Преобразование графиков функций (на примере функции у=sin x)

Подслушанный диалог.

Преобразование графиков.

Во многих случаях график функции может быть построен как результат некоторых геометрических преобразований ( параллельный перенос, поворот, симметричное отражение. е относительно какой – либо оси, сжатие к оси, растяжение от оси и др.)известного графика некоторой исходной функции у(х).
Рассмотрим, как используя график функции y= sin х построить графики функций:
- y= sin (x + b)
- y= sin x + b
- y= sin ax
- y= a sin x
- y=a sin (mx + b)
- y=c sin ax +b.

Синусоида.

Построим график функции синус на отрезке [0;2π].Для этого отметим на оси ординат точки(0,-1) и (0,1), а на оси абсцисс точку с абсциссой 2п.Разделим отрезок на 16 равных частей. Отметим на оси абсцисс, через равные промежутки, точки 0,п/2, п,3п/2.Соединяя их плавной кривой, получаем эскиз графика синуса на отрезке [0;2π]. Для построения графика вне этого отрезка заметим, что sin(x+2п)=sin x (n – произвольное целое число). Следовательно, график функции на все прямой получается из построенного графика с помощью параллельного переноса. вдоль оси ОХ (вправо и влево) на 2п,4п,6пи т.д.
синусоида

Синусоидальные кривые.

Синусоидальные кривые

Синусоидальные кривые.

Синусоидальные кривые.

Синусоидальные кривые.

Построение графика функции у = с sin ax + b.

1.Пусть а>0.
Чтобы получить график надо произвести сжатие графика функции к оси ОУ, т. е.абсциссы всех точек графика функции умножить в а раз. Точка пересечения графика функции с осью ОУ останется на месте.
2. Пусть с >0.
При равных значениях аргумента х (из области определения функции) значения функции у1(х) будут в с раз больше соответствующих значений у2(х).Для построения графика функции у2(х) = су1(х) следует каждую ординату графика функции у1(х) увеличить в с раз, т.е. произвести растяжение от оси ОХ.
3.Пусть b>0.
Для построения графика функции у3(х) = у2(х) +b следует график функции у2(х) перенести параллельно в направлении оси ординат, как единое целое на b вверх.

Синусоидальные кривые

Примечания.

Если 0<a<1, то абсциссы всех точек графика у(х) увеличить в 1/а раз (произвести растяжение графика f(х) от оси ОУ).
Если а<0, то к преобразованию сжатия (растяжения) присоединяется симметрия относительно оси ОУ.
Если 0<с<1, то ординату уменьшить в 1/с раз (произвести сжатие графика f(х) к оси ОХ).
Если с<0, то к преобразованию сжатия (растяжения) присоединяется симметрия относительно оси ОХ.
Если b<0, то график функции у2(х) переносится параллельно вниз на b единиц.