Презентация "Уравнения и методы их решения"

Уравнения и методы их решения

• Над проектом работали:
• Маслов Андрей
• Мулярчук Екатерина
• Фадеенко Виктор
• МКОУ СОш с Красное 2014

Показательные уравнения

• Опред.: Уравнение вида aх=b , называется показательным

Методы решения:

• Приведение к одному основанию
• Разложение левой части уравнения на множители (выносим степень с наименьшим показателем)
• Замена переменной, приведение к квадратному (подстановка)
• Деление левой и правой частей уравнения на степень

Приведение к одному основанию:

• 2 3х · 3 х =576
• (2³) х · 3 х =576
• 8 х ·3 х =576
• 24 х =24²=>х=2

Разложение левой части уравнения на множители:

• 3 х+1 - 2 · 3 х-2 =25
• 3 х-2(3³-2)=25
• 3 х-2 · 25=25 |:25
• 3 х-2 = 1
• 3 х-2 = 30=>х-2=0
• х=2

Замена переменной, приведение к квадратному:

• 9х – 4 · 3х – 45=0
• 32х– 4 ·3х -45=0
• 3х =t=>t²-4t-45=0
• t1+t2 =4 t1 =9
• t1 +t2 =45 t2 =-5п.к.
• 3х =9
• 3х =3²=>х=2

Деление левой и правой частей уравнения на степень:

• 3х = 52х
• 3х = 25 х |÷3х
• 1= 25 х
• 3
• 25 º 25 х =>x=0
• 3 3

Примеры для самопроверки:

• 1 0,5х-1 9; 7 · 5х– 5х+1 = 2 · 5-3;
• 27
• 2х² + 14 · 2х +1 – 29=0;
• 7х +6 · 3х +6=73х·33х

Типовые задания ЕГЭ:

• 1.Решить уравнение:
• 5х=125;
• 2.Решить уравнение:
• 1 0,1х-1_ 16;
• 32 ¯
• 3.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
• 3х²+х-12 = 1;

• 4.Решить уравнение:
• 3х+1 - 2 ·3х-2 =25;
• 5.Решить уравнение:
• 32х– 4 ·3х– 45=0;
• 6.Решить уравнение:
• 32х-1 – 22х-1 = 0;
• 7.Решить уравнение:
• 32х+5– 22х+7 + 32х+4 - 22х+4= 0;

• 8.Найти промежуток, которому принадлежат все решения уравнения:
• 3 · 16х + 2 · 81х =5 · 36х;
• 9.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
• 52х– 4 · 5х– 5 = 0;
• 10.Решить уравнение:
• 3Sin²x + 3Cos²x = 4

• В4.Найти модуль разности корней:
• 4х-√х²-5 - 12 · 2х-1-√х²-5 + 8 = 0;
• В5.Решить уравнение:
• 23х-1 · 53х-1 = 100;
• В6.Решить уравнение:
• √3 · 2х − 4х − 2 = 1−2х;
• В7.Решить уравнение:
• 32х+3 · 33х+1 · 625х+2 = 600х+7;

Тригонометрические уравнения I) Уравнения Cosx=a, a [-1; 1]

• а) Cosx=a, а

• (0; 1)

• X=

• аrccosa +2

• n , n

• б)Cosx=a, a

• (-1;0)

• X=

• (

• -arccosa) +2

• Cosx=0

• Cosx=-1

• ,

• X=

• +2

• n

• X=

• +2

• Cosx=1

• X=2

Например.

• Cosx=

• ,

• X=

• + 2

• X=

• +2

• Cosx=-

• -

• ,

• (-1; 0)

• X=

• (

• -arccos

• )

• +2

• k, k

• X=

• -

• ) + 2

• k, k

• X=

• +2

• k, k

• Z

II) Уравнения sinx=a, a 1; 1]

• Sinx=a, a

• (0; 1)

• X= (-1)narcsina +

• n, n

• Z

• Sinx=a, a

• (-1;0)

• X= (-1)n+1arcsina+

• n, n

• Z

• Sinx= 0

• X=

• n, n

• Z

• Sinx= 1

• X=

• +2

• K, k

• Z

• Sinx= -1

• X= -

• + 2

• n, n

Например.

• Sinx=

• ,

• (0; 1)

• X= (-1)narcsin

• +

• n

• Z

• X= (-1)n

• +

• Z

• Sinx= -

• , -

• (-1; 0)

• X=(-1)n+1arcsin

• +

• Z

• X=(-1)n+1

• +

• n, n

• Z

III) Уравнения tgx=a, a

• tgx=a, a

• 0

• x=arctga +

• Z

• tgx= -a , a

• x= -arctga +

• n, n

• Z

Например.

• tgx=

• ,

• [0;

• )

• x=arctg

• x=

• +

• Z

• tgx= -

• , -

• (-

• ; 0)

• x= -arctg

• +

• n, n

• Z

• x= -

• +

• Z

Методы решения тригонометрических уравнений.

• 1)Уравнения, сводящиеся к квадратным

• а) Sin2x + sinx – 2=0

• Sinx=t, t

• [-1;1]

• t2 +t-2=0

• t1=1, t2=-2-п.к так

• -1; 1]

• как -2∉

• sinx=1,
• x=

• + 2

2.разложение левой части на множители

• Cosx=cos3x

• Cosx-cos3x=0

• -2sin2xsin(-x) =0

• Sin2x=0 или

• sinx=0

• x=

• 2x=

• X=

• n

• ,

3.однородное уравнение 1-ой степени asinx+bcosx=0 Решается делением на cosx0

• 0

• +

• = 0

• sinx+cosx=0 |:cosx

• atgx+b=0

• x=-arctg

• +

• tgx+1=0

• tgx=-1

• +

• x=-arctg1

• n, n

• Z

• x=-

• +

4.однородное уравнение 2-ой степени asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0

• asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0

• |:cos2x

• 0

• atg2x+btgx+c=0

• tgx=t, at2+bt+c=0

• Д=b2-4ac

• t1,2=

• tgx=

• x1=arctg(

• ) +

• n

• x2= arctg(

• ) +

• n

• 3sin2x-7sinxcosx+2cos2x=0|:cos2x

• 0

• 3tg2x-7tgx+2=0

• tgx=t, 3t2-7t+2=0

• Д= b2-4ac=25, Д

• t1,2=

• tgx=2

• tgx=

• x=arctg2+

• x=arctg

• +

• k,

• k

• Z

5. Уравнение вида asinx+bcosx=c

• asinx+bcosx=c

• Sinx +

• cosx=

• =cos

• =sin

• Cos

• + sin

• cosx=

• Sin (

• + x) =

• X= (-1)narcsin

• - +

• z

• n, n

• Sinx-cosx=1

• =

• sinx –

• cosx=

• Sin( -

• x

• )=

• X -

• =

• (-1)n

• +

• , n

• Z

• X= (-1)n

• +

• +

Уравнения для самостоятельной работы! Базовый уровень

• Sinx=

• Cosx=-

• tgx=

• 1+sin(

• )=0

• Sin2x=

• Sinx+cosx=0

• 2cos(2x-

• )=

• Sin(x-

• )=0

• +1=0

• tgx-1=0

Повышенный уровень

• 2sin2x+3sinxcosx-2cos2x=0

• =0

• 3sinx+4cosx=10

• Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0

• Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0

• Cosx+cos

• =

• Sin3x-sin9x=0

• tg(3x+600)=

• ctg(

• -1)sin(

• -1)ctgx=0

• 4sin

• cos

• =

• -

• Sinx-cosx=4sinxcos2x

Трудные задания

• Cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=2

• (cos6x-1)ctg3x=sin3x

• Cos(x+

• )+sin2x=-2

• Cos2x+

• |cosx|sinx=0

• Cos2x+sin22x+cos23x=

• (cos2x + 3

• sinx-4)=0

• =0

• cosx+2sinx)=1

• -1=4sinx

• + ctgxtg

• =0

Трудные задания

• cosx-cos3x+2

• =0

• удовлетворяющие условие:

• |x+

• |

• +2cosx=0

• =0,

• удовлетворяющие условию |x|

• –

• = -4

• +

• =8

Уравнение с модулем

• Определение:

• a

• a

Методы решений.

• По определению модуля:

• |x+1|=3

• =

• и

• =

• =

• =>x=-4

метод интервалов:

• |x+1| + |x-1| + |x+10|=12

• 1.найдём корни подмодульных выражений:

• X=-1 x=1 x=-10

• 2.нанесём корни на числовую ось

• -10 -1 1

метод интервалов:

• 3.

• =

• =

• x=

• посторонний корень

• =

• =

• =

метод интервалов:

• =

• =

• =

• x=

• – посторонний корень

• Ответ:x1=-2 x2=0

Базовый уровень

• 1.|x+3|=12
• 2. x+5=|x|
• 3. |x-15|=25x
• 4.|2x|=100
• 5.|x-40|=80
• 6.|x|=5
• 7. |x|=3x+10
• 8. |3x-9|=1

Повышенный уровень

• 1.|

• -

• – 5

• =

• 2.|x2-5x+6|=x+1

• 3.|x-3|+2|x+1|=4

• 4.|5-2x|+|x+3|=2-3x

• 5.

• =|x|+2

• 6. x|x|+7x+12=0

• 7. x2-5x -

• 8. x2-|3x-5|=5|x|

• 9. |x+5|=|2x-3-x2|

• 10. 3|2x2+4x+1|=|x2+5x+1|
• 11.|2x-y-3|+|x+5y-7|=0

• Логарифмические уравнения

При решение логарифмических уравнений применяют, такие преобразования, которые не приводят к потери корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановок и их в исходное уравнение обязательно, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнений. Тогда корнями уравнения, будут те числа, которые принадлежат этой области.

• При решение логарифмических уравнений применяют, такие преобразования, которые не приводят к потери корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановок и их в исходное уравнение обязательно, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнений. Тогда корнями уравнения, будут те числа, которые принадлежат этой области.

• логарифмических

• Методы

• решения

• уравнений.

• 1)Решение логарифмических уравнений
• на основании определения логарифма.

• (2x+1)=2

• 2x+1=

• 2x+1=9

• X=4

• (2×4+1)=

• Проверка

• 9=2

• Ответ:х=4

2)Метод приведения логарифмических уравнений к квадратному.

• (

• +1)=2

• ОДЗ:

• =

• =

• X

• По определению логарифма

• (x+1

• =2

• +1

• +2x+1=

• +1

• -2x=0

• =0

• =2

• Ответ: х=2

3) Метод потенцирования

• )

• ОДЗ

• =

• =

• =

• 0

• Применяя метод потенцирования, получили

• Х=6-

• +х-6=0

• =2,

• =-3 –п.к

• Ответ:х=2

4)Метод приведения логарифмов к одному основанию. Используя формулу

• =2n

• f(x)

• Где а

• ,а

• 1,n

• z.

• =2n|

• |,

• где a

• ,

• a

• .

• ОДЗ:

• -5 0

• +5x-6=0

• +

• =-5

• =-6

5)Метод логарифмирования

• ОДЗ:

• =

• =

• x

• =

• =

• 1+

• , 2

• 1+

• 2

• X=3

• ОДЗ

Решить уравнение показательные по образцу.

• -6

• =4

• ОДЗ:

• =

• =

• Ответ: Х =1

• )=

• ОДЗ:

• р.м.п

• У=

• У=0=

• Д=4+24=28

• =

• х

• 1-

• ;

• ;

• =6+2х-

• =

• Ответ:х=-1,х=2

• 1)

• =0

• 2)

• 3)

Решить логарифмические уравнения, упростив правую часть.

• 1)

• 2)

• 3)

• 4)

• Решить уравнение по образцу

• 2

• Х=0∉ОДЗ , х=

• Ответ: х=

Решите уравнения, приведя к логарифмам с одинаковыми основаниями.

• lg (x+2) +

• 3+26)=0

• 3) +log3(-x-1)=0

• 2+x-5)+

• =log3

• -log4

• =-9

Решить уравнения

• Xlog3x-3=

• 0,1x1+lgx=1

• Xlog4x=23(log4x+3)=0

• log3x-log3(x+8)=-log3(x+3)

• log2(x+1)+log2(x+2)=1

• 2log4(4-x)=4-log2(-2-x)

• log2(x+1)=1+2log2x

• lg(x+

• )-lg(x-

• )=

• lg(x+6)-

• lgx

• log2

• -1=log2

• 5x2-8x+5

• =0

• Log2 (24-x-2x+7)=3-x

• 2log2(1-

• )=3log2(2+

• )+12

• 4log7(

• (

• )0,75)

• =

• X2log2x+3

• -6=0

• -4+log2(5-log0,2125)x2-x=0

• Log2

• 2

• Log2(log5x)=1

• 2

• +7=0

• Lg2(x+1)=lg(x+1)lg(x-1)+2lg2(x-1)

• 3log2x2-log22(-x)=5

• logx

• log25x=-1

• log3|x+8|+

• log3x4=2

Решить уравнение

• Log3x+7(9+12x+4x2)+log2x+3(6x2+23x+21)=4

• log(100x3)lg

• =8

• log6(x+5)+

• log6x2=1

• =

• Log3(x+2)(5x)-log3

• Log4log2x+log2log4x=2

• -log77=

• 4

• -log24=log77x

• lg

• +lg

• log23x+ log2x3+3log3x+3logx3=2

• 2log3xlog2x+2log3x-log2x-1=0

Метод монотонности функций.

• Теорема 1. Если одна из функций возрастает, а другая убывает
• на промежутке, то уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня.

• Теорема 2. Если одна функция возрастает (убывает), а вторая принимает
• постоянные значения на некотором промежутке, то уравнение
• имеет не более одного корня.

Алгоритм решения уравнения методом использования монотонности.

• 1.Иследовать на монотонность функции f(x) и g(x) в О.О.У

• 2.Если выполняются условия теоремы f(x) и g(x) и удается подобрать

• удовлетворяющие уравнению f(x)=g(x), то

• -единственный корень
• этого уравнения

• , (

• )-функция возрастает т.к

• возрастает и

• возрастает и в правой части уравнения постоянная функция, то

• уравнения имеет один корень.

• 9+16=25

• 25=25

• ,

• возрастает функция и

• -возрастающая и

• (

• )-возрастающая функция ,в правой части постоянная

• функция.

• Х=1, 6- 4

• Х=2, 36-16

• Х=3 , 216-64=152

• Х=1 ,

• +

• Х=4,

• -

• -функция убывает, а

• -возрастает, теорему не применять

• Ф.М.У

• а=

• У=х-4,а=1 прямая направлена

• Применяем теорему: уравнений имеет один корень

• Х=3 ,

• -1=-1,

• Х=3

Уравнение с завуалированным обратным числом.

• (

• )x +(

• )x=8

• (4+

• )=16-16=1=

• 4+

• =t

• t (

• ) =1=

• 4-

• =

• t+

• =8|

• t

• t2-8t+1=0

• д=b2-4ac=64-4=60

• t1,2=

• =

• =4

• (

• )x=(4+

• )

• (

• )x=(4-

• )

• =1

• = -1

• X=2 x= -2

Например!

• (

• )x + (

• )x=6

• (

• )x + (

• )x=10

Используемая литература

• С.М.Никольский- алгебра 10-11класс
• Ш.А.Алимов и др- алгебра 10-11класс
• Справочник по математике 5-11 класс
• Т.С. Кармакова -элективный курс «Методы решения нестандартных уравнений»