Презентация "Методы решения показательных уравнений"

• Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №32

• Методы решения показательных уравнений

• Учитель математики
• высшей категории
• Оршокдугова Р.М.
• г .Нальчик ,2010 г.

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». А. Эйнштейн

• Альберт
• Эйнштейн
• 1879 - 1955

• Девиз урока :
• «Дорогу осилит идущий , а математику – мыслящий»
• Т. Эдисон

• Цели

• а) образовательные:
• -закрепить решение простейших показательных уравнений;
• -показать дополнительные методы решения показательных уравнений;
• -обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;
• б) развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;
• в) воспитательные:
• -организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;
• -стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;
• -учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем;
• Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.

• Устная работа

• Учебный элемент №1

• Г. Лессинга
• «Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами».

• 1) функцию какого вида называют показательной;
• 2) какова область определения показательной функции;
• 3) каково множество значений показательной функции;
• 4)что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а;

• 35

1. На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой.

• 1)

• 2)

• 3)

• 4)

• Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent, от лат. exponere: «выставлять напоказ»; exponens, exponentis − «выставляющий напоказ», «показывающий». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.

• Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости и экспоненциальной кривой для графика этой функции. Краткое наименование «экспонента» отражено в одном из обозначений: . Через exp(x) обозначается конкретная экспонента − с показателем a = e = 2,71828... − встроенная во многие языки программирования функция.

• Учебный элемент № 2

• Работа у доски и в тетрадях

• Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л.Эйлер.

• 37

• 38

• 39

• Учебный элемент № 3

• «Я слышу – я забываю,
• я вижу – я запоминаю,
• я делаю – я усваиваю». Китайская мудрость.

• 39

• 38

Определение

• Показательным уравнением называется уравнение ,
• содержащее переменную в показателе степени.

• Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.

• Замечание

• Функционально-графический метод

• Метод введения новой переменной

• Вынесение общего
• множителя за скобки

• показательных уравнений

• Метод уравнивания показателей

• Метод подбора

• Основные методы и приемы решения

• Логарифмический
• метод

• Самостоятельная работа №1

• УчебныЙ элемент № 4

• Уж лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода…
• Рене Декарт.

• 38

• 39

Применение показательной функции

• Диагностика заболеваний. При диагностике почечных
• болезней часто определяют способность почек выводить из крови
• радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по
• показательному закону.
• Барометрическая формула. При постоянной температуре
• давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону
• где p0 – давление на уровне моря (h =0), p – давление на высоте h, H -
• константа, зависящая от температуры воздуха.
• Формула разрядки конденсатора. Если начальное
• напряжение на конденсаторе равно U0, то конденсатор будет разряжаться по закону
• где t – время, в течение которого разряжается конденсатор, R – сопротивление, C – электроемкость конденсатора.

Применение показательной функции

• Радиоактивный распад
• Количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имеющемуся количеству вещества.
• Промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов называется периодом полураспада данного вещества.
• Этот период различен для разных веществ.
• Например, за время равное лет при распаде урана-238 распадается половина от начального числа атомов, т.е. при увеличении времени на 4,5 миллиарда лет число атомов уменьшается в 2 раза.
• Задание. Сделать аналитическую запись формулы радиоактивного распада, обозначив начальную массу вещества М. Изобразить схематически график функции.
• Ответ.

• или

• у

• М

• х

Закон радиоактивного распада

• Радиоактивный распад

Применение показательной функции

• При передаче электроэнергии по подводному кабелю потери в силе
• тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля
• .
• Например, на каждом километре сила тока уменьшается на 0,5%.
• Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила
• тока будет изменяться в отношении 1: 0,995
• Задание. Сделать аналитическую запись формулы,
• выражающей
• зависимость силы тока от расстояния. Изобразить
• схематически график функции.

• Ответ:

• 1

• у

• х

• Потери силы тока.

Применение показательной функции

• При искусственном выращивании каких-либо микроорганизмов размножение клеток идет так, что за некоторый определенный промежуток времени (длина митотического цикла) каждая клетка делится на две дочерние клетки.
• Поэтому, когда время увеличивается на длину митотического цикла, число клеток увеличивается в два раза
• Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения клеток. Изобразить схематически график функции.
• Ответ.

• Органический рост

Применение показательной функции

• Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастает половина, то за каждый год, т.е. при увеличении времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз.
• Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения растений. Изобразить схематически график функции.
• Ответ.

• у

• 0

• х

• 1

• Органический рост

Применение показательной функции

• В XIV-XV веках в Западной Европе появляются банки – учреждения, которые
• давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты
• дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить
• расчеты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы,
• по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо было уплатить через п лет, если была взята взаймы сумма а по р% годовых.
• Эта сумма выражается формулой
• Пример. Банк выплачивает вкладчикам проценты по вкладам в размере
• 4% в год, т.е. за каждый год вклад увеличивается в 1,04 раза.
• Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость
• величины вклада от времени. Изобразить схематически график функции.

• Рост вклада в банке

• 0

• 1

• у

• х

• Решение нестандартных показательных уравнений . Презентация решений, подготовленных учащимися.

• Учебный элемент № 5

• Ответ: .

• удовлетворяет второму уравнению.

• Пример 1. Решите уравнение

• Решение. Оценим обе части уравнения.
• При всех значениях х верны неравенства:

• Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

• Полученная система не имеет решений, так как не

• Графическая иллюстрация

• Пример 2. Решить уравнение

• Решение: Оценим обе части уравнения.

• При всех значениях х верны неравенства

• Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

• При х = 0 второе уравнение обращается в тождество, значит
• х = 0 корень уравнения.

• Ответ: х = 0.

• Графическая иллюстрация

• Пример 9. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

• имеет решения. Найдите эти решения.

• При всех значениях х выражение

• При всех значения х выражения

• Поэтому

• Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему:

• Ответ:

• при

• Решение. Перепишем уравнение в виде

• Может ли при каком-нибудь значении параметра а, уравнение

• Так как при замене х на –х данное уравнение не изменится, то множество его корней вместе с каждым корнем содержит противоположный корень. Следовательно, уравнение имеет четное число корней, отличных от нуля. Проверка показывает, что 0 – корень, значит, данное уравнение имеет нечетное число корней.

• иметь нечетное число корней?

• Решение.

• Ответ: да.

• Графическая иллюстрация

• ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧЕТНОСТИ ФУНКЦИИ

• у

• х

• 0

• 2

• 1

• а = 2

• а = 1

• а = -1

• а = 3

• а = -3

• а = -2

• Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Методические указания при подготовке. Тестовые задания: Учебно – методическое пособие  Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов, М.А. Попов. – М.: издательство «Экзамен», 2006, 2008, 2010
• 2. Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Варианты тестов. Министерство образования РФ. – М.: Центр тестирования Минобразования России, 2008.  Денищева Л.О. и др.
• 3. Математика — абитуриенту. Автор: Ткачук В. В. Издательство: 2007. Год: МЦНМО. Страниц: 976
• Для создания шаблона презентации использовалась картинка http://www.box-m.info/uploads/posts/2009-05/1242475156_2.jpg

• Литература

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели

• Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели
• Г. Лейбниц

Для успешного решения показательных уравнений Вам необходимо:

• 1.Безошибочно решать простейшие показательные уравнения.
• 2.Активно знать все показательные тождества
• 3.Четко, подробно и без ошибок проделывать математические
• преобразования уравнений.
• 4.Знать методы решения задач. На каждом этапе Вам необходимо:
• а) определить тип уравнения;
• б) вспомнить соответствующий этому типу метод
• решения задачи.

Молодцы, вы освоили решения уравнений второго уровня сложности.

• Молодцы, вы освоили решения уравнений второго уровня сложности.
• Если вы набрали 20-26 , то получаете оценку «5».
• Если вы набрали 14-19 , то получаете оценку «4».
• Если вы набрали 7-13 , то получаете оценку «3».
• Если вы набрали 0-6 , то получаете оценку «2».

• Молодцы !!!

• спасибо за внимание

• Домашнее задание : листы – вкладыши ЕГЭ
• «Показательные уравнения»

Методы решения показательных уравнений

• Метод приведения степеней к одному основанию
• Вынесение общего множителя за скобки
• Метод замены переменной
• Метод почленного деления
• Метод группировки
• Графический метод