Задачи с экономическим содержанием Задача 17 (профильный уровень)

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

учитель математики

г. Ижевска

Задачи с экономическим

содержанием

Задача 17 (профильный уровень)

Любую задачу, условие которой связано с товарно-денежными отношениями, производством товаров и услуг, минимизацией расходов или максимизацией прибыли и т. п., можно отнести к задачам с экономическим содержанием:

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

• задачи на чтение и анализ данных, представленных в виде графиков, диаграмм и таблиц,

• простейшие текстовые арифметические задачи на товарно-денежные отношения (в основном на оплату товаров и услуг),

• арифметические текстовые задачи на проценты,

• задачи о кредитовании и банковских процентах,

• задачи оптимизации производства товаров или услуг (минимизации расходов или максимизации прибыли).

1) Вклад планируется открыть на 4 года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн.руб. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад будет меньше 25 млн.руб.

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

Пусть S млн. руб. сумма вклада, на 4 года, увелич-ся на 10%

(1,1S) ∙1,1=1,1² S

1,1S

(1,1² S+3) ∙ 1,1=1,1³ S+3,3

(1,1³ S+3,3+3) ∙1,1= S + 6,3∙ 1,1

Задачи на вклады

Через 4 года по условию вклад будет меньше 25 млн.руб.

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S + 6,93 < 25

(1,1S)1,1=1,1² S

1,1S

(1,1² S+3) 1,1=1,1³ S+3,3

(1,1³ S+3,3+3)1,1 = S + 6,93

S < (25 - 6,93):1,4641

S < 18,07:1,4641

S < 180700:14641

S < 12

Ответ: 12 млн.руб.

2) Вклад планируется открыть на 4 года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн.руб. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором банк за 4 года начислит на вклад больше 5 млн.руб.

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

Пусть S млн. руб. сумма вклада, на 4 года

(1,1S)1,1=1,1² S

1,1S

(1,1² S+3)1,1=1,1³ S+3,3

(1,1³ S+3,3+3) ∙1,1= S + 6,3∙ 1,1

За 4 года по условию начислит на вклад больше 5 млн.руб..

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S + 6,93 – S – 6 > 5

(1,1S)1,1=1,1²S

1,1S

(1,1² S+3) 1,1=1,1³ S+3,3

1,4641S – S > 5 - 0,93

0,4641S > 4,07

S > 4,07:0,4641

S > 8

Ответ: 9 млн.руб.

(1,1³ S+3,3+3)1,1 = S + 6,93

3) 15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r—целое число;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. руб.

1 млн. руб. – сумма кредита, под r % в месяц, на 6 месяцев

Задачи на кредиты

3) 15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r—целое число;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. руб.

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

1 млн руб. – сумма кредита, под r% в месяц, на 6 месяцев

(1+0,01r) 1млн

0,4+0,01r

(1+0,01r) 0,6

0,2+0,006r

(1+0,01r) 0,4

0,1+0,004r

(1+0,01r) 0,3

0,1+0,003r

(1+0,01r) 0,2

0,1+0,002r

(1+0,01r) 0,1

(1+0,01r) 0,1

Общая сумма выплат:

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

0,4+0,01r

+0,2+0,006r

+0,1+0,004r

+0,1+0,003r

+0,1+0,002r +

+0,1+0,001r

По условию общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. руб.

=1+0,026r

(1+0,01r) 1млн

0,4+0,01r

(1+0,01r) 0,6

0,2+0,006r

(1+0,01r) 0,4

0,1+0,004r

(1+0,01r) 0,3

0,1+0,003r

(1+0,01r) 0,2

0,1+0,002r

(1+0,01r) 0,1

(1+0,01r) 0,1

1+ 0,026r < 1,2

r < 0,2:0,026

r < 7

Ответ: r = 7

4) В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн руб., где S—целое число. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

• в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S – сумма кредита, под 25% в год, на 3 года

Найдите наименьшее S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн. руб.

1,25S

0,55S

0,7S 1,25 = 0,875S

0,475S

0,4S 1,25 = 0,5S

0,5S

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

По условию каждая из выплат больше 5 млн. руб., поэтому достаточно рассмотреть меньшую, т.е. 2 год.

1,25S

0,55S

0,7S 1,25 = 0,875S

0,475S

0,4S 1,25 = 0,5S

0,5S

0,475S > 5

S > 10

S > 5:0,475

Ответ: 11 млн.руб.

5) В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на 5 лет в размере S тыс. руб. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле 2020, 2021 и 2022 годов долг остаётся равным S тыс. руб.;

• выплаты в 2023 и 2024 годах равны по 360 тыс.руб.;
• к июлю 2024 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за 5лет..

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S тыс.руб. – сумма кредита, под 20% в год, на 5 лет.

1,2S

S

0,2S

1,2S

S

0,2S

1,2S

0,2S

S

1,2S

360

1,2S-360

(1,2S-360) 1,2

360

0

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

По условию долг выплачен за 5 лет. (1,2S-360) 1,2 - 360 = 0

1,2² S = 1,2 ∙ 360 + 360

S = 792 : 1,44

S = 550

Общая сумма выплат: при S=550 будет равна 0,6S+720=

= 330 + 720 = 1050(тыс.руб.)

Ответ: 1050тыс.руб.

6) Ольга хочет взять в кредит 100000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет Ольга может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

По условию кредит взят на минимальное количество лет. Следовательно, выплата должна быть максимальной, 24000 руб.

100000 ∙ 1,1 = 110000

24000

86000

1,1 ∙ 86000 = 94600

24000

70600

1,1 ∙ 70600 = 77660

24000

53660

1,1 ∙ 53660 = 59026

24000

35026

1,1 ∙ 35026 = 38528,6

24000

14528,6

6

1,1 ∙ 14528,6 = 15981,6

15981,6

0

Ответ: 6 лет

Задачи на подсчёт

7) В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (т.е. за 4 года)?

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S = 8052000 руб. – сумма кредита, под 20% в год, на 4 года.

Х руб. – ежегодный платёж.

1,2S

1,2S - X

1,2(1,2S - X)

1,2² S - 1,2X - X

1,2(1,2² S - 1,2X - X)

1,2³ S – 1,2² X – 1,2X - X

1,2(1,2³ S – 1,2² X – 1,2X - X)

S– 1,2³ X –1,2² X–1,2X - X

Долг выплачен за 4 года.

Следовательно, S – 1,2³ X – 1,2² X – 1,2X – X = 0

S – Х(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1) = 0

Сумма геометрической прогрессии b1=1, q=1,2

Хотя, в этой задаче можно посчитать и без формулы

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S – Х(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1) = 0

S = Х(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1)

Х = S:(1,2³ + 1,2² + 1,2 + 1)

Х = 2,0736∙8052000:5,368

Х = 3110400 (руб.)

Ответ: 3110400 руб.

8) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга. Известно, что кредит был полностью погашен за 2 года, причём в первый год было переведено 75000 руб., а во второй – 46000 руб. Найдите число r.

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

100000 руб. – сумма кредита, под r % в год, на 2 года.

100000 (1 + 0,01r)

25000 + 1000 r

(25000 + 1000r)(1 + 0,01r)

По условию долг выплачен за 2 года.

(25000 + 1000r)(1 + 0,01r)

- 46000 = 0

(25000 + 1000r)(1 + 0,01r) – 46000 = 0

25000 + 250 r + 1000 r +10 r² – 46000 = 0

10 r² +1250 r – 21000 = 0

r² +125 r – 2100 = 0

D = 15625 +8400 = 24025 = 155²

r1 = 15

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

r2 = - 140 < 0

Ответ: 15%

9) В июле 2019 планируется взять кредит в банке в размере S тыс.руб. на 3 года, где S – натуральное число. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тыс.руб.

S – сумма кредита, под 15% в год, на 3 года.

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

1,15S

0,45S

1,15 ∙ 0,7S = 0,805S

0,405S

1,15 ∙ 0,4S = 0,46S

0,46S

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тыс.руб.

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S – сумма кредита, под 15% в год, на 3 года.

1,15S

0,45S

1,15 ∙ 0,7S = 0,805S

0,405S

1,15 ∙ 0,4S = 0,46S

0,46S

По условию каждая из выплат должна составлять целое число тыс.руб.

0,45S = 45S/100 =9S/20

0,405S = 405S/1000 = 81S/200

0,46S = 46S/100 = 23S/50

HOK(20; 200; 50) = 200

S = 200 (тыс.руб.)

10) 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 3,6 млн. руб. на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. а) Сколько рублей составит первый платёж? б) Сколько рублей составит последний платёж?

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S =3,6 млн. руб. – сумма кредита, под 1% в месяц, на 36 месяцев

Задачи на равномерное уменьшение долга

(аннуитетное погашение кредита)

В таких задачах выплата состоит из двух частей: проценты и обязательная ежемесячная часть.

1,01S

0,01S + S /36

1,01 ∙ 35S /36

0,01 ∙ 35S /36 + S /36

1,01 ∙ S /36

0,01 ∙ S /36 + S /36

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S =3,6 млн. руб. – сумма кредита, под 1% в месяц, на 36 месяцев

1,01S

0,01S + S /36

1,01 ∙ 35S /36

0,01 ∙ 35S /36 + S /36

1,01 ∙ S /36

0,01 ∙ S /36 + S /36

а) Первый платёж составит: 0,01S + S/36 = 0,01∙3,6+3,6 : 36 =0,136(млн.руб.)

б) Последний платёж : 0,01 ∙ S /36 + S /36 = 1,01 ∙ 3,6 : 36 = 0,101(млн.руб.)

10) 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 3,6 млн. руб. на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. а) Сколько рублей составит первый платёж? б) Сколько рублей составит последний платёж?

11) 15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за 8-й месяц кредитования нужно выплатить 232 тыс.руб. а)Какую сумму(в руб.) нужно вернуть банку за весь срок кредитования? б)Какую сумму(в руб.) планируется взять в кредит?

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S руб. – сумма кредита, под 2% в месяц, на 15 месяцев

1,02S

0,02S + S /15

1,02 ∙ 14S /15

0,02 ∙ 14S /15 + S /15

1,02 ∙ 8S /15

0,02 ∙ 8S /15 + S /15

1,02 ∙ S /15

0,02 ∙ S /15 + S /15

б) По условию за 8 месяц выплачено 232 тыс.руб.

0,02 ∙ 8S /15 + S /15 = 232000

S = 3000000 (руб.)

а) Найдём общую сумму выплат:

11) 15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за 8-й месяц кредитования нужно выплатить 232 тыс.руб. а)Какую сумму(в руб.) нужно вернуть банку за весь срок кредитования? б)Какую сумму(в руб.) планируется взять в кредит?

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

1,02S

0,02S + S /15

1,02 ∙ 14S /15

0,02 ∙ 14S /15 + S /15

1,02 ∙ 8S /15

0,02 ∙ 8S /15 + S /15

1,02 ∙ S /15

0,02 ∙ S /15 + S /15

б) По условию за 8 месяц выплачено 232 тыс.руб.

0,02 ∙ 8S /15 + S /15 = 232000

S = 3000000 (руб.)

а) Найдём общую сумму выплат:

= S + (15+1)/2 ∙15 ∙ 0,02S/15 = S + 0,16S = 1,16S = 1,16 ∙3000000 = 3480000(руб.)

S+ (15+14+…+1) 0,02S/15=

12) 15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 24% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S руб.– сумма кредита, под r% в месяц, на 15 месяцев

S(1+0,01r)

0,01r S + S /15

(1+0,01r) ∙ 14S/15

0,01r ∙ 14S /15 + S /15

(1 + 0,01r) ∙ S /15

0,01r ∙ S /15 + S /15

r = 3%

Общая сумма выплат:S+(15+14+…+1)0,01rS/15 =

S+ (15+1)/2 ∙15 ∙ 0,01rS/15=

= S + 0,08rS

По условию это на 24% больше суммы взятой в кредит

S + 0,08rS = 1,24S

r = 0,24S / 0,08S

Ответ: r = 3%

13) 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 5млн.руб. на некоторый срок. Условия его возврата таковы:1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что сумма выплат составит 6,05 млн.руб.?

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

S = 5млн.руб.– сумма кредита, под 2% в месяц, на п месяцев.

1,02S

0,02 S + S / n

1,02 ∙ (n – 1)S/ n

0,02∙ (n – 1)S / n + S / n

1,02 ∙ S / n

0,02 ∙ S / n + S / n

n = 20(месяцев)

Сумма выплат 6,05 млн.руб., следовательно, S+(n+(n – 1)+…+1)0,02S/ n = 6,05

S+ (n+1)/2 ∙ n ∙ 0,02S/ n = 6,05

S + 0,01S(n + 1) = 6,05

5 + 0,01 ∙ 5(n + 1) = 6,05

n + 1 = 1,05 / 0,05

Ответ: n = 20(месяцев)

Спасибо за

внимание!

10/10/2019

Логинова Нина Васильевна

Источники:

• ЕГЭ. Математика. Задача с экономическим содержанием, под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова, ЛЕГИОН, Ростов-на-Дону
• Авторские задачи

https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&ved=2ahUKEwjGhpKu1ILjAhXL-yoKHYsiDtsQjRx6BAgBEAU&url=https%3A%2F%2Fwww.pinterest.com.mx%2Fpin%2F469429961150472508%2F&psig=AOvVaw2hvc3mmEX7uwcA4Aw0XVRA&ust=1561484264001621

https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwj_xrai2ILjAhUrposKHVLMDb0QjRx6BAgBEAU&url=%2Furl%3Fsa%3Di%26source%3Dimages%26cd%3D%26ved%3D%26url%3Dhttps%253A%252F%252Fgifer.com%252Fru%252FO9A9%26psig%3DAOvVaw0OqKrfmhXx_EPY25B750CY%26ust%3D1561485319749677&psig=AOvVaw0OqKrfmhXx_EPY25B750CY&ust=1561485319749677

https://www.google.com/url?sa=i&source=images&cd=&ved=2ahUKEwi8pdb12ILjAhXjtYsKHXlhDcgQjRx6BAgBEAU&url=https%3A%2F%2Fpostila.ru%2Fpost%2F20755654&psig=AOvVaw0OqKrfmhXx_EPY25B750CY&ust=1561485319749677