ЕГЭ 2020. Математика. Задачи с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень)

• задачи на чтение и анализ данных, представленных в виде графиков, диаграмм и таблиц,
• простейшие текстовые арифметические задачи на товарно-денежные отношения (в основном на оплату товаров и услуг),
• арифметические текстовые задачи на проценты,
• задачи о кредитовании и банковских процентах,
• задачи оптимизации производства товаров или услуг (минимизации расходов или максимизации прибыли).

• 1 процент – часть числа.
• За 100% всегда принимают то, с чем сравнивают. Если a>b на 20%, то a=1,2b.
• Отношение показывает, какую часть от числа b составляет число a.
• Выражение показывает, сколько процентов от числа b составляет число a.

• Увеличить число S на p%.
• Уменьшить число S на p%.
• Число A увеличили на 20%, то получили 1,2А.
• Число A уменьшили на 20%, то получили 0,8А.

• На сколько процентов число a больше b (a>b)?
• На сколько процентов число b меньше a (b<a)?

Проценты по вкладам (депозитам)

Проценты по кредитам

В задачах на проценты по вкладам речь идёт либо об однократном изменении величины вклада на определённое число процентов (простые проценты), либо о последовательном изменении величины вклада через (как правило) равные промежутки времени на определённое число процентов (сложные проценты). В последнем случае каждый раз начиная со второго проценты начисляются на сумму, полученную после предыдущего начисления процентов.

S0—сумма вклада

r%

…

Проценты по вкладам (депозитам)

r1%, r2%, …, rn%

m дней

(для обычного года)

(для високосного года)

Пример 1. В не високосном году клиент открыл вклад в банке 1 сентября сроком на 1 месяц под 12% годовых. Сколько рублей окажется на счёте вклада 1 октября того же года, если сумма вклада равна 100 000 рублей?

S0 = 100 000

r = 12

m = 30

Решение.

Ответ. 100 986,30 руб.

Вклад на 3 месяца под r% годовых с последующей автоматической пролонгацией в течение нескольких раз.

Проценты на депозит начисляются несколько раз через равные промежутки времени и каждый раз зачисляются на вклад.

Пример 2. Какой вклад выгоднее: первый—на 1 год под 13% годовых, или второй—на 3 месяца (с автоматической пролонгацией каждые три месяца в течение года) под 12% годовых? При расчётах считайте, что один месяц равен части года.

Решение.

S0—сумма вклада

Первый депозит

Второй депозит

S

Прибавка составит примерно 12,55%, а значит, первый вклад выгоднее.

Ответ. Первый.

Проценты по кредитам

Дифференцированные платежи

Аннуитетные платежи

Дифференцированные платежи

сумма выплат

фиксированная часть

n—число платежей

проценты

Для кредита с дифференцированными платежами процент и периодичность обязательных платежей фиксируются (например, ежегодные, ежеквартальные или помесячные платежи), а фиксированный процент начисляется на ещё не выплаченную к моменту очередного обязательного платежа часть кредита (долга).

Базовая (упрощённая) задача на проценты по кредиту с дифференцированными платежами

k%

n лет

Клиент должен вернуть банку сумму кредита (долг) и проценты за пользование кредитом на следующих условиях: каждый год клиент возвращает банку

1/n

часть суммы долга (кредита)

проценты за пользование кредитом, начисляемые ежегодно на остаток долга

сумма процентов

первый год

второй год

третий год

и т. д.

последний год

Общая сумма всех начисленных процентов (переплата)

=

=

=

Общая сумма всех выплат по кредиту равна сумме кредита и сумме начисленных процентов

Пример 3. Виктор взял в банке кредит сроком на 4 года под 16% годовых. На сколько процентов сумма всех выплат банку окажется больше суммы кредита, если досрочное погашение кредита не предполагается?

Решение.

Cумма всех выплат

окажется на 40% больше суммы кредита.

Аннуитетные платежи

k

Условия начисления процентов:

• до истечения очередного платёжного периода банк начисляет k% на оставшуюся сумму долга, т. е. увеличивает её на k%;

• после начисления процентов клиент вносит в банк (также до

истечения соответствующего платёжного периода) некоторую сумму

x—одну и ту же для каждого платежа; сумма долга при этом

уменьшается, и на эту уменьшенную на x сумму начисляются проценты до истечения следующего платёжного периода, после чего клиент вносит в банк платёж в размере той же суммы x и т. п.

Сумма x регулярного платежа.

сть

По истечении последнего платёжного периода долг равен 0.

- коэффициент аннуитета

Часто его вычисляют, записывая годовой процент в сотых долях (т. е. в виде десятичной дроби), для чего обозначают p.

Пример 4. 1 июля не високосного года Екатерина взяла в банке кредит на сумму 109 500 рублей под 24% годовых сроком на 6 месяцев на условиях погашения кредита ежемесячными аннуитетными (равными) платежами.

Найдите сумму всех выплат по кредиту.

Решение.

Пример 5. 31 декабря 2018 года бизнесмен взял в банке кредит на 3 года под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: до 31 ноября каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 10%), затем до истечения этого же платёжного периода (т. е. по 31 декабря того же года) бизнесмен переводит в банк определённую (одну и ту же для каждого года) сумму ежегодного платежа. Какой была сумма кредита (в рублях), если сумма ежегодного платежа составила 2 662 000 рублей?

Решение.

—сумма кредита

x —сумма ежегодной выплаты

Суммы долга по истечении каждого платёжного периода:

Ответ. 6 620 000.

Пример 5. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение.

Пусть кредит планируется взять на n лет.

Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, т. е. на 1/n -ю часть, поэтому суммы долга за каждый месяц (до начисления процентов) составят (в порядке убывания):

По условию каждый январь долг возрастает на 25%, поэтому последовательность размеров платежей по процентам будет следующей:

Ежегодный платёж состоит из фиксированной суммы 16/n и суммы платежа по процентам, поэтому ежегодные платежи составят соответственно

Общая сумма S всех выплат

Ответ. 10.

Пример 6. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший—не менее 0,6 млн рублей.

Решение.

По условию долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, т. е. на 1/9 часть, поэтому суммы долга за каждый год (до начисления процентов) составят (в порядке убывания)

4,5, 4, …, 1, 0,5.

По условию каждый январь долг возрастает на r%. Поэтому последовательность размеров платежей по процентам будет следующей:

Ежегодный платёж

фиксированная сумма

сумма платежа по процентам

наибольший платёж

наименьший платёж

Следовательно, r=20.

Ответ. 20.

Пример 7. 1 января 2019 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая—1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович мог взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты не превышали 220 тыс. рублей?

Решение.

Ответ. 6.

Пример 8. 1 января 2019 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая—1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич мог взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты не превышали 275 тыс. рублей?

Решение.

Александр Сергеевич

не покроет долг с процентами.

каждый месяц долг увеличивается не более чем на данную величину.

величину.

ежемесячном платеже.

Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев.

Ответ. 5.