Презентация "Задачи c экономическим содержанием в ЕГЭ"

• Московская область, г. Королёв

• Учитель математики МАОУ ЛНИП:
• Ткаченко Лидия Анатольевна

ЗАДАЧИ C ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ в ЕГЭ

Простые проценты. Налоги.

• если величина А больше величины В на p%, то
• если величина А меньше величины В на p%, то

•  

Сложные проценты. Вклады.

• 2) при последовательном изменении величины на в течение n периодов, она становится равной
• где величины могут быть как положительными при увеличении величины на p%, так и отрицательными при уменьшении величины на p%.

•  

или

1) Величина S0 , увеличиваемая на p% в течение n периодов в конце n-го этапа становится равной

Кредиты

• Выбирая кредитную программу, потенциальные заемщики ориентируются на процентную ставку по кредиту. Таких методов существует два: дифференцированные платежи и аннуитетные платежи.
• Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего.
• Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов.
• Чтобы наглядно показать разницу в погашении кредита при разных методах начисления платежей, приведем графики погашения кредита в размере 1 000 000 руб., взятого на 20 лет при 12% годовых (серым выделена выплата процентов по кредиту, синим — выплата тела кредита).

График погашения кредита дифференцированными платежами

График погашения кредита аннуитетными платежами

Кредиты

Дифференцированные платежи дают линейную зависимость от погашения кредита: чем меньше должен — тем меньше начислили процентов.

Сумма и срок досрочного погашения ничем не ограничены.

Досрочное погашение в аннуитетной схеме лишь сокращает срок выплаты кредита: на графике «срезаются» последние платежи и отпадает необходимость платить соответствующие им проценты, которые в конце графика как раз очень малы.

Таким образом, в аннуитетной схеме досрочное погашение невыгодно.

Теорема об аннуитетных платежах

• Обобщая вышеприведенные рассуждения на случай n платежных периодов (дней, месяцев, лет), получим общие формулы, связывающие сумму кредита , коэффициент, где q% — процентная ставка за период, величину текущего долга и постоянную выплату х:
• и тогда

•  

;

 

 

;

 

 

Теорема о дифференцированных платежах.

• Повторив решение предыдущей задачи для n месяцев, получим общие формулы для дифференцированных платежей.
• Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма , причем каждый платежный период долг сначала возрастет на q% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за все время выплаты кредита даются формулами

•  

 

 

1. Вклад А: 10% в год на 3 года

n - % вклада, k – количество лет, S – первоначальный взнос,

– сумма в конце k-го года

2. Вклад Б: 5% в первый год

– в конце первого года,

n % - на второй и третий год

– сумма за третий год.

 

Задача 1. По вкладу «А» банк начисляет 10% каждый год, а по вкладу «Б» - 5% в первый год и n % за второй и третий годы. Найдите наименьшее целое значение n, при котором за 3 года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Решение

По условию,

Ответ:

 

12,6

0

-212,6

 

+

-

+

Решение

Пусть в k-тый год гражданин продает бумагу и кладет средства на счет в банк.

Выгодно класть в банк, когда 10% от текущей цены бумаги будут больше 2 тысяч рублей.

• (7 + 2k) тысяч рублей ЦЕНА БУМАГИ.

2) Затем он кладет в банк под 10% годовых на (30 – k) лет:

– финальная сумма.

должна быть наибольшей,

 

Задача 2. Гражданин приобрел ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги возрастает каждый год на 2 тысячи рублей. В любой момент гражданин может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет под 10% начислений в год. В течение какого года после покупки гражданин должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

- разность между двумя соседними значениями,

 

Если , то выгодно держать ценную бумагу на руках,

Если , то выгодно класть на счет под %.

 

Ответ: лет

 

 

 

 

 

Решение

Наибольшая выплата

Наименьшая выплата

Сумма кредита , на 9 лет разница между июлями

Каждый раз между июлями - ?

 

Задача 3.В июле планируется взять кредит на сумму 4,5 млн рублей сроком на 9 лет. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на n % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга;

- каждый июль сумма долга должна отличаться от предыдущего на равную сумму.

Найдите целое число n, если наибольшая выплата за все время не превышает 1,4 млн рублей, а наименьшая выплата не менее 0,6 млн рублей.

Решение

июль

Январь (набегает

)

 

Выплаты февраль-июнь

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

4

…

8

 

 

 

9

 

 

 

 

 

Наибольшая выплата – первая, т.е.

Наименьшая выплата – последняя, т.е.

Вспомним, что

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

Решение

– сумма кредита,

– ежегодный платеж,

- годовые проценты,

– сумма долга умножается на этот коэффициент 31 декабря.

 

Задача 4. 31 декабря 2013г. Сергей взял в банке 9 930 000 руб. в кредит под 10% годовых.

Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.

Какова должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение

остаток на счете

начисление % 31 декабря

выплаты

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

Решение

Ответ:

 

Задача 5.

Гражданин берет 15 января в банке кредит на 19 месяцев. Условия кредита таковы:

- 1 числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца,

- со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга,

- 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15 число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите

 

Решение

– сумма кредита,

– сумма долга умножается на этот коэффициент 1 числа каждого месяца; в следующий раз набегает k

 

15 января

начисление % 1 числа

выплаты

1

2

3

…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

Но общая сумма выплат на 30% больше суммы кредита, т.е.

Суммируем и приравняем выплаты:

 

Гаусс

Решение

Но

Ответ:

 

Список литературы: 1) Математика. ЕГЭ. Задача с экономическим содержанием: учебно-методическое пособие. / под ред. Ф.ф.лысенко и с.ю.кулабухова, ростов-на-дону:легион, 2015. – 80с. 2) ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. и.в.ященко, издательство “национальное образование”, 2017 – 256с. 3) Д.д.гущин, курс лекций по подготовке к егэ. Веб-страница курса с актуальными материалами: http://reshuege.ru/course?id=2610 Издание 2, дополненное. — 05.04.2016