап
Из истории
Группа учащихся готовит сообщение о происхождении терминов и обозначений по теме
«Первообразная. Интеграл. Дифференцирование», из истории интегрального исчисления,
о математиках, сделавших открытия по данной теме.
Пятый этап
Написать: СИНКВЕЙН
1.Тема называется одним словом (существительное)
2. Описание темы в двух словах (прилагательное)
3. Описание действия в рамках темы тремя словами (глаголы, деепричастия)
4. Это фраза из 4 - слов, показывающая отношение к теме
5. Синоним из одного слова
Подведение итогов
Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели, называет лучших учеников, лучшую
команду, называет оценки, отмечает вопросы, по которым ребятам еще нужно работать,
указывает на основные ошибки, планирует индивидуальную работу с теми учащимися,
которые допустили ошибки.
Литература
1. Дадаян, А.А. Математика. - М.: ФОРУМ: ИНФРА, 2007.
2. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике. - М.: ФОРУМ: ИНФРА, 2007.
3. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов средних школ.
Москва 2007.
4. Алтынов П.И., Звавич Л.И., Медяник А.И., Математика 2600 тестов и проверочных
заданий по математике для школьников и поступающих в вузы. Москва 2005.
5. Максимовская М.А., Пчелинцев Ф.А., Уединов А.Б., Чулков П.В. Тесты по математике 5 –
11 классы. Москва 2005.
6. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Пчелинцев Ф.А.
7. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа.
Москва 2006.
8. Егерев В.К., Зайцев В.В., Курдемский Б.А. Сборник по математике для поступающих во
втузы под редакцией Сканави М.И.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10 – 11. Москва 2007.
10. Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа.
Москва «Просвещение» 2006.
Интернет ресурсы:
1. http://festival.1september.ru/
2. http://www.fepo.ru
3. www.mathematics.ru
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: