Ученики на Учителя.com


По материалам ЕГЭ "Неравенства, содержащие радикалы"

Иррациональные неравенства.
1.Решите неравенство
Правая часть неравенства неотрицательна:
(по определению корня квадратного).
Поскольку левая часть положительна:
Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Неравенство равносильно системе:
Ответ: (5;+∞)
2.Решите неравенство .
Здесь правая часть может быть и положительной, и отрицательной, и равной нулю. И надо рассмотреть все эти случаи.
1) Пусть правая часть неравенства неотрицательна. И левая тоже неотрицательна (по определению арифметического
квадратного корня). И подкоренное выражение неотрицательно. Значит, при обе части неравенства можно возвести
в квадрат.
Получим:
Разложим выражение на множители. Корни уравнения – это и .
Получаем систему:
2) Пусть теперь правая часть неравенства отрицательна. Если то неравенство выполняется. В самом
деле, по определению. Значит,
Нам нужно только, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно: .
Получим:
Объединим полученные интервалы и запишем ответ.
Ответ: .
3.Решите неравенство
Ответ:
4.Решите неравенство
Ответ:
5.Решите неравенство
Сделаем замену , тогда
Ответ:
6. Решите неравенство
Ответ:
Неравенства, содержащие радикалы. По материалам ЕГЭ.
1. Задание 15 № 507582
Решите неравенство
Решение.
Решение неравенства ищем при условиях: откуда
Рассмотрим два случая:
1) т. е. и, значит, или Тем самым, — решение задачи.
2) Разделив обе части неравенства на получим: откуда
Решим это неравенство, получим: или
Учитывая ограничения, получаем множество решений исходного неравенства:
О т в е т :
2. Задание 15 № 507612
Решите неравенство
Решение.
Имеем:
О т в е т :
Примечание.
Напомним, что При этом условие избыточно, так как величина, большая неотрицательной, заведомо положительна.
Существенным моментом решения является хорошее понимание этого обстоятельства. Именно поэтому, решая
неравенство нет необходимости дополнительно решать неравенство
3. Задание 15 № 507792
Решите неравенство
Решение.
Пусть Получаем систему неравенств:
Следовательно:
Таким образом, решением исходного неравенства является множество
О т в е т :
4. Задание 15 № 507894
Решите неравенство
Решение.
Перейдем к равносильной системе:
Из первого неравенства получаем или
Второе неравенство выполняется при всех
Из третьего неравенства получаем или
Таким образом, множество решений исходного неравенства:
О т в е т :
5. Задание 15 № 508431
Решите неравенство:
Решение.
Неравенство имеет смысл при
1. Пусть Тогда и неравенство равносильно неравенству Решим систему:
2. Заметим, теперь, что также является решением.
О т в е т :
6. Задание 15 № 511239
Решите неравенство
Решение.
Последовательно получаем:
И решим это неравенство методом интервалов, учитывая, что
О т в е т :
7. Задание 15 № 485951
Решите неравенство
Решение.
Если то или При этих значениях выражение имеет смысл,
поэтому и являются решениями неравенства.
Если то при этом Тогда
Пересекая полученное решение с множеством и учитывая, что точки 0 и 6 также входят в являются решениями неравенства, получим
множество решений исходного неравенства:
О т в е т :
8. Задание 15 № 507175
Решите неравенство
Решение.
Данное неравенство эквивалентно системе неравенств:
Решим второе неравенство системы методом интервалов:
Отметим на прямой точки, как показано на рисунке:
Учитывая неравенство получаем решение:
О т в е т :
9. Задание 15 № 539881
Решите неравенство
Решение.
Корень существует на отрезке [1; 5]. Преобразуем неравенство на этом множестве: приведем к общему знаменателю, и воспользуемся методом
интервалов (см. рис.):
О т в е т :
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: