Методическая разработка "Задачи с экономическим содержанием" 9-11 класс
МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №3» Г. НАРТКАЛА
Задачи с экономическим
содержанием.
Методическая разработка.
КУШХОВА СВЕТЛАНА МИХАЙЛОВНА
учитель математики, высшая квалификационная категория.
Стаж работы-35 лет.
matematik33@mail.ru
Нарткала 2016г.
Аннотация
Данная разработка посвящена задачам на проценты, сложные проценты и
задачам с экономическим содержанием, появившимся в последние годы на
ЕГЭ, и которые вызывают большие затруднения как у обучающихся, так и у
обучающих. Разработка рассчитана на 5-7 занятий в зависимости от
подготовленности аудитории. Изложение начинается с самых простых задач на
проценты и подводит последовательно к решению наиболее сложных задач,
предлагаемых на ЕГЭ. Работа будет полезна как для девятиклассников, для
повторения многих задач на проценты, так и для 11-классников, собирающихся
сдать математику с высокими результатами. Также, на мой взгляд, работа
представляет интерес для педагогов, готовящих выпускников к экзаменам. Весь
материал по теме систематизирован, сложность задач идет по нарастанию,
разбирается большое количество задач и приведены задачи для
самостоятельного решения.
Содержание: страницы:
1.Введение
2.Три типа задач на проценты 1
3.Расширение первого типа задач на проценты. 2
4.Задачи на процентное содержание, концентрацию. 5
5.Задачи с моделью вида ах+ву=с(х+у). 6
6.Задачи с параметрами. 7
7.Задачи с практической направленностью. 8
8.Расчет сложных процентов. 10
9.Задачи из ЕГЭ с экономическим содержанием. 12
10.Задачи для самостоятельного решения. 20
11.Заключение
12.Список использованной литературы
Введение
Одним из важнейших потребностей современной школы является
воспитание делового человека, компетентного в сфере социально-трудовой
деятельности, а также в бытовой сфере. Сегодня жизнь настоятельно требует,
чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни
в условиях рыночных отношений.
В связи с преобразованием России из системы централизованного
планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали
необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни.
Элементарные экономические знания позволят понять роль и права человека в
обществе, готовят учеников к адекватному восприятию общества и
производства, помогают им определить для себя сферу деятельности,
профессию в будущем.
Согласно статистике, почти каждая семья берет кредит на приобретение
того или иного товара! В сегодняшние дни потребительские кредиты,
кредитные карты, авто кредиты, ипотека, вклады, банковские карты и другие
финансовые услуги очень распространены и играет важную роль в экономике
страны и каждой семьи.
Семья выполняет важнейшую экономическую функцию. Совместно
проживающие супруги, их дети и родители не просто объединяются для
совместного проживания, но и решают важные экономические задачи. Семья
находится в постоянных связях с государственными учреждениями,
предприятиями и фирмами. Она является важнейшим поставщиком рабочей
силы для предприятий и фирм, которые в свою очередь выплачивают им
заработную плату, различные социальные пособия, пенсию. Домашние
хозяйства являются основными потребителями товаров и услуг, поставляемых
предприятиями и частными лицами.
Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в
содержании которых идет речь о процентах. Понятие «проценты» буквально
вошло в нашу жизнь, оно атакует нас в пору утверждения рыночных
отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, финансовых кризисов.
Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в
развитии практических способностей, а также умение решать экономические
задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких
навыков как экономичность, расчетливость.
Многие школьники не в состоянии воспринимать и понимать речевые обороты
взрослых, испытывают затруднения при решении задач экономического
характера, а также определить для себя сферу деятельности, профессию в
будущем. Если задача на расчёт платежа по кредиту является злободневной и
достаточно интересной, возможно, заинтересовавшиеся ученики
самостоятельно или под руководством учителя, изучив предлагаемую работу,
разбирая решения примеров задач, освоят предложенные методы решения
задач с экономическим содержанием. В последние годы на ЕГЭ предлагаются
задачи с экономическим содержанием. Для более эффективной подготовки
учащихся к решению этих задач, предлагается цикл занятий, начинающийся с
простых задач на проценты и постепенно подводящих к решению задач со
сложными процентами, кредитами, вкладами и т.д. Общий ход решения задач
изложен настолько подробно, чтобы оставалась необходимость изучающему
самому детально выполнить все выкладки и промежуточные вычисления, и при
этом будет оставаться уверенность, что не собьется с пути и доведет решение
до конца правильно. Часть этой работы была представлена мною на II
Педагогическом форуме в Санкт-Петербурге в 2010 году и получила одобрение
и сертификат, часть работы я представляла на заключительном этапе конкурса
«Учитель года 2011» в Урванском районе и совсем недавно, в декабре 2015
года часть работы представила на Республиканском семинаре в ИПК и ПРО
КБГУ в рамках курсов повышения квалификации.
1
Тема: Задачи с экономическим содержанием.
Цели и задачи:
• повторить и систематизировать все материалы по процентам и
соотношениям
• углубить знания по решению задач на простые и сложные проценты
• формировать систему математических задач с экономическим
содержанием;
• совершенствовать умения быстро переводить ту или иную словесную
задачу с участием процентов в соответствующую математическую
формулировку;
• развивать умение всесторонне анализировать сюжеты задач, и
аргументировано отвечать на вопросы
В результате изучения курса обучающийся должен знать основные понятия
математического моделирования; уметь применять при решении задач
понятийный аппарат финансово-экономических знаний; пользоваться
формулами простого и сложного процента арифметической и геометрической
прогрессии; владеть математической культурой.
Мы сейчас живем в мире, где приходится ежедневно встречаться с процентами:
это и кредиты, и займы, вклады, оплата услуг (пени), повышение з/п
(иногда).Все ли мы хорошо представляем, как правильно распорядиться своими
вкладами, рассчитать будущую прибыль, выбрать выгодный тариф и т.д.
В основе решения всех этих задач лежит, для начала, 3 простые задачи на
проценты. В школе мы все изучали проценты, да и многим ежедневно
приходиться с ними работать. А в последние годы, в свете Концепции
модернизации российского образования, все чаще на всех экзаменах стали
появляться задачи на проценты, где-то простенькие, где-то очень серьезные.
Итак, три типа задач на проценты:
2
I тип. [1]
Нахождение р% от числа А.
Т.к. 1%-это сотая часть числа, то мы каждый раз проценты будем
переводить в десятичную дробь, т.е. делить на 100. Это облегчит нашу работу
при составлении выражений для решения более сложных задач, хотя на этом
этапе удобнее было бы решать задачи на проценты с помощью пропорций,
тогда не приходится выяснять, к какому типу относится данная задача, что
представляет наибольшую сложность для учащихся при делении задач на типы.
Итак, переводим р % в десятичную дробь и умножаем А на 0,01р.
II тип.
Найти число А по его р %.
Переводим р % в десятичную дробь и А делим на 0,01р.
III тип.
Сколько процентов составляет число А от числа В.
А делим на В и умножаем на 100%.
Предлагаю несколько простеньких задач на эти типы: здесь важны не
столько вычисления, сколько определение типа задач и применение нужной
формулы.
Что нужно сделать, чтобы:
1.найти 5% от 70; 120% от 55; 0,23% от 46
2.найти число, если 22% от него составляют 56; 154% от него составляют 71;
0,03% от него составляют 2
3.сколько % составляет 5 от27; 76 от 23; 123 от 5.
Расширяем задачи I типа. [1]
Увеличить (уменьшить) число А на р %
100%+р% (100%-р%) переводим в десятичную дробь, получается 1+0,01р ( 1-
0,01р), а дальше по 1 типу, умножаем на эту дробь число А.
3
Решим простые задачи:
4. Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов
увеличили число за два раза?
5. Число увеличили на 20 %, результат уменьшили на 20 %. Какое получилось
число — большее или меньшее первоначального? На сколько процентов?
6. Что нужно сделать, чтобы увеличить число 77 на 10%; на 125%; на 0,05%,на
700%
7. На сколько процентов увеличится число, если его умножить на 2,4; на 6; на
0,12?
8. Что нужно сделать, чтобы уменьшить число 567 на 35%; на 2%; на 0, 12%, на
6
.
9. На сколько процентов уменьшится число, если его умножить на 0,15; на
0,92;на 0,02?
Если надо некоторое число А увеличить (уменьшить) на р % n раз, то
достаточно А умножить на (1+0,01р)
n
((1-0,01р)
n
).
10.денежный вклад в размере 1500р за год возрастает на 8%.Какова будет
сумма вклада через 5 лет?
Если же число А сперва увеличить на р %, а затем получившееся число
уменьшить на те же р %, или наоборот, то получится: А(1+0,01р)(1-0,01р)=А(1-
0,0001р
2
) .Эта задача обычно вызывает бурю протеста, считают, что увеличив
и уменьшив А на одно и то же число процентов, мы должны получить исходное
число А.
11.Цену А товара повысили на 20%, затем ее снизили на 20%.Как изменилась
цена товара?
А1,20,8=0,96А, т.е. цена понизилась на 4%.
Здесь же по принципу Укрупнения Дидактических Единиц по Ердниеву,
разумно решить задачи обратного типа, т.е. число сперва увеличили
(уменьшили) на р %. На сколько процентов надо уменьшить (увеличить)
получившееся число, чтобы снова получить исходное число А.
4
Итак, увеличим А на р %
А(1+0,01р),
затем уменьшим его на х %
А(1+0,01р)(1-0,01х) и должно получиться само число А.
Решив получившееся уравнение относительно х и, упростив полученное
выражение, выводим формулу:
х
р
р
Аналогично выводится формула для случая, если сперва уменьшили на р %, а
затем надо увеличить на х %, чтобы число А осталось неизменным:
х
р
р
Например:
12[2].Цена товара была повышена на 12%.На сколько % надо снизить новую
цену, чтобы получить первоначальную?
Решение:
Используя первую формулу, получаем:
х
=10
%
Ответ: 10
%
13. [2]Производительность труда на заводе снизилась на 20%.На сколько %
надо ее теперь повысить, чтобы достигнуть первоначальной?
Решение:
По второй формуле получаем:
х
Ответ:25%
14.Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько % нужно повысить
производительность труда, чтобы заработная плата осталась прежней?
Решение:
Значит, сколько за 8 часов производили раньше, теперь надо производить за 7
часов, разумеется с повышенной на р % производительностью труда:
5
8А=7(1+0,01р)А , где А-производительность, из чего выводим р =
.
Ответ:
.
15.На сколько % снизилась производительность труда, если для выполнения
плана пришлось увеличить рабочий день с 7 до 8 часов?
Решение:
Т.е. то, что раньше выполняли за 7 часов, теперь выполняют за 8 часов,
соответственно с пониженной на р % производительностью труда:
7А=8(1-0,01р) А, из чего получаем р=12,5%
Ответ:12,5%
16.Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько % нужно повысить
производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата
выросла на 12%?
Решение:
Теперь за 7 часов надо суметь сделать на 12% больше того, чем раньше за 8
часов, разумеется, увеличив производительность на р %:
7(1+0,01р)А =81,12А, из чего получаем р=28%
Ответ:28%
Рассмотрев три типовые задачи и решив достаточное количество
тренировочных задач для закрепления, можно переходить к задачам на
процентное содержание и концентрацию вещества.
Концентрацией мы называем отношение массы «чистого элемента» к
общей массе вещества, выраженное в %, где за «чистый элемент» мы будем
принимать компонент, содержание которого нас интересует в данной смеси.
17. [10]В сосуде содержится 5л 20%-ного водного раствора кислоты. Сколько л
воды необходимо добавить в этот сосуд, чтобы получить 5%-ный раствор
кислоты?
Решение:
Находим массу кислоты в этом растворе (1 тип задач на %):
50,2=1л
6
Добавим х л. воды, а кислоты остается неизменное количество, т.е.1л.,
концентрация должна равняться 5%, следовательно, составляем уравнение:
х
Из чего находим х=15 л.
Ответ:15л.
18. [11]Один сплав содержит 2 металла, массы которых относятся как 2:3, а в
другом сплаве массы этих же металлов относятся как 3:7.Какие массы первого
и второго сплавов надо сплавить вместе, чтобы получить третий сплав, массой
1,5 кг, в котором эти металлы находились бы в отношении 1:2?
Решение:
Начнем с того, что в третьем сплаве массой 1,5 кг 1 часть одного металла
и 2 части другого, т.е. 0,5 кг первого и 1 кг второго металла. Если взять за х кг
вес 1 сплава, который нужно взять для третьего сплава, то в нем 0,4х кг первого
металла. Тогда, из (1,5-х) кг второго сплава 0,3(1,5-х) первого металла.
Составим уравнение по первому металлу:
0,4х+0,3(1,5-х)=0,5, откуда получаем, что х=0,5,т.е. 0,5 кг первого и,
следовательно, 1 кг второго сплава.
Ответ:0,5 кг; и 1 кг.
Рассмотрим задачу с моделью вида
ах + ву = с(х+у).
19.Имеются три слитка. Масса первого 5кг, второго-3кг, и каждый из них
содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится
слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то
получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите массу третьего слитка и
процентное содержание меди в нем.
Решение:
Пусть х- масса третьего слитка, а р- его концентрация. Тогда можно составить
систему из двух уравнений:
х р
х
х р
х
7
Решив систему, получаем: х=10кг; р=0,69.
Ответ: 10кг; 69%.
Рассмотрим теперь модную в последние годы задачу с параметром по
нашей теме.
20. [11]В сосуде емкостью 6л. содержится 4л 40%-ной уксусной кислоты.
Другой сосуд содержит 5л такой же р%- ной кислоты. Сколько л кислоты из
второго сосуда надо долить в первый, чтобы получить кислоту максимальной
концентрации? Найти эту концентрацию.
Решение:
р здесь параметр и в зависимости от его значения, возможны три случая :
1.если р
, то во втором сосуде более слабая концентрация и
добавлять в первый ничего не надо, иначе концентрация уменьшится.
2.если р=40, то концентрации одинаковые и можно добавлять любое
количество от 0 до 2 л.
3.если р40,то концентрация во втором сосуде выше, чем в первом и
добавить нужно максимально возможное количество, т.е.2л.
При этом из 2л р %-ной кислоты добавится 0,01р =0,02р чистого
элемента, а в самом первом сосуде его содержится 0,44=1,6л. Итого
1,6+0,02р л чистого элемента на 6л общей массы составит
р
р
.
Ответ: при р
добавляем о л; концентрация остается 0,4
при р=40 добавляем от 0 до 2 л; концентрация та же
при р
добавляем 2л и концентрация вычисляется по
формуле
р
21.Имеется два куска сплавов меди и серебра: первый массой 2кг и содержит
30% меди, второй массой 3кг и содержит 40% меди. Сколько кг второго сплава
надо сплавить со всем первым куском, чтобы получить сплав, содержащий р %
меди?
В первом куске 0,32=0,6 кг меди. Взяв х кг второго сплава, мы получим х0,4
=0,4х кг меди. Итого, в новом сплаве массой 2+х кг содержится 0,6+0,4х кг
8
меди, следовательно, концентрацию в р% получим, разделив массу меди на
общую массу, т.е.
х
х
р откуда х
р
р
.
Ограничения на р находим из условия, что х
.
Слайд 18
Т.к. х0,то неравенство
р
р
решение которого р
.
Т.к. х3,то неравенство
р
р
, откуда р
.Учитывая
решения двух неравенств, имеем: р
.
Ответ: при р
х=
р
р
при р
х=.
22.С 1 октября 1993 г. За хранение денег на срочном депозите в течение года
Сбербанк выплачивал доход из расчета 150 % от вложенной суммы; в течение
полугода — 130 % годовых, в течение трех месяцев — 120 % годовых. Каким
образом за год на условиях Сбербанка можно было получить наибольший
доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?
Решение:
На первый взгляд самое выгодное вложение денег на год — под 150 % годовых
(через год сумма обратится в 100·2,5 = 250 тыс. р.). Но это только на первый
взгляд! Давайте для сравнения положим деньги на полгода, а через полгода
получим их обратно с доходом 130:2 = 65 (%) от вложенной суммы. Затем все
полученные деньги положим еще на полгода. Таким образом, через год мы
получим:
100·1,65·1,65 = 272,25 (тыс. р.).
Это несколько больше полученной ранее суммы.
Проведите расчеты для третьего случая.
Задачи с практической направленностью.
23.В некотором царстве, в некотором государстве пятиклассники стали изучать
математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не
9
45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли пятиклассники?
Ответ округлите до десятых.
Решение:
Эту задачу решаем мы, учителя математики, уже который год, чтобы объяснить
себе катастрофическую нехватку времени, которая стала ощущаться в связи с
указанными в условии задачи нововведениями.
Учебное время теперь составляет 5/6×40/45 = 20/27 от прежнего. Потеря
составила 1 – 20/27 = 7/27 = 0,2592…, или примерно 25,9 %.
Ответ: 25,9 %.
24.Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, содержание
воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?
Решение:
На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это на первый
взгляд! Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100 – 99 = 1 (%). Это
20·0,01 = 0,2 кг. После усушки его масса составляла уже 100 – 98 = 2 (%). То
есть те же самые 0,2 кг составляют 2 % от новой массы арбуза. Найдем эту
новую массу: 0,2:0,02 = 10 (кг).
Ответ:10 кг.
Для арбуза не так страшно звучит результат, а вот с теми же цифрами
катастрофически звучит результат другой задачи.
25. Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи
запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем
лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев».
Какую часть леса может вырубить леспромхоз?
Решение:
Если бы экологи хорошо знали проценты, то они смогли бы возразить
предприимчивому директору леспромхоза, планирующему вырубить как
минимум половину леса – это при условии, что вырубать будут только сосны.
10
Расчет сложных процентов: Пример 1.
Вы положили 50 000 руб. в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет
у вас через 5 лет? Рассчитаем по формуле сложного процента:
SUM = 50000 * (1 + 10/100)
5
= 80 525, 5 руб.
Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в
банке. По условиям банковского договора процент может начисляться
например ежеквартально, либо ежемесячно.
Расчет сложных процентов: Пример 2.
Рассчитаем, какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб. на 12
месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.
SUM = 10000 * (1+10/100/12)
12
= 11047,13 руб.
Прибыль составила:
ПРИБЫЛЬ = 11047,13 – 10000 = 1047,13 руб.
Доходность составила (в процентах годовых):
% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %
То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается
больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.
Если вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.
Расчет сложных процентов: Пример 3.
Рассмотрим 2 варианта:
1. Простой процент. Вы положили в банк 50 000 руб. на 15 лет под 20%.
Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
2. Сложный процент. Вы положили в банк 50 000 руб. на 15 лет под 20%.
Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к
11
основной сумме. Поначалу кажущийся незначительной прибыль начинает
нарастать как снежный ком.
Посмотрите на результаты, приведенные в таблице.
Начальная сумма: 50 000 рублей
Процентная ставка: 20% годовых
Простой процент
Сложный процент
Сумма
Прибыль
за год
Сумма
Прибыль
за год
Через 1 год
60 000р.
10 000р.
60 000р.
10 000р.
Через 2 года
70 000р.
10 000р.
72 000р.
12 000р.
Через 3 года
80 000р.
10 000р.
86 400р.
14 400р.
Через 4 года
90 000р.
10 000р.
103 680р.
17 280р.
Через 5 лет
100 000р.
10 000р.
124 416р.
20 736р.
Через 6 лет
110 000р.
10 000р.
149 299р.
24 883р.
Через 7 лет
120 000р.
10 000р.
179 159р.
29 860р.
Через 8 лет
130 000р.
10 000р.
214 991р.
35 832р.
Через 9 лет
140 000р.
10 000р.
257 989р.
42 998р.
Через 10 лет
150 000р.
10 000р.
309 587р.
51 598р.
Через 11 лет
160 000р.
10 000р.
371 504р.
61 917р.
Через 12 лет
170 000р.
10 000р.
445 805р.
74 301р.
Через 13 лет
180 000р.
10 000р.
534 966р.
89 161р.
Через 14 лет
190 000р.
10 000р.
641 959р.
106 993р.
Через 15 лет
200 000р.
10 000р.
770 351р.
128 392р.
Суммарная прибыль:
150 000р.
720 351р
12
После такой подготовительной работы можно переходить к задачам из ЕГЭ с
экономическим содержанием:
26. [4]В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых.
В конце каждого из первых четырёх лет хранения после вычисления процентов,
вкладчик дополнительно вносил на счёт одну и ту же фиксированную сумму. К
концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада
увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик
ежегодно добавлял к вкладу?
Решение: Пусть первоначальный вклад составил а рублей и вкладчик ежегодно
добавлял х рублей.
К началу 2-года величина вклада составила рублей;
К началу 3-года величина вклада составила
рублей;
К началу 4-года величина вклада составила
рублей;
К началу 5-года величина вклада составила
рублей;
К концу 5-года величина вклада составила
рублей.
По условию задачи:
вкладчик ежегодно к вкладу добавлял 210000 рублей.
13
27. Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых.
Через год фермер в честь погашения кредита вернул в банк от всей суммы,
которую он должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного
погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину
полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
(задание №19 из Т/Р №85 А. Ларина)
Решение: Пусть фермер взял кредит размером под годовых.Тогда
через год долг фермера перед банком составит
.
Через год фермер в счёт погашения кредита возвращает в банк 3/4 от всей
суммы, которую он должен банку к этому времени, то есть фермер остается
должен банку
на этот момент.
Еще через год долг фермера перед банком составил
.
А поскольку известно, что в счёт полного погашения кредита (через 2 года)
фермер внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного
кредита (то есть или 1,21x), то составим уравнение:
.
Ответ: 120.
28. [5] В первый рабочий день месяца с заводского конвейера сошло некоторое
число тракторов. Каждый следующий рабочий день их выпуск возрастал на три
14
трактора ежедневно, и месячный план - 55 тракторов - был выполнен досрочно,
причём за целое число дней. После этого ежедневно выпускалось 11 тракторов.
Определите, сколько тракторов было выпущено в первый рабочий день, и на
сколько процентов был перевыполнен месячный план, если известно, что в
месяце было 26 рабочих дней, а плановая работа длилась не менее 3 и не более
10 дней.
Решение:
Пусть x- тракторов было выпущено в 1 день, и за n дней выполнили план в 55
тракторов. Тогда
.
Т.к. , то n=5.
Находим
:
За оставшиеся 21 день выпускали по 11 тракторов. Это составило 231 трактор.
План был перевыполнен на
Ответ:5 тракторов выпустили в 1 день; план перевыполнили на 420%.
29. [4] В начале года некоторой суммы денег вложили в банк А, а то , что
осталось - в банк Б.Если вклад находится в банке с начала года,
то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого
зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала
равна у. е., к концу следующего - у. е. Если первоначально суммы
было бы вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении
одного года сумма выросла бы до у. е. Определите сумму вкладов по
истечении второго года в этом случае.
Решение:
Т.к.
в 5 раз больше
, то будем считать, что в банк А первоначально положили
5а руб., а в банк Б положили а руб. Пусть m% дает банк А за год и n% банк
Б.Тогда получаем два уравнения:
15
Если в банк А положить а руб., а в банк Б 5а руб. при тех же процентах банков
получаем еще одно уравнение:
Решим систему из этих трех уравнений:
Сложив первое и третье уравнения, получим:
Это уравнение вычтем из первого и имеем:
Тогда
из чего следует, что
.Учитывая полученное, второе уравнение системы
принимает вид:
Обозначим m=11p, n=12p.Тогда
По условию задачи требуется найти:
Ответ:841
16
30. [6] За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись
ежемесячно сначала в размере , затем , потом и
наконец, в месяц. Известно, что под действием каждой новой
процентной ставки вклад находился целое число месяцев,
а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась
на .Определите срок хранения вклада.
Решение:
Пусть первая ставка продержалась k, вторая - m, третья - n, последняя -
t месяцев.
Тогда сумма на счёте по истечении срока хранения увеличилась во столько раз:
Применяя свойства степеней, представим это число в виде произведения:
Известно, что сумма увеличилась на , т.е. составляет от
начальной.
Иначе говоря, она увеличилась по сравнению с начальной суммой во столько
раз:
Осталось приравнять показатели при одинаковых основаниях и решить
систему:
17
Из последней строчки сразу делаем вывод о том, что k = m = 1.
Подставив эти значения в третье уравнение, получаем n = 3.
И наконец, находим t = 2.
Срок хранения вклада равен k + m + n + t = 1 + 1 + 3 + 2 = 7.
Ответ: 7
31. [5]Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На
заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе,
расположенном во втором городе, используется более совершенное
оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом
городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят
2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе,
трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t
единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит
рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580
единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на
оплату труда рабочих?
Решение:
Пусть первый завод выпускает 2х единиц товара, а второй завод 5у единиц.
Тогда первый завод тратит
часов, а второй
часов. По условию в неделю
должно быть произведено 580 единиц товара, значит
из чего получаем:
Т.к. за каждый час Владимир платит по 500 руб., то составим функцию от х для
нахождения суммы денег, которую он должен заплатить за неделю рабочим:
18
Т.к. 500-величина постоянная, то исследуем на экстремум функцию
′
Приравняв числитель нулю, получаем:
Исследуя знак производной до и после этой точки, выясняем, что она
единственная точка экстремума, и она является точкой минимума. Подставив в
исходную функцию х=40, получаем, что минимальная сумма равна 5800000
руб.
Ответ: 5800000 руб.
32. [6] В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн. рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: 1) каждый
январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; 2) с
февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; 3) в июле
каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль
предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что
общая сумма выплат после его полного погашения составит 17,5 млн. рублей?
(задача из реального ЕГЭ 2015 года)
Решение:
Пусть
млн.руб-первоначальный взнос. Вклад сделан на n лет и каждый
январь долг увеличивается на 20%, т.е. в 1,2 раза. А
-сумма, вносимая
клиентом ежегодно до июля месяца. Тогда получаем серию уравнений:
- к концу 1 года
- к концу 2 года
-к концу 3 года
………
- к концу последнего года, где
.Здесь сумма
19
а числа
образуют арифметическую прогрессию и тогда
Сложим все имеющиеся равенства и учтем полученные соотношения:
Заменим
и умножим обе части на 2.
Из чего получаем
Ответ: на 14 лет
20
Задачи для самостоятельного решения:
1) Производительность труда в январе оказалась выше плановой на 5%, а в
феврале снизилась на 5% по сравнению с январской. Сравните ее с плановой.
Ответ: 99,75% от плана
2) Себестоимость продукции сначала повысилась на 10%, а затем понизилась
на 20%. .На сколько процентов понизилась себестоимость продукции?
Ответ: на 12%
3) За год работы предприятия объем дневной выра6отки продукции вырос на
р%, а за следующий год — еще на (р + 50)%. Определить, на сколько процентов
увеличилась выра6отка за первый год, если известно, что за 2 года она возросла
в о6щей сложности втрое.
Ответ: на 100%
4)В течение года завод дважды увеличивал выпуск, продукции на одно и то же
число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод
выпускал ежемесячно 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно
726 изделий.
Ответ: на 10%
5) Цёна товара снижена на 40%, а зарплата дважды увеличивалась на 20%. На
сколько процентов больше можно купить товара после снижения цен и
повышения зарплаты?
Ответ: на 140%
6) [11] Фирма продала 3 партии автомо6илей. Во второй партии автомобиль
стоил на 50% дороже, чем в первой партии, но продать удалось на 3 автомобиля
меньше, так что выручка от продажи соответственно увеличилась всего на 20%.
В третьей партии автомобиль стоил на 1 млн рублей дешевле по сравнению с
первой партией, и продано 6ыло на 20% автомобилей больше, чем в первой
партии. При этом выручка уменьшилась на 10%. Определить число
автомобилей и цену автомо6ля в первой партии.
Ответ: 15 автомо6илей, 4 млн. рублей.
7.Спустя год после того, как некоторая сумма внесена на сберегательную
книжку, вклад за счет процентов увеличился на 20 рублей 16 копеек. Добавив
еще 79 рублей 84 копейки, вкладчик, оставил свой вклад в сберегательной кассе
еще на 1 год. По истечении этого периода общая сумма на сберегательной
книжке стала равна 628 рублей 16 копеек. Какой процент годовых
выплачивался с6ерегатеэьной кассой, если первоначальный взнос должен был
быть не менее 5 рублей?
Ответ: 4%
8) [11] Биржа запланировала провести торги в июле и августе. Если объем
торгов в июле оставить на запланированном уровне, а план на август превысить
в 3 раза, то суммарный объем торгов, проводимых в течение этих двух
месяцев, возрастет в 2 раза. Найти отношение объемов торгов,
запланированных на июль и на август.
Ответ: 1:1.
9) Курс рубля по отношению к доллару падает на 28 в квартал. Что выгоднее: а)
сделать валютный вклад на год с начислением 60% годовых или б)
21
конвертировать доллары в рубли и сделать рубленый вклад с начислением
510% годовых?
Ответ: первый вариант.
10). [1]В некоторой стране решили провести всенародные выборы
правительства. Две трети избирателей в этой стране – городские жители, а одна
треть – сельские. Президент должен предложить на утверждение проект состава
правительства из 100 человек. Известно, что за проект проголосует столько
процентов городских (сельских) жителей, сколько человек из города (села) в
предложенном проекте. Какое наименьшее число городских жителей надо
включить в проект состава правительства, чтобы за него проголосовало более
половины избирателей? В решении задачи можно было бы уточнить, что
количество городских жителей в составе правительства должно быть
ограничено сверху общим количеством состава правительства, то есть, должно
быть меньше или равно 100.
11). [1]Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых.
Через год фермер в честь погашения кредита вернул в банк от всей суммы,
которую он должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного
погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину
полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
12). [1]В январе 2000 года ставка по депозитам в банке "Возрождение"
составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года – у % годовых, причём
известно, что х+у=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счёт в банке
"Возрождение", положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по
прошествии года с того момента, вкладчик снял со счёта пятую часть этой
суммы. Укажите значение х, при котором сумма на счету вкладчика в январе
2002 года станет максимально возможной.
13). [3]В конце августа 2001 года администрация Приморского края
располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на
пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры
рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1
сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке
22
увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на
первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на
10% ежемесячно. На сколько процентов больше ( от первоначального объёма
закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1
ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и
направив её на закупку нефти?
14).[3]Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца
общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число
процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму,
уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца,
подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась
равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила
сумму кредита на63%. Найдите месячную процентную ставку.
15). [3]Заводы в США и России за год выпустили более 39 танков. Число
танков, выпущенных в России, уменьшенное на 3, более чем в 4 раза
превышает число танков, выпущенных в США. Утроенное число танков,
выпущенных в России, превышает удвоенное число танков, выпущенных за
февраль в США, но не более, чем на 85. Сколько танков выпустили за февраль
на заводе в России?
16). [3]Уставной фонд совместного предприятия был составлен из взносов трех
участников. Взнос первого - 2 млн. рублей, взнос второго - не меньше взноса
первого, а взнос третьего участника - в два раза больше взноса второго.
За год работы фонд увеличился на a % ( ). В самом начале второго
года в результате переговоров между первым и третьим участниками один из
них вышел из состава предприятия и изъял свой первоначальный взнос, не
получив прибыли. К концу второго года оставшаяся в фонде сумма
увеличилась на a % и составила величину, которая равнялась бы величине
первоначального уставного фонда, если бы взнос вышедшего из предприятия
участника был в два раза больше, чем на самом деле, а взносы других остались
23
бы без изменения. Определить процент a годового прироста уставного фонда
предприятия.
17). [3]Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640р.Когда
цена на эти акции выросла, они продали часть акций на сумму 3927р.Первый
брокер продал 75% своих акций, а второй - 80% своих. При этом сумма от
продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму,
полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной
акции?
1
Заключение.
В данной методической разработке рассмотрены основные методы решения
задач на проценты и различные задачи на составление уравнений, что является
важной частью изучение математики. Здесь рассмотрены базовые задачи на
проценты, задачи на составление « смесей » и на такое понятие как
«концентрация », познакомились с понятиями: депозит, кредит, вкладчик,
заемщик, простые и сложные проценты, капитализация процентов, полная
стоимость кредита; рассмотрели практические задачи на определение степени
доходности вкладов, исходя из различных предлагаемых условий; изучили
некоторые задачи с экономическим содержанием, предлагаемы на ЕГЭ в
последние годы.
Хочется отметить, что тема работы очень актуальна, тем более в наше время,
когда на первое место в отношениях становится экономика, а проценты
приобрели широкое распространение в нашей жизни, а в школах уделяется
мало время на изучения процентов, да и сам материал рассматривается скупо,
не полномасштабно.
Можно сделать вывод, что эту тему не только можно, но и нужно вводить
на факультативных занятиях по математике и на консультациях, а так же
отводить время для решения задач на проценты на уроках.
2
Список литературы:
1.Математика. ЕГЭ. Задача с экономическим содержанием.
Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Калабухова Легион, Ростов-на-Дону 2015г
2.Открытый банк задач по математике. ЕГЭ http://mathege.ru/
3.Сайт А.А.Ларина http://alexlarin.net/
4.Форум А.А.Ларина http://alexlarin.com/
5.Сайт Волкова В.А.
http://www.youtube.com/channel/UCLDpIKDTFBSwIYtAG0Wpibg
6.Сайт О.И. Себедаш http://www.egetrener.ru
7.Газета «Математика» №№ 20,22,23,25-26 за 2004 год.
8.Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике. А.Н. Руркин
«ВАКО». Москва 2006.
9.Методическое пособие по математике для поступающих в Финансовую
академию. под ред. В.А. Бабайцева и А.А.Рылова. Москва 2003 г.
10. Математика. Банк задач для вступительных испытаний в МЭИ.
И.М. Петрушко, В.И. Прохоренко, В.Ф.Сафонов, Москва 2006г.
11.3000 конкурсных задач по математике. Е.Д.Куланин, В.П.Норин, и др.
Москва.: Рольф, Айрис-пресс , 1998г.
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Решение уравнений, приводимых к квадратным" 8 класс
- Рабочая программа по алгебре 8 класс 2017-2018 уч. год
- Конспект урока "Путешествие в мир одночленов и многочленов" 7 класс
- Презентация "Путешествие в мир одночленов и многочленов" 7 класс
- План-конспект урока "Математика и экономика" 10 класс
- Презентация "Системы уравнений. Метод сложения" 9 класс
