Ученики на Учителя.com


Конспект урока алгебры в 11 классе «Способы решения иррациональных уравнений»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей № 6
городского округа Тольятти
Конспект урока алгебры в 11 профильном классе
по теме «Способы решения иррациональных уравнений»
Автор : Овчинникова Наталья Александровна,
учитель математики высшей категории
МБУ лицея №6 г. Тольятти
Тольятти
2015
Конспект урока алгебры в 11 профильном классе
по теме «Способы решения иррациональных уравнений»
Цели:
1. Образовательные: усвоить различные способы решения иррациональных
уравнений и научиться применять их в соответствии с заданным
уравнением.
2. Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы
сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую
ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи,
внимания и памяти.
3. Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике,
сознательного отношения к учению, познавательной активности,
мобильности, умения общаться, общей культуры.
Тип урока – урок изучения нового материала.
ПЛАН УРОКА:
I. Организационный момент
II. Подготовка к изучению нового материала
III. Изучение нового материала
IV. Первичная проверка понимания
V. Подведение итогов урока
VI. Домашнее задание
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Подготовка учащихся к работе на уроке.
II. Подготовка к изучению нового материала
1. Формулирование целей урока для определения действий школьников во
время лекции.
2. Повторение.
а) Определение иррационального уравнения
б) Решение уравнений
уравнение
)()( xGxF
равносильно системе
0)(
)()(
2
xG
xGxF
уравнение
)()( xGxF
равносильно любой из систем
0)(
)()(
xG
xGxF
или
0)(
)()(
xF
xGxF
в) Наиболее распространенный метод решения иррациональных уравнений –
последовательное возведение в степень.
3. Решите уравнение
112
3
xx
(Учащиеся должны высказать разные предположения, и они затрудняются
решить данное уравнение, учитель предлагает оставить его и решить после
изучения других способов решения иррациональных уравнений)
III. Изучение нового материала
Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе,
являются иррациональные уравнения, так как отсутствуют общие алгоритмы
их решения и приходится делать преобразования, приводящие к уравнениям,
не равносильным данным. Рассмотрим случаи, когда проще свести решение
уравнения к решению следствия и проверке. Следствия могут быть получены:
1. Последовательным возведением исходного уравнения в степень.
2. Заменой исходного уравнения системой уравнений.
3. Умножением обеих части исходного уравнения на разность радикалов.
4. Использованием монотонности функций в левой части уравнения.
5. Использованием подстановок, сводящих исходное уравнение к
рациональному.
1. Пусть дано уравнение
cxfxf
3
2
3
1
)()(
.
Возведем обе части уравнения в куб, воспользовавшись формулой
(a + b)
3
= a
3
+ b
3
+ 3ab(a + b).
Получим уравнение
3
3
2
3
1
3
2121
)()()()(3)()( cxfxfxfxfxfxf
Заменим сумму кубических корней величиной с и получим следствие
последнего уравнения:
. Это уравнение
решается последовательным возведением в куб.
Пример: Решите уравнение
41719
33
xx
Это уравнение равносильно уравнению
1617191719316
33
3
xxxx
Следствием его является уравнение
0171943
3
xx
Решение - х = 80. Проверка показывает, что это число является корнем данного
уравнения.
2. Некоторые уравнения удобно заменить системой уравнений.
Пример: Решите уравнение
112
3
xx
Возведение в степень не дает результата. Тогда сделаем замену:
bxax 1,2
3
Заменим данное уравнение системой
0
1
1
2
2
3
b
ba
xb
ха
Исключая из первых двух
уравнений переменную х, получим систему
0
1
1
23
b
ba
bа
Решаем эту систему
методом подстановки, получим a
1
=0, a
2
= -2, a
3
= 1, тогда х
1
=2, х
2
=10, х
3
= 12.
Проверка показывает, что все найденные значения х есть корни данного
уравнения.
Этот прием хорош в том случае, когда сумма или разность подкоренных
выражений есть константа.
3. Уравнения вида
сxgxf )()(
, в котором разность подкоренных
выражений есть число, можно решать, умножив обе части уравнения на
разность радикалов.
Пример: Решите уравнение
431 xx
Умножив обе части уравнения на разность корней, получим уравнение
131 xx
Сложив почленно эти уравнения, получим
2
5
1 x
и х =
4
21
. Проверка
показывает, что найденное число корень данного уравнения.
4. При решении некоторых уравнений полезно воспользоваться тем, что
функция
n
xxF )(
монотонна.
Пример: Решите уравнение
31512
7
xx
В левой части уравнения сумма возрастающих функций, а в правой — константа,
значит уравнение имеет не более одного корня. х = 1 — корень уравнения.
5. Решить уравнение
688
3
4
3
xx
Решение:
Обозначая
,08
4
3
tx
Получим
,06
2
tt
Откуда t = –3, t = 2.
Следовательно,
,28
4
3
x
,168
3
х
,8
3
х
.2х
Согласно проверке, x = 2 корень исходного уравнения.
IV. Первичная проверка понимания
1. Почему данные уравнения не имеют корней?
a)
хx 43
б)
853 xx
в)
024374
2
ххx
г)
11
2
xx
2. Решите уравнения:
а)
372)7(2
3
3
2
3
2
ххxх
б)
1952252
22
ххxх
в)
332232
4
22
хx
V. Подведение итогов урока
VI. Домашнее задание на выбор (№1 или №2):
№1. Решить уравнения:
1)
232 хx
2)
1162
2
ххх
3)
2220
22
хх
4)
1334
33
хх
5)
128264
22
хххх
№2. Подобрать или придумать четыре иррациональных уравнения, решаемые
изученными приемами
№3. Индивидуальное задание для желающих: Найти в пособиях по
математике другие способы решения иррациональных уравнений.
Список использованной литературы
1. Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное
пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. –
М.: Просвещение, 1998.
2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Учебник для
общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина,
2007.
3. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к
экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2003.
4. Чулков П.В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Учебно-
методическое пособие. Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое
сентября», 2006
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: