Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Нестандартные способы решения квадратных уравнений" 8 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №1»
города Железногорска Курской области
Урок – исследование
по алгебре
в 8 классе
физико-математического профиля
Нестандартные способы
решения квадратных
уравнений
Учитель математики
Агашкова Надежда
Анатольевна
г. Железногорск
2015 год
Урок – исследование.
Тема урока:
Нестандартные способы решения квадратных уравнений.
Цели урока: в ходе исследовательской работы подвести учащихся к открытию новых
способов решения квадратных уравнений; обучать рациональным приемам нахождения корней
квадратных уравнений; развивать умение анализировать, логически мыслить, вычислительные
навыки; формировать познавательную активность учащихся.
Оборудование: таблицы, номограмма для решения уравнения x
2
+px+q=0, таблицы
Брадиса В.М. (стр. 83, табл. XXII)
Ход урока:
1. Организационный момент.
Ребята, у нас с вами сегодня необычный урок, урок с гостями. И мы продолжаем
работать с квадратными уравнениями.
2. Пригласить одного учащегося к доске решать уравнения по карточке.
Задание на карточке: решить уравнения 1) 3x
2
+7x-6=0
2) y
2
+7x-18=0
3. Устно.
На доске записаны уравнения
1) 6x+3(
x
)
2
=0
2) x
2
-17=0
3) x
2
-6x+9=0
4) x
2
+4x
3
-1=0
5) x
2
+5x+6=0
6) 3x
2
-8x+5=0
7) x
2
-7x=0
8) 3x
2
+5x+2=0
9) 2x
2
+16=0
10) x
2
-4x-5=0
Ребята, вашему вниманию предложены уравнения. Назовите номера тех, которые
являются квадратными. Почему вы так считаете? Охарактеризуйте каждое, найдите их корни
там, где это возможно.
Хорошо, молодцы! Меня радует, что среди уравнений вы узнаете квадратные, умеете
характеризовать, находить устно корни.
Мы рассмотрели все формулы корней квадратных уравнений и научились решать
квадратные уравнения по формулам. Формулы нужно знать – это обязанность. А вот умение
решать быстро, устно, уметь анализировать, к сожалению, дано не каждому. Но к этому нужно
стремиться и при желании этого может достичь каждый из вас.
Неприведенные квадратные уравнения в некоторых случаях можно и нужно решать
устно.
4. На дом были заданы следующие уравнения (уравнения записать на доске, оставить место
для записи корней). 1) 2x
2
+3x-5=0 x
1
=1; x
2
= -
2
5
2) 5x
2
-8x+3=0 x
1
=1; x
2
=
5
3
3)2x
2
-x-1=0 x
1
=1; x
2
= -
2
1
4)7x
2
+9x+2=0 x
1
= -1; x
2
= -
7
2
5) 5x
2
+x-4=0 x
1
= -1; x
2
=
5
4
Учитель просит назвать корни первых трех уравнений. Проанализируем найденные
решения. Какую особенность корней этих уравнений вы заметили? (Все три уравнения имеют
корень равный 1, а второй корень равен
с
а
) Всегда ли это будет выполняться? Для всех ли
уравнений? Каким же свойством должны обладать коэффициенты этих уравнений? Итак, какое
же открытие вы сделали? Делаем вывод, открываем на доске таблицу №1.
ax
2
+bx+c=0
Если a+b+c=0, то
x
1
=1; x
2
=
а
с
Вывод: Если сумма коэффициентов
квадратного уравнения ax
2
+bx+c=0 равна 0,
то один из корней обязательно равен 1, а
второй частному от деления третьего
коэффициента на первый.
Молодцы ребята!
Найдите среди 10 записанных уравнений, уравнения коэффициенты которых обладают
этим свойством (№6). Найдите устно корни этого уравнения. А как бы вы решали следующие
уравнения? (Учитель поднимает таблички на которых записаны уравнения.)
132x
2
-247x+115=0
x
1
=1; x
2
=
1999x
2
-2000x+1=0
x
1
=1; x
2
=
1999
1
Вы видите, что уравнения имеют большие коэффициенты. А решили вы их устно.
Решение по формулам займет больше времени. Как все таки важно знать свойство.
Любое научное открытие требует доказательств. Докажем. Прошу помогать мне в этом.
Но мне бы хотелось еще предложить доказательство этого свойства, проведенное учеником
нашего класса. Он доказал это свойство уже давно и хочет поделиться доказательством с вами.
(Ученик работает на обратной стороне доски).
Доказательство учителя:
Учитель обращается к плакату.
Пусть дано квадратное уравнение ax
2
+bx+c=0
(а
0). Если a+b+c=0, то x
1
=1; x
2
=
а
с
.
Доказательство:
разделим обе части уравнения на а
0,
получим приведенное квадратное уравнение x
2
+
а
в
x +
а
с
= 0
Согласно теореме Виета
a
c
xx
a
b
xx
21
21
По условию a+b+c=0, откуда b= - a-c. Значит,
а
с
xx
а
с
a
са
xx
1
1
21
21
Получаем, x
1
=1; x
2
=
а
с
, что и требовалось
доказать.
Доказательство ученика:
По условию a+b+c=0, откуда
b= - a-c.
Подставим в исходное уравнение, получим
ax
2
-ax-cx+c=0.
Разложим левую часть на множители методом
«группировки»
ax (x-1)-c (x-1)=0
(x-1) (ax-c)=0
x-1=0 или ax-c=0
x=1 ax=c
x=
а
с
Какому способу вы отдали бы предпочтение? Почему? (Дети высказывают свое мнение.)
Ребята, вернемся к уравнениям (4) и (5) из домашней работы, назовем корни этих
уравнений. Может быть и здесь есть какая-то закономерность?
Рассуждая аналогично, приходим к выводу (открываю на доске таблицу №2):
Если a-b+c=0, то
x
1
= - 1; x
2
= -
а
с
Дети, предлагаю доказать это свойство дома, самостоятельно!
Ребята, посмотрите, есть ли среди записанных на доске уравнений уравнения,
коэффициенты которых обладают этим свойством (a-b+c=0) (№8 и №9). Найдем их корни.
А смогли бы вы найти устно корни вот таких уравнений?
939x
2
+978x+39=0
x
1
= -1; x
2
= -
939
39
313x
2
+326x+13=0
x
1
= -1; x
2
= -
326
13
В дальнейшем вы убедитесь, что это более рациональные способы нахождения корней
квадратных уравнений. Итак, два открытия вы уже сделали.
5. В начале урока было предложено решить два уравнения. Давайте посмотрим как с
ними справились. Проверьте, верно ли решены уравнения.
3x
2
+7x-6=0
D=121;
=11
x
1
=
6
117
; x
2
=
6
117
x
2
=
3
2
x
1
= - 3
y
2
+7y-18=0
D=121
y
1
= - 9 y
2
=2
Сравните два уравнения: что общего, в чем различие? (Дискриминанты одинаковые,
коэффициент при среднем члене один и тот же.) Что надо сделать в неприведенном квадратном
уравнении, чтобы получить приведенное квадратное уравнение? (Надо первый коэффициент
перемножить на свободный член и получим свободный член приведенного квадратного
уравнения.)
Найдите отношение корней приведенного квадратного уравнения к соответствующим
корням неприведенного квадратного уравнения. Отношение равно 3.
;3
3
9
1
1
x
y
3
3
2
2
2
2
x
y
. а=3
Где еще в наших уравнениях есть число 3?
Как из корней приведенного квадратного уравнения получить корни неприведенного
квадратного уравнения?
1
x
=
a
y
1
;
a
y
x
2
2
.
Открываю таблицу №3.
аx
2
+bx+c=0
y
2
+by+ac=0
a
y
x
1
1
;
a
y
x
2
2
Как неприведенное квадратное уравнение решать проще?
Вывод: 1) Коэффициент а умножаем на свободный член с.
2) Получили приведенное квадратное уравнение. По теоремам Виета находим
его корни
1
y
и
2
y
.
3) Находим корни исходного уравнения
a
y
x
1
1
;
a
y
x
2
2
.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы
«перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ
применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое
важное, когда дискриминант - квадрат рационального числа.
К доске выходят три человека для решения уравнений методом «переброски».
5,1
3
2
3
2
6
3
6
0189
0992
2
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
y
y
xy
xx
3
1
2
1
6
2
6
3
3
06
016
2
1
2
1
1
2
2
x
x
x
x
y
yy
xx
3
1
2
2
23
2
23
3
2
3
023)23(
01)23(23
2
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
y
y
xy
xx
Я бы очень хотела провести конкурс начинающего ученого. Конкурс на лучшее
доказательство способа «переброски».
Ребята, у вас молодой гибкий ум, вы столько открытий сделали за урок. Молодцы! Я
тоже хочу вас порадовать, в одной книжке я нашла еще один старый и незаслуженно забытый
способ решения приведенных квадратных уравнений. Он хорош тем, что вычислять ничего не
нужно, используется особый рисунок (номограмма).
Номограмма – это особый чертеж, рисунок, с помощью которого можно, не
производя вычислений, получить решения вычислительных задач.
А раздел математики, изучающий номограммы, называется номография.
Этот способ помещен на странице 83 (Брадис В.М.) таблица XXII. «Номограмма для
решения уравнения
0
2
qpzz
».
Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам
определить корни уравнения.
На рисунке нанесены три шкалы:
1) шкала p, цена деления 0,2;
2) шкала q, цена деления 0,2;
3) шкала z (шкала корней), цена деления от 0 до 2 – 0,1; от 2 до 13 – 0,2.
Рассмотрим примеры.
1) Для уравнения
089
2
zz
номограмма дает корни
8
1
z
и
1
2
z
.
2) Решить с помощью номограммы уравнение
0292
2
zz
. Разделим
коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение
015,4
2
zz
.
Номограмма дает корни
4
1
z
и
5,0
2
z
.
3) Для уравнения
065
2
zz
номограмма дает положительный корень
1
1
z
, а
отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из
p
, т.е.
6151
2
pz
.
4)
082
2
zz
номограмма дает положительный корень
4
1
z
,
242
12
zpz
.
5) Для уравнения
034
2
zz
оба корня которого отрицательные числа, берем
tz
1
и находим по номограмме два положительных корня
1
t
и
2
t
уравнения
034
2
tt
, это
1
1
t
и
3
2
t
, а затем
1
11
tz
,
3
22
tz
.
Итак, что нового сегодня на уроке вы узнали? Насколько важно уметь решать
квадратные уравнения? Необходимо ли уметь решать квадратные уравнения рациональными
способами?
Сегодня на уроке мы научились решать квадратные уравнения нестандартными
способами. Как вы усвоили материал, я хотела бы проверить через самостоятельную работу
(два варианта, 5 минут).
Заключение. В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные
уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Я уверена, что вас заинтересует ставший
знаменитым пример «из Алгебры» ал-Хорезми, приведенный на стенде «Это интересно».
Домашнее задание индивидуальное, по карточкам. Решить уравнения всеми
возможными способами.
1 вариант.
1)
0583
2
xx
2)
03233
510
xx
2 вариант.
1)
0572
2
xx
2)
087
36
xx
ax
2
+bx+c=0
Если a+b+c=0, то
x
1
=1; x
2
= с/а
Если a-b+c=0, то
x
1
= - 1; x
2
= - с/а
аx
2
+bx+c=0
y
2
+by+ac=0
x
1
=y
1
/a; x
2
=y
2
/a
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: