Презентация "Приемы и методы решения текстовых задач при подготовке к ОГЭ"
Подписи к слайдам:
- Одной из основных методических линий в курсе математики является линия обучения учащихся умению решать текстовые задачи.
- Известно, что решение текстовых задач представляет большие трудности для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи. Учащиеся плохо ориентируются в тексте задачи, в ее условиях и требованиях.
- Сегодня мы рассмотрим типичные ошибки, рекомендации, правила оформления и решения текстовых задач.
Требования к выполнению задания
Требования к выполнению заданий с развернутым ответом заключается в следующем: решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося. Оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в основном может быть произвольным. Лаконичное решение, не содержащее неверных утверждений, все выкладки которого правильны, следует рассматривать как решение без недочетов.
Для успешного решения заданий с развернутым ответом необходимы не только хорошая математическая «база», но и умения проводить логические рассуждения, четко и грамотно излагать свои мысли.
Баллы |
Содержание критерия |
2 |
Ход решения задачи верный, получен верный ответ |
1 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка вычислительного характера, с её учётом решение доведено до ответа |
0 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше |
2 |
Максимальный балл |
Критерии оценивания задания 21
Анализ текста задачи- Внимательное чтение задачи.
- Первичный анализ текста: выделение вопроса задачи и ее условия.
- Оформление краткой записи текста задачи.
- Выполнение чертежей, рисунков по тексту задачи.
- Задачи на движение.
- Задачи на работу.
- Задачи на смеси и сплавы.
- Задачи на проценты.
- 1) задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку);
- 2) задачи на движение по замкнутой трассе;
- 3) задачи на среднюю скорость;
- 4) задачи на движение протяжённых тел;
- 5) задачи на движение по воде.
- Скорость по течению = собственная скорость транспорта + скорость течения реки
- Скорость против течения = собственная скорость транспорта - скорость течения реки
Расстояние между городами А и В равно 580 км. Из города А в город В со скоростью 80 км/ч выехал автомобиль, а через два часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Через сколько часов после выезда второго автомобиля автомобили встретятся?
Движение вдогонкуДва пешехода отправляются из одного и того же места в одном направлении на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 200 метрам?
Решение.
Скорость первого относительного второго: V1-V2=1 км/ч
200м = 0,2км.;
t= 0,2 : 1= 0,2(ч)
0, 2 часа=12 минут
Ответ. Через 12 минут расстояние между пешеходами станет равным 200 метрам.
2 способ решения.
Решение.
Переведем скорость одного из пешеходом в метры.
1 км = 1000 метров. 1 час = 60 минут.
Следовательно, скорость пешехода будет 1000 метров за 60 минут.
Составим пропорцию для решение данной задачи. Через х обозначим время, за которое пешеход пройдет двести метров.
1000 метров - 60 минут.
200 метров - х минут.
Решим пропорцию, выполнив "накрест" умножение, а результат разделим на 1000.
х = (200 ∙ 60) / 1000.
х = 12 минут.
Ответ. Расстояние между пешеходами станет равным двести метров через 12 минут.
Движение по окружности (замкнутой трассе)Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 90 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Пусть скорость второго автомобиля(х)км/ч. Так как 40 минут = часа и это время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим уравнение:
= ; 30 = 180 – 2х; 2х = 150; х = 75.
Ответ. Скорость второго автомобиля 75 км/ч.
Средняя скоростьПутешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолёте со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Пусть (2s) км - весь путь путешественника, тогда средняя скорость равна:
2s : ( + ) = 2s : = 2s : = 38,4 (км/ч.)
Поэтому средняя скорость путешественника 38,4 км/ч.
Ответ: 38,4 км/ч.
Движение протяжённых тел Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 65 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч, за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах. Решение. Скорость сближения пешехода и поезда равна 65-5 =60 (км/ч) 60 км/ч = = (м/с) l =v ∙ t = = 500(м)Ответ. Длина поезда 500м.
От лесоповала вниз по течению реки движется со скоростью 3 км/ч плот. Плотовщик доплывает на моторке из конца плота к его началу и обратно за 16 минут 40 секунд. Найдите длину плота, если собственная скорость моторки равна 15км/ч. Ответ дайте в километрах. Решение. Пусть длина плота (х) км. Тогда скорость моторки по течению 18 км/ч, а против течения 12 км/ч. Так как 16 минут 40 секунд = часа, то + = 2х + 3х = 10; 5х = 10; х = 2. Итак, 2 км- длина плота. Ответ: 2 км.Движение по воде
Я бы посоветовала для наглядности некоторые задачи решать через таблицу. Алгоритм решения:- Введем неизвестную величину.
- Составим краткую запись в виде таблицы, где разместим данные в графы: скорость, время, расстояние.
- Выясняем, на какой вид движения эта задача.
- Используя условие, формулы времени или скорости, выражаем через неизвестную величину все остальные.
- Исходя из условия, составляем равенство и преобразуем его.
- Решаем уравнение.
- Определяем величины, которые еще нужно найти.
- Записываем ответ.
V , км/ч |
t ,ч |
S, км |
|
Велосипедист |
Х |
50 |
|
Автомобилист |
х+40
|
50 |
Известно, что велосипедист был в пути на 4 часа больше, отсюда имеем: на 4 ч.
Составим и решим уравнение: - = 4 | ∙ х(х+40) ≠ 0
х ≠0, х≠-40
50(х+40) – 50х = 4х(х+40)
50х + 2000 – 50х -4 -160х = 0 | : (-4)
+ 40х – 500 = 0
х= 10
х= -50
х ≠0
х≠ -40
х =10 = посторонних корней нет.
х = -50
Т.к v 0, то условию задачи удовлетворяет корень уравнения: х = 10.
Итак, 10 км/ч- скорость велосипедиста.
Ответ. 10 км/ч .
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ ч. Пусть (х) км/ч скорость течения реки.
S,км |
V ,км/ч |
t ,ч |
|
По течению |
112 |
11+х |
112/(11+х) |
Против течения |
112 |
11-х |
112/(11-х) |
Известно, что на обратный путь лодка затратила на 6 часов меньше, отсюда имеем: на 6 ч.
Составим и решим уравнение: - = 6 | ∙ (11-х)(11+х) ≠ 0
х ≠11, х≠-11
112(11+х) -112(11-х)= 6(11+х)(11-х)
112∙ 11 + 112х - 112∙ 11 + 112х = 726 -6
6 +224х- 726= 0 |:2
3 +112х -363 = 0
Д = 16900
х= 3
х= -
х ≠11
х≠ -11
х = 3 = посторонних корней нет.
х = -
Т.к v 0, то условию задачи удовлетворяет корень уравнения: х = 3.
Итак, 3 км/ч -скорость течения реки.
Ответ. 3 км/ч .
Задачи на работу Работу характеризуют три компонента действия:- Время работы
- Объем работы
- Производительность (количество произведенной работы в единицу времени). Существует следующее соотношение между этими компонентами:
- Объем работы = время работы • производительность
Задачи на совместную работу |
Задачи на движение |
А (работа) |
S (расстояние) |
Р (производительность) |
V ( скорость) |
t (время) |
t (время) |
А (S),л |
Р (V),л/мин |
t ,мин |
|
Первая |
110 |
х-1 |
110/(х-1) |
Вторая |
110 |
х |
110/х |
Т.к Р(v) 0, то условию задачи удовлетворяет корень уравнения: х = 11.
Итак, 11 л/мин воды пропускает вторая труба.
Ответ. 11 л/мин .
На изготовление 416 деталей первый рабочий тратит на 10 часов меньше , чем второй рабочий на изготовление 546 таких же деталей. Известно, что первый рабочий делает за час на 5 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий? Пусть (х) деталей в час делает первый рабочий.
A, всего деталей |
P, дет/ч |
t,ч |
|
I |
416 |
х |
416/х |
II |
546 |
х-5 |
546/(х-5) |
Известно, что первый рабочий тратит на 10 часов меньше , чем второй рабочий, отсюда имеем: на 10 ч.
Составим и решим уравнение: - = 10 | ∙х(х-5) ≠ 0
х ≠0, х ≠ 5
х= 26
х= -8
х ≠0
х ≠ 5 = посторонних корней нет.
х=-8
х= 26
Т.к количество деталей- число положительное, то условию задачи удовлетворяет корень уравнения: х = 26.
Итак, 26 деталей в час делает первый рабочий.
Ответ. 26 деталей .
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая вместе ? Пусть 1 –вся работа. Р=А/t Здесь работают трое, переменных в этой задаче будет три. Пусть х — производительность Игоря, у — производительность Паши, а z — производительность Володи. Работа равна единице.
А – объем работы |
Р-производительность |
t-время |
|
х+у |
1 |
1/9 |
9 |
у+z |
1 |
1/12 |
12 |
х+z |
1 |
1/18 |
18 |
х+у+z |
1 |
1/? |
? |
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. При совместной работе производительности складываются.
Запишем уравнение (х+у) 9= 1.
Игорь и Володя красят забор за 12 часов, аналогично: (y+z) 12=1.
Володя и Игорь красят забор за 18 часов, значит: (x+z) 18=1.
Имеем три уравнения с тремя неизвестными. Составим и решим систему уравнений:
Значит, работая втроем, Игорь, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Таким образом, весь забор они покрасят за 8 часов.
Ответ: 8ч.
Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы» В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:- концентрация (доля чистого вещества в смеси);
- количество чистого вещества в смеси (или сплаве);
- масса смеси (сплава). Соотношение между этими величинами следующее:
- масса смеси • концентрация = количество чистого вещества Схему оформляют в виде прямоугольников, разделённых пополам.
15 |
х |
+ |
65 |
200-х |
= |
30 |
200 |
% кг % кг % кг
Составим и решим уравнение:
0,15х + 0,65∙ (200-х) = 0,3 ∙200
0,15х +130 -0,65х = 60
- 0,5х = 60 – 130
- 0,5х = -70
х =140.
Итак, первого сплава нужно взять 140 кг, тогда
200- 140= 60(кг) нужно взять второго сплава.
Ответ. 140 кг, 60 кг.
Имеется два сплава . Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Решение.
Пусть (х) кг-масса первого сплава.
2 способ решения.
Пусть (х) кг-масса первого сплава, (у) кг-масса второго сплава.
15 |
х |
+ |
65 |
у |
= |
30 |
200 |
% кг % кг % кг
Составим и решим систему уравнений:
0,15х + 0,65у = 0,3 ∙ 200
х + у = 200
х =200-у
0,15 ∙ (200-у) +0,65у = 60
30 - 0,15у + 0,65у = 60
0,5у = 30
у= 30:0,5
у = 60.
х =200-60 = 140.
Итак, первого сплава нужно взять 140 кг, второго -60 кг.
Ответ. 140 кг, 60 кг.
В сосуд, содержащий 5 литров 27-процентного водного раствора вещества, добавили
4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение.
Пусть (х) %- концентрация получившегося раствора.
27 |
5 |
+ |
0 |
4 |
= |
х |
9 |
% л % л % л
Составим и решим уравнение:
0,27 ∙ 5+ 4 ∙ 0 = 0,09х
0,09х = 1,35
х = 1,35:0,09
х = 15.
Итак, 15% -концентрация получившегося раствора.
Ответ. 15%.
Задачи на проценты Процентом числа называется его сотая часть. Решение задач на проценты сводится к основным трем действиям с процентами:- нахождение процентов от числа;
- нахождение числа по его процентам;
- нахождение процентного отношения чисел.
На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Журавлёв, Зайцев, Иванов. Во время выборов за Иванова было отдано в 2 раза больше голосов, чем за Журавлёва, а за Зайцева — в 3 раза больше, чем за Журавлёва и Иванова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?
Решение.
Заметим, что победителем на выборах окажется Зайцев.
Пусть (x) – количество процентов голосов, отданных за Иванова и Журавлёва.
(зх)- за Зайцева .
Составляем и решаем уравнение:
x + 3x = 100
4x = 100
x = 100:4
х= 25.
Итак,25% голосов отдано за Иванова и Журавлёва.
25 ∙ 3 = 75(%) - за Зайцева .
Ответ. За победителя Зайцева было отдано 75 % голосов.
Задачи на процентное содержание влаги Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов? Решение. Заметим, что при сушке фруктов вода испаряется, поэтому необходимо рассматривать не количество воды, а количество питательного вещества, которое остается неизменным. Пусть (х) кг требуется свежих фруктов. Свежие фрукты содержат 100% − 93% = 7 % питательного вещества, а высушенные — 100% − 16% = 84 %. Тогда сухая часть в них (полностью без воды) составит (0,07х) кг. Сухая часть в 21 кг высушенных фруктов составит (0,84∙21) кг. Составим уравнение: 0,07х = 0,84∙21 Решив уравнение, получим х=252. Ответ: 252 кг. Типичные ошибки при выполнении 21 задания- Неверное составление уравнения ( системы уравнений).Причина: неверное понимание условия задачи.
- Время переводится из секунд в часы, но допускаются ошибки.
- Не выполнен перевод единиц измерения.
- Не выполнен перевод в ответе км в м.
- Вычислительная ошибка( -7+5=2 не является вычислительной ошибкой) Рекомендации:
- Если не владеете символикой, не используйте ее.
- Очень важно то, что вы пишите в ответ. Ответ писать с наименованием величины.
- Учить приемам самопроверки.
- Самый элементарный – прикидка ответа (установление границ искомого числа). Прикидка позволяет заметить неправильность рассуждения, несоответствие между величинами, но для многих задач не применим.
- Самый полезный, универсальный – составление и решение обратной задачи. Этот способ проверки развивает мышление, рассуждение, но громоздкий и отнимает много времени.
- Самый надежный способ проверки – решение задачи другим способом.
Спасибо за внимание !
Педагогика - еще материалы к урокам:
- Образцы характеристик для обучающихся и интеллектуальными нарушениями
- Анализ деятельности ДОУ за 2022-2023 учебный год
- Презентация "22 августа - День Государственного флага Российской Федерации"
- Планирование летней оздоровительной работы по ФГОС ДО
- Годовой отчет о проделанной работе в первой младшей группе
- Сценарий к выпускному "Прощание с первым учителем"