ЕГЭ по математике "Задачи с экономическим содержанием. Вклады. Кредиты"

Задачи с экономическим

содержанием. Вклады. Кредиты.

ЕГЭ -2020

Манаенко Светлана Григорьевна,

учитель математики

МБОУ «Обоянская СОШ №2»

2020г.

«Нажить много денег - храбрость;

сохранить их - мудрость,

а умело расходовать – искусство»

Бертольд Авербах

(нем. писатель)

Экономические задачи

Под задачами с экономическим содержанием будем понимать задачи, поставленные в области экономики, решение которых требует использования математического аппарата.

Цель занятия: обобщить умения решать экономические задачи. Цель занятия: обобщить умения решать экономические задачи. Задачи:

• повторить разные математические методы при решении экономических задач;
• напомнить о различии между аннуитетным и дифференцированным кредитами;
• классифицировать некоторые экономические задачи по типам и методам решения.

<number>

В ЕГЭ такие задачи входят в задание под № 17.

В спецификации профильного уровня в графе "примерное время выполнения" задачи повышенной сложности составляет 35 минут.

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: — неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Как работает банк Что необходимо знать Кредиты

• Выбирая кредитную программу, потенциальные заемщики ориентируются на процентную ставку по кредиту. Таких методов существует два: дифференцированные платежи и аннуитетные платежи.
• Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего.
• Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов.

Выплаты кредита производятся равными платежами (аннуитет) Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно (дифференцированный платеж)

Все представленные в банке ЕГЭ задачи можно условно разделить

на группы и подгруппы:

    Группа I банковские задачи на вклады

         1)      нахождение срока вклада;

         2)      вычисление процентной ставки по вкладу;

         3)      нахождение суммы вклада;

         4)      нахождение ежегодной суммы пополнения вклада 

Группа II банковские задачи на кредиты:

         1)      нахождение количества лет выплаты кредита;

         2)      вычисление процентной ставки по кредиту;

         3)      нахождение суммы кредита;

         4)      нахождение ежегодного транша.

Группа III задачи, не связанные с банковскими операциями.

Задачи на вклады Задача 1.(срок вклада) Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счет, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счете. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счет, на который ежегодно кладет по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают? 1-й вклад с 1 сентября 2008 года ежегодно вклад - 1000 руб. под 20% . Через 6 лет с 1 сентября 2014 года 2-й вклад ежегодно - 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают? Решение: Задача 2.(наименьший размер вклада) Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 1 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 10 млн рублей. Решение: Задача 3. (наименьший % по вкладу за определенный срок) По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу « Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А». Решение: Задача 4. (ежегодное пополнение вклада) В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу? Решение: В данной задаче рассматривается вклад с пополнением. Обозначим через S тыс.рублей ежегодную сумму пополнения. 50% годовых означает увеличение вклада в 1,5 раза. Тогда сведём данные в таблицу:

Ответ: 210000 руб.

Задачи на кредиты Задача 5. (наибольший %, при котором общая сумма выплат меньше х руб.) 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг в млн. руб.	1	0,6	0,4	0,3	0,2	0,1	0

Решение: По условию, долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом: 1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0. Пусть k=1+0,01r, тогда долг на 1-е число каждого месяца равен: k; 0,6k; 0,4k; 0,3k; 0,2k; 0,1k. Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют: k-0,6; 0,6k-0,4; 0,4k-0,3; 0,3k-0,2; 0,2k-0,1; 0,1k . Общая сумма выплат составляет: k(1+0,6+0,4+0,3+0,2+0,1) – (0,6+0,4+0,3+0,2+0,1)=2,6k-1,6 По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей, значит, 2,6k-1,6<1,2; 2,6k<2,8; k<28/26; k<14/13. Значит, 1+0,01r<14/13 0,01r<1/13; r<100/13. Наибольшее целое решение этого неравенства — число 7. Значит, искомое число процентов — 7. Ответ: 7%.

Задача 6. (наибольший %, если общая сумма выплат больше х руб) 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей Найдите наименьшее значение r , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Дата	15.01	15.02	15.03	15.04	15.05	15.06	15.07
Долг в млн. руб.	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0

Задача 7. (нахождение % при разных траншах) В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r. Задача 8. (Нахождение %, если общая сумма выплат больше суммы кредита на n%) 15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r. Задача 9. (Кредит на (n+1) месяцев. Нахождение %) 15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n -й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n -го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n+1) -го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей. Решение: По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля следующим образом: 1000, 960, 920, ..., 240, 200, 0. Значит,  Первого числа каждого месяца долг возрастает на r %. Пусть k =1 +0,01r  , тогда последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число такова: 1000k, 960k, ..., 240k, 200k. Следовательно, выплаты (в тыс. рублей) должны быть следующими: 1000(k − 1) + 40,   960(k − 1) + 40,   ...,  240(k − 1) + 40,    200k. Всего следует выплатить (k-1)(1000+960+…+240)+40*20+200k= Тогда 12 600k − 11 600 = 1378, откуда 12 600k = 12 978, и следовательно,  k = 1,03, то есть r = 3.   Ответ: 3.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S - целое число. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

• в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн. рублей.

Месяц и год	Июль 2020	Июль 2021	Июль 2022	Июль 2023
Долг (в млн. рублей)	S	0,8S	0,5S	0

Задача 10. (наибольшее значение кредита, если каждая из выплат меньше некоторой суммы)

Решение.

Долг перед банком (в млн. рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:

S; 0,8S; 0,5S; 0

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 25%, значит, долг в январе каждого года равен:

1,25S; 1,25∙0,8S; 1,25∙0,5S

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:

1,25S - 0,8S = 0,45S

1,25∙0,8S - 0,5S = 0,5S

1,25∙0,5S – 0 = 0,725S

По условию, каждая из выплат должна быть меньше 4 млн. рублей.

Это будет верно, если максимальная из выплат меньше 4 млн.рублей, т. е.

0,725S< 4;

S< 6,4

S = 6

Наибольшее целое решение этого неравенства – число 6. Значит, искомый размер кредита 6 млн. рублей. Ответ: 6 млн. руб.

Задача 11. (нахождение общей суммы выплат ) Взяли кредит 177 120 рублей в банке на четыре года под 25% годовых и выплатили четырьмя равными платежами. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита?

Решение.

Ответ: 300000 рублей

Задача 12. (нахождение суммы долга на определенном сроке) 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей? Решение: Пусть 15-го числа 10-го месяца долг составит Х тысяч рублей. По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на 15-е число должен уменьшится до нуля следующим образом: х+800;х+720;…;х+80;х;0. Первого числа каждого месяца долг возрастает на 3%, увеличивается в 1,03 раза, значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число такова: 1,03(х+800); 1,03(х+720); …;1,03(х+80); 1,03х. Следовательно, выплаты (в тыс. рублей) должны быть следующими: 1,03(х+800)-(х+800)+80; 1,03(х+720)-(х+720)+80; …;1,03(х+80)-(х+80)+80; 1,03х. Упростим и получим 0,03(х+800)+80; 0,03(х+720)+80; …;0,03(х+80)+80; 1,03х. Всего следует выплатить (тыс. рублей): 0,03(х+800)+80 + 0,03(х+720)+80 + …+0,03(х+80)+80+ 1,03х= 0,03(10х+800+720+…+80)+80*10+1,03х= 0,03*(10х+4400)+800+1,03х=932+1,33х откуда   932+1,33х=1198 х=200 Значит, 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тыс. рублей.   Ответ: 200 тысяч рублей. Задача 13. (сумма первоначального вклада) Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 1 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 10 млн рублей. Решение: Пусть первоначальный вклад равен S млн рублей. Тогда в конце 1-го года вклад составит 1,1S, а в конце 2-го — 1,21S. В начале 3-го года вклад составит 1,21S + 1, а в конце — (1,21S+1)1,1=1,331S + 1,1. В начале 4-го года вклад составит 1,331S + 2,1, а в конце — (1,331S + 2,1)1,1=1,4641S + 2,31. По условию, нужно найти наибольшее целое S, для которого выполнено неравенство 1,4641S + 2,31>10, откуда 1,4641S>7,69; S>5,25.  Наименьшее целое решение этого неравенства — число 5. Значит, размер первоначального вклада составляет 5 млн рублей.   Ответ: 5 млн рублей. Задача 14. (сумма первоначального вклада) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: —каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей? Решение: Пусть кредит взят на n лет. Обозначим сумму кредита S = 16 млн руб, а процентную ставку — r=0,25 В соответствии с условием задачи заполним таблицу:   Спасибо за внимание!!! Адрес для обратной связи: [email protected] Список литературы: 1) МАТЕМАТИКА. ЕГЭ. ЗАДАЧА С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ: УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ. / ПОД РЕД. Ф.Ф.ЛЫСЕНКО И С.Ю.КУЛАБУХОВА, РОСТОВ-НА-ДОНУ:ЛЕГИОН, 2019. – 80С. 2) ЕГЭ. МАТЕМАТИКА. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ: ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВАРИАНТЫ: 36 ВАРИАНТОВ / ПОД РЕД. И.В.ЯЩЕНКО, ИЗДАТЕЛЬСТВО “НАЦИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ”, 2019 – 256С. 3) Д.Д.ГУЩИН, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ. ВЕБ-СТРАНИЦА КУРСА С АКТУАЛЬНЫМИ МАТЕРИАЛАМИ: HTTP://RESHUEGE.RU/COURSE?ID=2610 ИЗДАНИЕ 2, ДОПОЛНЕННОЕ. — 05.04.2016