Ученики на Учителя.com


План-конспект урока "Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля" 10 класс

План-конспект урока
Предмет – Алгебра и начала анализа.
Класс – 10.
Тема: «Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля».
Учебно-методический комплект автора А. Г. Мордковича.
Цель урока:
изучить методы решения уравнений и неравенств, содержащие модуль;
рассмотреть различные примеры их применения.
Задачи урока:
рассмотреть понятие модуля;
рассмотреть методы решения уравнений и неравенств данного вида;
применить изученные методы к конкретным примерам.
Ход урока:
I. Сообщение темы урока.
II. Содержание учебного материала:
модуль числа и его свойства;
методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак
модуля.
План-конспект
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Модулем (абсолютной величиной) числа а называется само
число а, если а ≥ 0, и число –а, если а < 0.
Свойства:
1
0
. |а| ≥ 0.
0a
.
2
0
. |а – b| есть расстояние между точками a и b числовой оси; в
частности, |а| равен расстоянию от точки а до точки 0 числовой оси
(геометрический смысл модуля).
3
0
. |–а| = |а|.
4
0
. |аb| = |а|·|b|;
b
a
b
a
(b0).
5
0
. |а|
2
= а
2
= |а
2
|.
6
0
.
ba
ba
b
ba
,
,0
7
0
.
ba
ba
ba
,
8
0
.
ba
ba
ba
,
9
0
.
22
baba
10
0
.
, причем
0 abbaba
Из определения и свойств модуля вытекают основные методы решения
уравнений и неравенств с модулем:
1) «раскрытие» модуля (т. е. использование определения);
2) использование геометрического смысла модуля (свойства 2);
3) использование равносильных преобразований (свойства 6-10);
4) замена переменной (при этом используется свойство 5).
Традиционным является «раскрытие» модуля (метод интервалов). Суть
метода заключается в том, что числовая ось разбивается на несколько
интервалов нулями функций, стоящих под знаком модуля в данном
уравнении (неравенстве). На каждом из этих интервалов любая из указанных
функций либо положительна, либо отрицательна. Поэтому каждый из
модулей раскрывается либо со знаком плюс, либо со знаком минус. Таким
образом, остается найти решение уравнения (неравенства) на каждом
интервале и объединить эти решения.
Пример 1. Решить неравенство:
.121223 xxx
Решение.
Рассмотрим четыре случая.
1.
1
1
,1
122223
,1
x
x
x
xxx
x
2.
1
3
2
1
1
3
2
122223
,1
3
2
x
x
x
xxx
x
3.
3
2
3
1
3
1
,
3
2
0
122223
,
3
2
0
x
x
x
xxx
x
4.
1
1
,0
122223
,0
x
x
x
xxx
x
Объединим эти решения:
Ответ:
;
3
1
1;
.
Пример 2. Решить уравнение:
.1095
22
xxxx
-1
3
1
3
2
1
x
3x-2
x
x-1
1
0
3
2
Решение.
Пусть
axx 5
2
. Тогда уравнение примет вид
104 aa
.
Воспользуемся геометрическим смыслом модуля: найдем все точки числовой
оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек 0 и 4 равна 10.
Очевидно, искомые точки лежат вне отрезка [0; 4]. Рассмотрим точку,
лежащую левее точки 0 на оси. Пусть эта точка – искомая. Тогда сумма
расстояний от нее до точек 0 и 4 складывается из длины отрезка [0; 4] и
удвоенного расстояния до точки 0. Таким образом, расстояние от искомой
точки до точки 0 равно
3
2
410
. Поэтому искомой точкой является -3.
Очевидно, что вторая искомая точка – это точка 7. Итак,
;7
,3
104
a
a
aa
.3
,4
,2
,1
012
,02
75
,35
2
22
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
Ответ: {–4; –2; 1; 3}.
Решением примера 2 методом интервалов оказалось бы значительно
более громоздким. Вообще, использование геометрического смысла модуля
является целесообразным при решении уравнений и неравенств, левая часть
которых представляет собой сумму вида
caxbax
(либо одно из слагаемых), а правая часть равна некоторому положительному
числу.
-3
7
0
4
2
410
2
410
4
Пример на применение свойства 5.
Пример 3: Решить уравнение:
1222
2
xxx
.
Решение: Уравнение равносильно следующему:
0222224
2
2
xxxxx
.
Пусть
2 xt
,
0t
. Тогда
2
2
2 tx
, и уравнение примет вид:
.2
,1
02
2
t
t
tt
Но
0t
, поэтому
1t
, откуда
.3
,1
12
x
x
x
Ответ: {1; 3}.
Свойство 5 целесообразно использовать при решении уравнений и
неравенств вида
0
2
cvxfbxaf
.
Второй основной метод решения уравнений и неравенств с модулем
заключается в использовании равносильных преобразований (свойства 6-10).
Пример 4. Решить уравнение (неравенство):
а)
;23203
22
xxxx
б)
;2323
2
xxx
в)
;112
33
xxx
г)
;1
4
45
2
2
x
xx
д)
;12123
222
xxxxxx
Решение: а) Так как обе части неравенства неотрицательны, то
возведение в квадрат является равносильным преобразование:
02320323203
2
2
2
2
2
2
2
2
xxxxxxxx
02320323203
2
2222
xxxxxxxx
.033
3
11
0182226
2
2
xxxxx
Решим последнее неравенство методом интервалов:
Ответ:
3
11
;33;
.
Были использованы свойства 5 и 9.
б)
.2
,6
2
,6
,0
,
3
2
2323
,2323
,023
2
2
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
x
Ответ: {2; 6}.
в)
.0112
,1
112
,112
33
33
xxx
x
xxx
xxx
Решим второе неравенство последней совокупности методом
интервалов:
Объединяя найденные решения с решением неравенства
1x
,
получим ответ.
-3
3
3
11
x
-1
0
x
1
Ответ:
1;01:
.
г)
.0
22
2
5
,0
22
5
8
01
4
45
,01
4
45
1
4
45
1
2
2
2
2
2
2
xx
xx
xx
x
x
xx
x
xx
x
xx
Решим (1) методом интервалов:
Решим (2) методом интервалов:
Найдем пересечение решений:
Ответ:
;
2
5
5
8
;0
.
д) Перепишем уравнение (так как
aa
):
xxxxxx
222
12123
.
(1)
(2)
-2
5
8
x
2
-2
2
5
x
2
0
-2
2
5
x
2
0
5
8
Из свойства 10:
0 abbaba
.
Тогда уравнение равносильно неравенству:
012123
22
xxxx
012123
22
xxxx
01
3
1
2
1
2
xxx
.
Метод интервалов дает:
Ответ:
1
3
1
;
2
1
.
В примере 4 а-г применение метода интервалов привело бы к
существенно сложным и громоздким выкладкам. Какой из двух основных
методов предпочтительнее, зависит от вида уравнения (неравенства). Метод
интервалов наиболее рационален при решении уравнений и неравенств с
модулем, содержащих более одного знака абсолютной величины, если под
знаками модуля находятся линейные функции. Если же функция под знаком
модуля более сложная (например, квадратный трехчлен), то, скорее всего,
более рационально использование равносильных преобразований.
III. Закрепление рассмотренных методов решений уравнений и
неравенств.
Упражнения для самостоятельной работы в классе и дома
2
1
x
1
3
1
1. Решите уравнение (неравенство):
а)
;xx
г)
;xx
б)
;xx
д)
;xx
в)
;xx
е)
.xx
2. Решите уравнение (неравенство):
а)
;22
22
xxxx
б)
;44
33
xxxx
в)
;11 xxxx
г)
.321321 xxxxxx
3. Решите уравнение (неравенство), используя геометрический смысл
модуля:
а)
;53 x
к)
;513 xx
б)
;75 x
л)
;42121 xx
в)
;22 x
м)
;121 xx
г)
;453 x
н)
;221 xx
д)
;87 x
о)
;553 xx
е)
;13 x
п)
;321 xx
ж)
;352 x
р)
;10104
22
xxxx
з)
;531 xx
с)
.10113
22
xxxx
и)
;954 xx
4. Решите уравнение (неравенство) методом интервалов:
а)
;34132327 xxxx
б)
;1213 xxxx
в)
;13
2
xxx
г)
.122
22
xxxxx
5. Решите уравнение (неравенство), используя замену переменной:
а)
;1
213
112
x
x
в)
;12
3
13
2
x
xx
б)
;075 xx
г)
.0
6151
3213
2
2
xx
xxx
6. Решите уравнение (неравенство), используя равносильные
преобразования:
а)
;3223 xx
и)
;1
32
3
2
2
xx
xx
б)
;231 xx
к)
;3535 xx
в)
;955
2
xxx
л)
;
1
1 x
x
x
x
г)
;7452 xx
м)
;112
33
xxx
д)
;8989
2
xxx
н)
;754332 xxx
е)
;2224
22
xxxx
о)
;1126557 xxx
ж)
;1352 xx
п)
.23252483
222
xxxxxx
з)
;
34
1
43
34
xx
x
Ответы для самоконтроля:
1. а)
0x
; б)
0x
; в)
0x
; г)
0x
; д)
0x
; е)
0x
.
2. а)
;20;
; б)
2;02;
; в)
;10;
; г)
3;21;
.
3. а)
8;2
; б)
2;12
; в)
0;4
; г)
3;
3
1
; д)
;115;
; е)
4;2
; ж)
;14;
; з)
5,1;5,3
; и)
5;4
; к)
;5,35,1;
; л)
1;1
; м)
;12;
; н)
1;5
; о)
4;
; п)
3
4
;2
; р)
4;2;1;3
; с)
4;21;3
.
4. а)
3
4
;
5
2
; б)
;51;
; в)
2;2
; г)
;1
.
5. а)
1;1
; б)
;75;57;
; в)
6;0
; г)
4;33;20;11;2
.
6. а)
1;1
; б)
4;
3
2
; в)
9;3;1;3
; г)
5
1
; д)
18;4
; е)
1;0;
3
2
; ж)
2
1
;
8
3
; з)
1;
2
1
; и)
;
2
3
5
3
;1
; к)
;11;
; л)
;11;
; м)
;10;
; н)
;
2
3
3
4
;
; о)
;
7
5
5
6
;
; п)
2
3
2
;
2
1
.
IV. Домашнее задание.
Задание для домашней работы определяется индивидуально.
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: