Методическая разработка по теме "Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле" скачать

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Московский государственный

университет экономики, статистики и информатики (МЭСИ)»

УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА

МАТЕМАТИКА

Методическая разработка по теме

«Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле»

подготовила

преподаватель

математических дисциплин

Новосёлова Елена Викторовна

2015

2

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

3

МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

4

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

7

ЗАДАНИЯ ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЫ

9

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ

РАЗРАБОТКИ

10

3

ВВЕДЕНИЕ

Методическая разработка по теме «Метод интегрирования по частям в

неопределенном интеграле» составлена в соответствии с требованиями ФГОС

СПО третьего поколения.

Предлагаемая методическая разработка включает теоретический

материал по теме, методику нахождения неопределенных интегралов методом

интегрирования по частям, решение типовых примеров, задания для

самостоятельной работы обучающихся по теме с ответами и варианты

проверочной работы.

Методическую разработку можно использовать как на уроках, так и для

организации индивидуальной и самостоятельной работы обучающихся, на

дополнительных занятиях и консультациях. В качестве дополнительного

материала она может быть использована на факультативных занятиях по

математике.

Цель методической разработки – помочь обучающимся в освоении

материала по теме «Метод интегрирования по частям в неопределенном

интеграле» и получить необходимые практические навыки по применению

теоретического материала в условиях конкретного задания.

4

МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ

Если u(x), v(x) − непрерывные функции, имеющие непрерывные

производные, то

 

 vduuvudv

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в

неопределенном интеграле.

Метод интегрирования по частям позволяет упростить данный

неопределенный интеграл



udv

. После применения метода интегрирования по

частям к неопределенному интегралу



udv

получится неопределенный

интеграл



vdu

, который находится непосредственно или методом

подстановки.

Чтобы получить ожидаемый результат от применения данного метода,

надо правильно разделить подынтегральное выражение на части u и dv. Если

неверно провести в неопределенном интеграле



udv

это разделение, то

неопределенный интеграл



vdu

может не упроститься, а, наоборот, получиться

сложнее данного.

Метод интегрирования по частям может применяться несколько раз, пока

неопределенный интеграл не будет найден.

Метод интегрирования по частям применяется к неопределенным

интегралам вида, где P(x) – многочлен׃

1.

 





 dxexP

x

, где u = P(x).

2.



 dxxsño)x(P,dxxsin)x(P

, где u = P(x).

3.



 xdxln)x(P

, где u = ln x.

4.

dxxarcctg)x(P,dxxarctg)x(P,dxxsñoarc)x(P,dxxarcsin)x(P 



,

где u – обратная тригонометрическая функция.

Кроме указанных типов неопределенных интегралов, которые находятся

методом интегрирования по частям, этот метод может применяться и для

подынтегральных выражений другого вида.

5

Нахождение неопределенных интегралов

методом интегрирования по частям

Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям:

Пример 1. Неопределенный интеграл вида 1.

ce)3x2(ce2e)1x2(dxe2e)1x2(dx2e

e)1x2(

edxedvvdxedv

dx2dx)1x2(dxudu1x2u

dxe)1x2(

xxxxxx

x

xxx

x

































 



Пример 2. Неопределенный интеграл вида 2.

   

ñxcosxsinx3xdxsinxsinx3)dx(xsin

xsinx3

xsinxdxcosdvvxdxcosdv

dxdx)x3(dxudux3u

xdxcosx3



































 

Пример 3. Неопределенный интеграл вида 3.

cxln)1x(cx

xlnxdxxlnx

x

dx

xxlnx

xdxvdxdv

x

dx

dx)x(lnduxlnu

xdxln































Пример 4. Неопределенный интеграл вида 3.

 









































xlnx

4

x

4

x

dx)1x(vdx1xdv

x

dx

dx)x(lnduxlnu

xdxln1x

4

33

3

  

























































 dxdxx

4

1

xlnx

4

x

dx1

4

x

xlnx

4

x

dx

x

4

x

3

4344

6

cx

16

x

xlnx

4

x

44

















Пример 5. Неопределенный интеграл вида 4.





























xarctg

2

x

2

x

xdxvxdxdv

x1

dx

dx)arctgx(duxarctgu

dxxarctgx

2



















dx

x1

1x1

2

1

xarctg

2

x

dx

x1

x

2

1

xarctg

2

x

dx

x1

1

2

x

2

22

2

22

2

























xarctg

2

x

x1

dx

2

1

dx

2

1

xarctg

2

x

dx

x1

1

2

1

xarctg

2

x

2

c

2

x

xarctg

2

1x

cxarctg

2

1

2

x

xarctg

2

x

cxarctg

2

1

x

2

1

22







Пример 6. Неопределенный интеграл вида 4.

 





















































dx

x1

x

xarccosxdx

x1

1

x

xarccosx

xdxvdxdv

dx

x1

1

dx)x(arccosduxarccosu

dxxarccos

22

2

Полученный неопределенный интеграл

dx

x1

x

2





находим отдельно методом

подстановки:











































dt

2

1

t

1

dt

2

1

xdx

dtxdx2

tx1

xdx

x1

1

dx

x1

x

2

22





t

dt

2

1

=

cx1ct2

2

1

2



Тогда, данный неопределенный интеграл равен:

7

 

cx1xarccosxcx1xarccosx

22



Пример 7. Неопределенный интеграл вида 2.

 

































dxxcosx2xcosx

xdx2)xcos()xcos(x

xcosxdxsinvxdxsindv

dxx2dx)x(duxu

xdxsinх

2

22

2

Полученный неопределенный интеграл



dxxcosx

находим отдельно методом

интегрирования по частям:





























xsinxxdxsinxsinx

xsinxdxсosvxdxcosdv

dxdxxduxu

xdxcosх

сxcos 

Тогда, данный неопределенный интеграл равен:

 

cxsinx2

xcos)2x(cxcos2xsinx2xcosxc)xcosxsinx(2xcosx

222





8

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:

1.



dxхе

х

(х – 1)е

х

+ с

2.



 dxе)х52(

х

(7 – 5х)е

х

+ с

3.



xdxcosх

xsinx + cosx + c

4.



 xdxcos)1х2(

(2x + 1)sinx + 2cosx + c

5.



xdxsinх

sinx - xcosx + c

6.



xdxsinх4

4sinx - 4xcosx + c

7.



xdxlnх

c

4

)1xln2(x

2





8.



xdxlnх

3

c

16

)1xln4(x

4





9.

xdxln)1x3(





cx

4

x3

xlnx

2

x3

22

















10.



4

x

xdxln

c

х9

1xln3

3





11.



xdxarcsin

cx1xarcsinx

2



12.



xdxarctg

cx1ln

2

1

xarctgx

2



13.



xdxarcctgx

c

2

x

xarcctg

2

1x

2





9

ЗАДАНИЯ ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЫ

Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:

ВАРИАНТ 1.

1.



 xdxsin)1х(

2.



xdxlnx

4

3.



dxxe2

x

ВАРИАНТ 2.

1.



 dxe)2х(

x

2.



2

x

xdxln

3.



xdxcosx3

ВАРИАНТ 3.

1.



 xdxcos)3x(

2.

dxex4

x



3.



xdxlnx

5

Ответы.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1

sinx – (x – 1)cosx + c

(х + 1)е

х

+ с

(x – 3)sinx + cosx + c

2

c

25

)1xln5(x

5





c

х

1xln





4(х – 1)е

х

+ с

3

2(х – 1)е

х

+ с

3xsinx + 3cosx + c

c

36

)1xln6(x

6





10

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКИ

1. Башмаков М.И. Математика. Книга для преподавателя: методическое

пособие для НПО, СПО. – М.: Академия, 2013 – 224с.

2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. Пособие для образоват.

Учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Академия, 2013 – 416с.

3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 – 11 кл. / Под ред. Колмогорова

А.Н. – 11 изд. – М.: Просвещение, 2009 – 384 с.

4. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа./ Под ред. Яковлева

Г.Н. – М.: Наука, 2008 – 294 с.

5. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных

заведений. – М.: Академия, 2006 – 241 с.

6. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие, 5–е

издание. – М.: Высшая школа, 2009 – 323 с.

Методическая разработка по теме "Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле"

Математика - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы