Открытый урок "Решение нестандартных показательных уравнений" 11 класс скачать

государственное бюджетное общеобразовательное

учреждение

Самарской области лицей города Сызрани

городского округа Сызрань Самарской области

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе:

«Решение нестандартных показательных уравнений»

(комбинированный урок)

Форма урока: урок-практикум.

Составила: учитель математики

Жукова С.В.

г. Сызрань

2014-2015 г

Открытый урок по теме:

«Решение нестандартных показательных уравнений».

Цели:

Образовательные:

• систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся,

связанные с применением методов решения показательных уравнений;

• сформировать умения решать нестандартные показательные

уравнения;

• способствовать развитию навыков самостоятельного применения

знаний при решении показательных уравнений, в том числе

нестандартными способами.

Развивающие:

• формировать познавательную мотивацию учащихся в учебный

процесс;

• формировать эмоциональную включенность учащихся в учебный

процесс;

• формировать развитие познавательного интереса;

• формировать развитие у учащихся самостоятельности.

Воспитательные:

• умственное воспитание: формирование логического, абстрактного,

системного мышления;

• воспитание сознательной дисциплины и норм поведения;

• воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные

решения;

• воспитание интереса к истории математики как науки.

Оборудование: интерактивная доска, слайдовая презентация.

План урока:

I. Проверка домашнего задания.

II. Повторение теоретического материала.

III. Изучение нового материала. Решение нестандартных показательных

уравнений.

IV. Самостоятельная работа по выбору.

V. Подведение итогов урока.

VI. Задание на дом.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Повторение теоретического материала.

Фронтальный опрос учащихся.

1. Какая функция называется показательной?

2. Какими свойствами обладает показательная функция?

3. Какова её область определения?

4. Какова область изменения?

5. Какова показательная функция по монотонности?

6. Возрастает или убывает функция:

а) y=

x













5

3

; б) y=

x

3

16

; в) y=

x















10

325

; г) y=

x















10

325

?

7. Сформулируйте теорему о корне.

- Повторим методы решения простейших показательных уравнений на

конкретных примерах. Как будете решать уравнения? (слайдовая

презентация)

1)

324 

x

2)

1433

11



 xx

3)

06254 

xx

4)

3

1

5

sin



x

5)

15

sin



x

III. Изучение нового материала. Решение нестандартных показательных

уравнений.

Решить уравнения:

1)

1635 

xx

(Учитель на доске дает образец решения уравнения.)

Решение.

Подбором определяем, что x=2 – корень данного уравнения.

 

верно 1635

22

Докажем, что других корней у уравнения нет.

16351635 

xxxx

, так как

03 

x

, то и

x

3

16

1

3

5















.

Функция

x

xf















3

5

)(

- возрастающая на R, а функция

x

3

16

1)( 



-

убывающая на R.

Значит, уравнение

x

3

16

1

3

5















имеет единственный корень. Поэтому

корней у данного уравнения, кроме

2x

, нет.

Ответ: 2.

2)

xxxx

9432 

(Учитель делает только первый переход к

равносильному уравнению, а затем кто-то из учеников решает на доске,

комментируя решение.)

Решение:

1-ый способ.



xxxx

9432

   



22

23324932

xxxxxxxx

       

023123232332 

xxxxxxxxxx

,

так как

032 

xx

, то



xxxx

3210231

1

3

1

3

2































xx

В левой части уравнения убывающая функция (как сумма двух убывающих

функций, поэтому, если уравнение имеет корень, то он единственный).

Очевидно, что

1x

, так как

1

3

1

3

2



Ответ: 1.

2-й способ.

1

9

4

3

1

9

2

9432 











































xxx

xxxx

, так как

09 

x

.

В левой части уравнения убывающая функция (как сумма трех убывающих

показательных функций). Тогда по теореме о корне – уравнение имеет

единственный корень, а поэтому единственный корень имеет и равносильное

ему данное уравнение.

xxxx

9432 

.

Нетрудно видеть, что

1x

- корень

 

верно

1111

9432

Ответ: 1.

3)

 

x

xx

10325325 





























Решение: (Один из учащихся решает на доске)

 

010 

x

, разделим обе части уравнения на

 

x

10

, тогда

.(*)1

10

325

10

325































xx

1

10

325

0 

















и

1

10

325

0 

















В левой части уравнения (*) - сумма двух убывающих функций есть функция

убывающая. А поэтому, если уравнение (*) имеет корень, то он

единственный.

2x

1

10

325

10

325

10

325

10

325

22





































Ответ: 2.

4)

 

02,0525356

1sin1sin22



 xx

xx

Решение:

Найдем О.Д.З. х:

51056056

22

 xxxxx

.

 

5;1x

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один

из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.

056

2

 xx

или

02,05253

1sin1sin2



 xx

056

2

 xx

Пусть

0,5

sin

 tt

x

, тогда

056

2

 xx

0

5

1

5

2

5

3

2

 tt

5;1

21



xx

0123

2

 tt

3

1

;1;

3

21

;431

4

212;1





 ttt

D

15

sin



x

или

;

3

1

5

sin



x

0sin x

Пустое множество

Znnx  ,



,

но

51  x

(О.Д.З.), т.е.



 xnn ,1,51

(это третий корень

данного уравнения).

Ответ: 1; 5;



.

5)

 

02222134  xx

xx

Решение:

Обозначим

y

x

2

,

22

24 y

xx



и получим квадратное относительно y

уравнение.

 

022213

2

 xyxy

   

 811888816926222413

22

2

xxxxxxxD

 

2

9 x

2

)9(13

2;1





xx

y

;

2

913

1







xx

y

x

xx

y 



 11

2

913

2

Итак, имеем:

1

,22



x

или

x

112

В левой части уравнения возрастающая функция,

а в правой – убывающая. Уравнение не может иметь

более одного корня.

 

верно

x





3112

3

Ответ: 1; 3.

6)

xxx 2

3322

2



Решение:

0

2

x

, следовательно,

12

2



x

Пусть

xx 2

332 

и

0,3  yy

x

.

Тогда

 

111122

2

22

 yyyyy

.

 

11

2

 y

Рассмотрим

10 

.

Наибольшее значение квадратичная функция

 

y

принимает при

1,1 y

.

Таким образом,

12

2



x

,а

1332

2



xx

.

Данное равенство справедливо при

13322

2



xxx

, что возможно при

0x

.

Ответ: 0.

7)При каких значениях параметра «b» уравнение

 

04532329

2

 bbb

xx

имеет два различных корня?

Решение:

Обозначим

0,3  tt

x

.

 

045232

22

 bbtbt

.

Для того чтобы корни

1

t

и

2

t

были положительны и различны, необходимо и

достаточно:

0D

,

 

04523

2

 bbb

,

0

21

tt

,



 

0232  b

,



0

21

tt

,

045

2

 bb

,

 

01

2

b

,



1b

,

8,0b

,

8,0b

.

Ответ:

   

 ;11;8,0

.

IV. Самостоятельная работа по выбору.

За 10 минут решить любые два (из трех) уравнения (слайдовая

презентация):

1)

 

x

13512

2



,

2)

18549549 





























xx

,

3)

    

03233

185112

2



 xxxx

.

На интерактивной доске приготовлены решения этих уравнений

(для сличения после 10 минут).

1) Решение:

1

13

5

13

12

,013 





























xx

x

.

 

x

xf















13

12

и

 

x















13

5



- убывающие функции на R, сумма двух

убывающих функций есть функция убывающая, поэтому уравнение

1

13

5

13

12





























xx

имеет единственный корень

2x













































1

169

25144

13

5

13

12

22

.

Ответ: 2.

2) Решение:

151681549549 





























.

549

1

549





.

Пусть

y

x















 549

, где

0y

, тогда

18

1



y

;

0118

2

 yy

;

8019

4

2



D

,

549

1

549

2;1





y

.

549

1

y

;

549

2

y

;

549549 















x

, или

549549 















x

,

 

1

2

549549 















x

,

549

1

549

2



















x

,

1

2



x

,

1

2



x

,

2x

2x

.

Ответ: 2; -2.

3)

 

03

18



x

, разделим обе части уравнения на

 

18

3

x

    





03233

185112

2

xxxx

      





0233

18511812

2

xxxxx

0233

34782

22



 xxxx

.

Пусть

0,3

34

2





tt

xx

, тогда уравнение примет вид:

023

2

 tt

,

0

3

2

,1,25241

21

 ttD

.

1t

, тогда

3;1,034,13

21

234

2





xxxx

xx

.

Ответ: 1; 3.

V. Подведение итогов урока.

Мы рассмотрели примеры решения трансцендентных уравнений.

Огласить отметки за решение уравнений на уроке.

Задание на дом:

1) Решить уравнение:

    

052535

162112

2



 xxxx

.

2) При каких значениях параметра «a» уравнение

 

0342354

2

 aaa

xx

имеет единственное решение?

3) Решите уравнение:

452...642

04,05





x

.

Открытый урок "Решение нестандартных показательных уравнений" 11 класс

Алгебра - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы