Конспект занятия "Преобразование графиков функции с помощью геометрических преобразований элементарных функций" 10 класс
Тема занятия: Преобразование графиков функции с помощью
геометрических преобразований элементарных функций.
Цель занятия: укрепить и усовершенствовать знания по теме «Функции»;
формировать навык схематического изображения графиков некоторых
функций; усвоить наглядное представление алгоритмов преобразования
графиков функций;
развивать умение анализировать информацию; творческую инициативу,
умение принимать решения;
воспитывать культуру построения графиков, стремление к углублению и
совершенствованию знаний.
Вид занятия: лекционное.
Оборудование: мультимедийная доска, проектор, компьютер,
индивидуальные карточки.
Литература:
http://festival.1september.ru/articles/604951/
http://bibliofond.ru/view.aspx?id=652254
http://festival.1september.ru/articles/591449/
http://www.openclass.ru/node/219084
http://pedlib.ru/Books/2/0384/2_0384-33.shtml
1) Зыков А.А. Лекции по алгебре; Яцкин, Н.И. Алгебра: теоремы
учебное пособие;
2) Н.И. Яцкин – Иваново: Иван. Гос. Ун-т, 2006;
3) В.Б. Алексеев Теорема Абеля в задачах и решениях, 2001.
4) Активизация деятельности учащихся при обучении математике. / Под
ред. Д.К. Дашковского М; Изд-во АПН РСФСР, 1961г.
Ход занятия
I. Вступительная часть
1.1. Организация студентов на учебную деятельность.
1.2. Мотивация учебной деятельности.
II. Основная часть
2.1. Актуализация опорных знаний учащихся.
Сегодня на занятии мы рассмотрим основные методы преобразования
графиков функций, дадим методические схемы построения различных
комбинаций графиков для различных функций.
2.2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
ФУНКЦИИ
1. Перенос вдоль оси ординат
f(x) f(x)+b.
ДЛЯ построения графика функции y = f(x) + b следует:
1. построить график функции y=f(x)
2. перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| единиц вниз
при b < 0. Полученный в новой системе координат график является графиком
функции y = f(x) + b.
2. Перенос вдоль оси абсцисс
f(x) f(x+a).
Для построения графика функции y = f(x+a) следует:
1. построить график функции y=f(x)
2. перенести ось ординат на |а| единиц вправо при а>0 или на |а| единиц
влево при а<0.
3. Полученный в новой системе координат график является графиком
функции y=f(x+a).
3. Построение графика функции вида y=f(-x)
f(x) f(-x)
Для построения графика функции y = f(-х) следует:
1. построить график функции y = f(x)
2. отразить его относительно оси ординат
3. полученный график является графиком функции y = f(-х).
4. Построение графика функции вида у = -f(x)
f(x) - f(x)
Для построения графика функции у = -f(x) следует:
1. построить график функции y=f(x)
2. отразить его относительно оси абсцисс
5. Построение графиков четной и нечетной функций
При построении графиков четной и нечетной функции удобно пользоваться
следующими свойствами:
1.График четной функции симметричен относительно оси ординат.
2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Для построения графиков четной и нечетной функции достаточно построить
только правую ветвь графика для положительных значений аргумента. Левая
ветвь достраивается симметрично относительно начала координат для
нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции.
Для построения графика четной функции y = f(x) следует:
1. построить ветвь графика этой функции только в области
положительных значений аргумента х≥О.
2. Отразить этот ветвь относительно оси ординат в область
отрицательных значений х .
Для построения графика нечетной функции y=f(x) следует:
1. строить ветвь графика этой функции только в области положительных
значений аргумента (х≥0).
2. Отразить этот ветвь относительно начало координат в область
отрицательных значений х .
6. Построение графика обратной функции
Как уже отмечалось, прямая и обратная функции выражают одну и ту же
зависимость между переменными х и у, с тем только отличием, что в
обратной функции эти переменные поменялись ролями, что равносильно
изменению обозначений осей координат. Поэтому график обратной функции
симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы I и III
координатных углов, т. е. относительно прямой у = х. Таким образом,
получаем следующее правило.
Для построения графика функции у = (х), обратной по отношению к
функции y = f(x), следует построить график y = f(x) и отразить его
относительно прямой у = х.
2.3. Деформация (сжатие и растяжение) графиков
1. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат
f(x) A∙f(x).
Для построения графика функции y=A∙f(x) следует:
1. построить график функции y=f(x)
2. увеличить его ординаты в А раз при А>1 (произвести растяжение
графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в раз при А
< 1 (произвести сжатие графика вдоль оси ординат)
3. полученный график является графиком функции y = A∙f(x).
2. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс
f(x)
Для построения графика функции у = f( x) следует:
1. построить график функции y=f(x)
2. уменьшить его абсциссы в раз при >1 (произвести сжатие графика
вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в раз при < 1
(произвести растяжение графика вдоль оси абсцисс).
3. полученный график является графиком функции y=f( x).
3. Комбинация переноса, отражения и деформации
Очень часто при построении графиков функций применяют комбинацию
приемов.
Последовательное применение ряда таких приемов позволяет существенно
упростить построение графика исходной функции и нередко свести его в
конце концов к построению одной из простейших элементарных функций.
Рассмотрим, как с учетом изложенного следует строить графики функций.
Отметим, что порядок упрощения целесообразно проводить в следующей
последовательности.
1. Использование четности или нечетности функции.
1. Перенос осей.
2. Отражение и деформация.
3. Построение же графика выполняется в обратной последовательности.
Пример. Построить график функции
Построение проведем по следующим шагам:
1. построим график натурального логарифма :
2. сожмём к оси OY в 2 раза: ;
3. отобразим симметрично относительно оси OY: ;
4. сдвинем вдоль оси OX на (!!!) вправо: :
5. отобразим симметрично относительно оси OX: ;
6. сдвинем вдоль оси OY на 3 единицы вверх: :
2.4. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ и ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
ФУНКЦИИ
Пример 1. Построить график функции .
Сначала изобразим график синуса, его период равен :
график функции получается путём сжатия графика к оси
ординат в два раза.
Пример 2. Построить график функции
Построим параболу и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1
единицу вправо:
Пример 3.Построить график функции
Гиперболу (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на 2 единицы влево:
Пример 4.Построить график функции
Технологическая карточка по теме:
«Преобразования функций»
Вариант I
I. Образец для работы
y =
- 1
1) y =
- построим элементарную функции;
2) y =
- выполним движение по оси x влево на 2 единицы;
3) y =
- 1 – выполним преобразование по оси y на 1 единицу вниз;
II. Постройте по образцу графики функций.
А) y =
+ 2
Б) y =
+ 2
В) y = (x + 1)
2
– 4
Технологическая карточка по теме:
«Преобразования функций»
Вариант I
I. Образец для работы
y =
+ 1
1) y =
- построим элементарную функцию;
2) y =
- выполним движение по оси x вправо на 2 единицы;
3) y =
+ 1 – выполним преобразование по оси y на 1 единицу
вверх;
II. Постройте по образцу графики функций.
А) y =
Б) y =
- 1
В) y = (x – 2 )
2
+ 2
III. Заключительная часть
3.1. Подведение итогов работы студентов, оценка деятельности студентов
3.2. Задание для дальнейшего изучения темы
3.3. Задание для самостоятельной работы.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1. Построить график функции y = x
2
+ 3
2. Построить график функции y = x
3 –
1
3. Построить график функции y = (x + 1)
2
– 4
4. Построить график функции y =
5. Построить график функции y =
– 4
III. Заключительная часть
- Итог изложения материала.
- Направление дальнейшей самостоятельной работы студентов над
темой.
Построить графики по пройденным схемам построения.
1. y =
2. -y =
- 1
Математика - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Существование и единственность перпендикуляра к прямой" 7 класс
- Конспект урока "Прямо пропорциональные и обратно пропорциональные величины" 6 класс
- Презентация "Больше. Меньше. Столько же" 1 класс
- Презентация по математике "Подготовка к входной контрольной работе" 3 класс
- Презентация "Учимся решать задачи на умножение и деление"
- Конспект урока "Умножение на трёхзначное число с нулём в середине и в конце"
