Презентация "Определение квадратных уравнений. Неполные квадратные уравнения"

Скачать материал

Подписи к слайдам:

Тема урока:

"Определение квадратных уравнений.

Неполные квадратные уравнения."

Цели урока:

1. Познакомиться с понятиями: квадратное уравнение и неполное квадратное уравнение.

2. Научиться решать неполные квадратные уравнения.

3. Продолжать развивать интерес к математике.

Из истории возникновения квадратных уравнений.

Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, который признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Именно в XVI – XVII вв. происходит бурное развитие науки, прежде всего в области математики и естествознания, и на этой основе складывается новое представление о Вселенной.

Задача знаменитого индийского математика XII века Бхаскары

На две партии разбившись,

Забавлялись обезьяны.

Часть восьмая их в квадрате

В роще весело резвилась.

С криком радостным часть восьмая

Воздух свежий оглашали.

Вместе сколько ты скажи мне,

Обезьян там в роще было?

Решение задачи.

Пусть х – количество обезьян в роще.

1 партия

( х)²

2 партия

Составим и решим уравнение:

( х)² + х = х,

х² + х – х = 0, |*64

х² + 8х – 64х = 0,

х² - 56х = 0.

Квадратным уравнение называется уравнение вида:

ax² + bx + c = 0 (а ≠ 0),

где х – переменная,

a – первый коэффициент,

b – второй коэффициент,

c – свободный член.

Как вы думаете , почему уравнение такого вида называется квадратным?

Определите коэффициенты и

свободные члены в уравнениях:

Например:

3х² + 2х + 7 = 0,

а = 3, b=2 c = 7.

5х² + х – 2 = 0

a = 5, b = 1, c = -2

х² + 2х + 3 = 0

a = 1, b = 2, c = 3

х² + 1 – 3х = 0

a = -1, b = -3, c = 1

-7х +2х² + 2 = 0

a = 2, b = -7, c = 2

-6х - 2х² - 5 = 0

a = -2, b = -6, c = -5

МОЛОДЦЫ!

Определение неполного квадратного уравнения

Вернёмся к задаче Бхаскары.

Определим коэффициенты в уравнении: х² - 56х = 0

a = 1, b = -56, c = 0

Если в квадратном уравнении

ax² + bx + c = 0 (а ≠ 0),

хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме а), то такое уравнение называется

неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают 3 видов:

ax² + c = 0 (c ≠ 0)

Рассмотрим пример:

5х² - 125 = 0, 4х² + 64 = 0,

5х² = 125, 4х² = - 64,

х² = 25, х² = - 64,

х = ±5. корней нет.

Ответ: ±5. Ответ: корней нет.

ax² + bx = 0 (b ≠ 0)

Рассмотрим пример:

4х² + 9х = 0,

х(4х + 9) = 0,

Х = 0 или 4х + 9 = 0,

4х = -9,

х = -2,25,

Ответ: -2,25; 0.

3. ax² = 0

Рассмотрим пример:

5х² = 0,

х = 0.

Ответ: 0.

Таблица решения

неполных квадратных уравнений.

Уравнение	Решение	Корень
ax² + c = 0, (c ≠ 0)	x² = - c/а	если - c/а > 0, то x = ±√-c/a если - c/а < 0, корней нет.
ax² + bx = 0, (b ≠ 0)	x(ax + b) = 0 x = 0 или ax + b = 0	x = 0 или x = - b/a
ax² = 0	x² = 0	x = 0