Методы решения задач ЕГЭ по геометрии (стереометрия)

Методы решения задач ЕГЭ по геометрии (стереометрия)

• Учитель математики Ланцов Д.И.
• МБОУ «Муриковская СОШ»
• (из опыта работы)

УЧЕБНО –МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКТ 10-11 КЛАСС

• Геометрия. Углубленный уровень. 10-11 класс.: Учебник/ Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич
• Геометрия. Углубленный уровень. 10-11 класс.: Задачник/ Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич

К УЧЕБНО– МЕТОДИЧЕСКОМУ КОМПЛЕКТУ 10-11 КЛАСС

• Геометрия. 8-11 кл.: пособие для школ и классов с углубленным изучением математики /Л.И. Звавич, М.В. Шляпочник.
• Контрольные работы по геометрии. 10-11 класс /Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич.
• ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14. (профильный уровень)/ Гордин Р.К. под редакцией И.В. Ященко.

Стереометрия. Задача 14 ЕГЭ

• Задача состоит из двух частей и оценивается в 2 балла
• а) задача на доказательство (1 балл)
• б) (1 балл), задачи, в основном, на:
• нахождение расстояния между прямыми;
• нахождение угла между прямыми;
• нахождение угла между прямой и плоскостью;
• нахождение угла между плоскостями;
• нахождение площади сечения

• Задачи на нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

• Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые

Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

• Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из них до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой

Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми

• Метод ортогонального проектирования:
• Построим плоскость, перпендикулярную прямой a
• Прямую b спроектируем на эту плоскость

Задача № 4087

• Дан куб с ребром а. К-середина
• ребра . Найти расстояние между прямыми:
• 1. 5. 9.
• 2. 6.
• 3. 7.
• 4. 8.

Решение:

• 1.
• 2.
• 3.

• Решение:

• 4.

• Решение:

• 5.

Решение:

• 6.

Решение:

Решение:

• 8.

Решение:

• 9.

Технологии, используемые в методике

• 1. Технология проблемного обучения
• На уроке создаю проблемные ситуации, постоянно активизирую детей на поиск рациональных способов решения задач. Учу учащихся работать самостоятельно, обобщать и конкретизировать материал.

Технологии, используемые в обучении

• 2. Интегральная технология обучения, которая предполагает слияние основных направлений методики преподавания:
• укрупнение дидактических единиц;
• планирование результатов обучения;
• психологизация образовательного процесса

Технологии, используемые в обучении

• 3. Использую элементы личностно-ориентированной технологии Монахова В.В.
• Эта технология предусматривает гарантированность образовательной подготовки учащихся на любом этапе учебного процесса. Говоря о личностно-ориентированной системе обучения, которую я внедряю в образовательный процесс, надо отметить два важных результата:
• Для ученика выстраивается четкая и рациональная система требований к его знаниям и умениям;
• Я «вижу» проект будущего учебного процесса в виде системы микроцелей.
•  
•  
•  
•  

Задача 1

• В правильной треугольной призме все ребра равны 4. Точка M- середина ребра
• а) Докажите, что прямые MB и
• б)Найдите расстояние между прямыми MB и

•  

• Решение

• а) способ первый

• Решение

• а) способ второй

• Решение

• б) найти расстояние между прямыми и MB

•  

• B1C и BC1 перпендикулярны и из пункта а) имеем
• BM перпендикулярна B1C, значит
• B1C перпендикулярна плоскости (MBC1) и пересекает
• Эту плоскость в точке O. Искомое расстояние
• - это перпендикуляр PO.
• Треугольник MBO подобен треугольнику
• POB (первый признак подобия треугольников)
• Значит
• Из треугольника BCC1 BO=0,5BC1=0,5
• Из треугольника MAB MB=
• Из треугольника MBO MO=
• OP=

•  

МЕТОД КООРДИНАТ В ЗАДАЧАХ ЕГЭ (ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ)

• Расстояние между точками A(x1; y1; z1) и В (x2; y2; z2) (как и модуль вектора ) в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz находится по формуле
• 2. Скалярным произведением векторов (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) называется число
• 3. Если (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) – ненулевые вектора, а α – угол между ними, то

•  

МЕТОД КООРДИНАТ В ЗАДАЧАХ ЕГЭ (ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ)

• 4. Векторы (x1; y1; z1) и (x2; y2; z2) перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда или .
• 5. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0; y0; z0) перпендикулярно ненулевому вектору (A; B; C) – вектору нормали плоскости, имеет вид
• , или A(x-x0)+B(y-y0)+(C(z-z0)=0.
• 6. Любое уравнение Ax+By+Cz+D=0, где числа A, B, C одновременно не равны 0, есть уравнение некоторой плоскости, причем (A; B; C) – вектор нормали этой плоскости.

•  

МЕТОД КРДИНАТ В ЗАДАЧАХ ЕГЭ (ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ)

• 7. Косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между векторами нормалей этих плоскостей, то есть, если β – угол между плоскостями, заданными уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0, то
• 8. Расстояние d от точки M0(x0; y0; z0) до плоскости, заданной уравнением Ax+By+Cz+D=0, находится по формуле
• 9. Если – угол между прямой с направляющим вектором и плоскостью
• Ax+By+Cz+D=0 c вектором нормали то равен модулю косинуса угла между этими векторами, то есть

•  

• Задача 2

• В единичном кубе ABCDA1 B1C1D1 найдите угол между прямымиAB1 и BC1.

• Впишем куб в систему координат как показано на рисунке
• Найдем координаты концов отрезков
•  

•  

• Задача 3

• Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1 со стороной
• основания и боковым ребром 2. Точки M и N – середины ребер A1B1 и CC1 соответственно.
• а) Докажите, что MN перпендикулярно BC1
• б) Найдите расстояние от точки M до плоскости (BC1D)

•  

• а) Введем систему координат.
• -1);
• Значит, MN перпендикулярно BC1
• б) D(
• Уравнение плоскости (BC1D):
• Расстояние от точки M до плоскости (BC1D): (BC1D))=
•  

•  

• Площадь ортогональной проекции многоугольника

• Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскости проекции, то есть

•  

• Задача 4

• В правильной треугольной призме, каждое ребро которой равно 9 дм, постройте сечение, проходящее через сторону основания и середину отрезка, соединяющего центры оснований призмы. Найдите: а) угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы; б) площадь сечения

• а) Из треугольника ABK OK= =
• Из треугольника OEK
• Значит
• б) Треугольник равен треугольнику . Значит
• То есть
• Имеем . Значит 36
•  

•  

Краткое описание методики

• Настоящая методика основана на реализации принципов профильного обучения – региональности, вариативности, индивидуализации и дифференциации обучения;
• Изучение тем программы с позиций курса высшей математики;
• Реализация прикладной направленности обучения математике с использованием ИКТ