Ученики на Учителя.com


Олимпиадные задачи по теме медиана

Государственное
Учебно-методическое
пособие для тех,
кто интересуется
математикой
Медиана треугольника.
Оптимальные методы решения задач
1
УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
«Медиана треугольника.
Оптимальные методы решения задач»
Составители:
Хаджибаева И.И.
2021
2
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ....………………………………………………………………. с. 3
ГЛАВА 1. Основные теоретические сведения и советы по решению
геометрических задач…………………………………………………………. с. 3.
1.1.Что такое медиана треугольника. Её основные свойства, формулы,
теоремы. ……………………………………………………………………….. с. 4
1.2 Обзор общих методов и приемов решения геометрических задач. ….. с.7
ГЛАВА 2. Различные методы и приемы, их применение к решению задач по
теме «Медиана треугольника». ……………………………………………… с. 7
2.1. Метод опорных задач. ………………………………………………….. с. 8
2.2. Поэтапно-вычислительный метод (применение формулы длины медианы
и теоремы косинусов). ………………………………………………………..с. 12
2.3. Алгебраический метод. ………………………………………………….с. 14
2.4. Геометрический метод. ……………………………………………….....с. 16
2.5. Метод площадей и метод подобия. ……………………………………..с. 17
2.6. Метод вспомогательного элемента или параметра. ………………….. с. 21
2.7. Комбинированный метод………………………………………………….с. 23
ГЛАВА 3. Олимпиадные задачи и задачи централизованного тестирования
по теме «Медиана треугольника». Выбор оптимального метода решений.
...............................................................................................................................с.23
ГЛАВА 4. Задачи для самостоятельной подготовки к экзаменам. ………с. 25
3
Математики –
это не ботаники в очках, листающие
пыльные книги, а современные люди!
Предисловие
В современном мире все возрастает потребность в людях с широким
кругозором и прочными знаниями, хорошо владеющих техническими
науками, а это значит, что требования к знанию математики тоже становятся
выше.
Как научиться решать задачи легко и быстро? Как сдать экзамены без
проблем?
Во-первых, необходимо твердое знание теоретической базы. И в этом
пособии вы найдёте подробное изложение теоретических сведений по теме
«Медиана треугольника». Но даже отличного знания теории недостаточно для
того, чтобы быстро находить оптимальный метод решения. Да и на страницах
школьных учебников не содержится информации о том, какие существуют
методы решения геометрических задач. А их в геометрии немало: поэтапно-
вычислительный, алгебраический, тригонометрический, геометрический,
метод вспомогательного аргумента, метод площадей, метод подобия,
комбинированный метод и др.
Суть этого пособия состоит в том, чтобы кратко раскрыть суть каждого
из них, к каждому методу привести задачи с решениями, начиная от самых
простых, проанализировать рациональность применения каждого из способов
к решению. Этот сборник содержит 28 решенных задач, часть этих задач
решена несколькими методами, ещё 20 задач предлагается для
самостоятельного решения. К ним приведены ответы.
Надеюсь, что предлагаемая вашему вниманию брошюра поможет
читателю погрузиться в увлекательный мир геометрии и успешно овладеть
методами решения задач по теме «Медиана треугольника».
4
Глава 1. Основные теоретические сведения и советы по решению
геометрических задач.
Умение решать задачи всегда основывается на хорошем знании
теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических
фактов и в овладении приёмами и методами решения. Из своего опыта и
советов учителя знаю и советую вам, для успешного решения задачи
необходимо выполнить следующие условия.
1. Четко знать теоретический материал.
2 . Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается
задание. Не спешите начинать решать задачу. Сначала необходимо
а) ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание;
б) вникнуть в ее содержание. При этом нужно выделить в задаче данные и
искомые.
3. После прочтения сделать рисунок.
Нужно научиться делать большие и красивые чертежи, а иногда не чертежи,
а рисунки. Чертежи - рисунки, если они выполнены грамотно, могут сильно
облегчить поиск решения, работу над ним.
Рисунок может подсказать какое-либо геометрическое соотношение между
отрезками или углами. Если идет речь, например, о произвольном
треугольнике, то треугольник не должен быть прямоугольным или
равнобедренным, а тем более правильным.
4. Необходимо знание методов решения геометрических задач.
Учитывая рекомендации, первым делом изучим теоретический материал по
теме «Медиана треугольника».
1.1. Что такое медиана треугольника. Её основные свойства, формулы,
теоремы
Треугольник неисчерпаем – его свойства изучали ещё в древнем Египте, но
и в наше время открываются всё новые. Чтобы рассказать обо всех известных
его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом энциклопедии.
Остановимся подробнее на медиане треугольника и ее свойствах. Сначала
вспомним, что
5
медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) – это отрезок
соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны.
Рис.1. Отрезок ВМ – медиана треугольника АВС.
Треугольник имеет три стороны, а значит и медиан у него – три.
Рис. 2 ВМ, АК, СР – медианы треугольника АВС.
Свойства медиан:
1 .Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом
(центром масс) и делятся в этой точке в отношении 2:1.
Рис 3. BN:NM=AN:NK=CN:NP=1:2, точка N– центроид
треугольника АВС.
2.Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (с равными
площадями).
Рис.4 S
ABM
=S
CBM
3. Все медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.
6
Рис. 5 S
APN
=S
BPN
=S
BKN
=S
CKN
S
CMN
=S
AMN
4.Если точку пересечения медиан треугольника соединить отрезками с
вершинами треугольника, то треугольник разделится на три равновеликих.
Рис.6 S
ABN
=S
BCN
=S
ACN
5.Если a, b,c – длины сторон треугольника АВС, то длины его медиан m
a
, m
b
,
m
c
можно вычислить по формулам:
6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе,
равна половине гипотенузы и является радиусом окружности, описанной
около этого треугольника.
Рис. 7. ОА=ОВ=ОС=R
7.Медиана треугольника есть геометрическое место точек, являющихся
серединами отрезков прямых, заключенных внутри треугольника,
параллельных той стороне, к которой проведена медиана.
7
Рис. 8
8. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию,
является и высотой и биссектрисой.
Рис.9 ВD - медиана, высота, биссектриса
9*.Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот
произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его
медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром
(точка пересечения высот), все лежат на одной окружности (так называемой
окружности девяти точек).
Рис.10
1. 2. Основные методы решения задач по геометрии.
Материалы школьных учебников по геометрии не акцентируют внимания
на методах решения задач. Наверное потому, что в отличие от алгебры, в
геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Практически
каждая задача требует «индивидуального» подхода. Но все-таки, можно
выделить некоторые основные приемы и методы, знание которых
8
подкрепленные интуицией, помогут найти решение задачи наиболее
рациональным способом.
В следующей главе рассмотрим некоторые методы и их применение на
практике к решению задач по теме «Медиана треугольника.
Глава2. Примеры применения различных методов и
приемов решения задач
2.1.Метод опорных задач
Под методом опорных задач понимают такие задачи, когда требуемое
утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда
известных теорем и задач. Такие задачи надо не только уметь решать, но и
знать, и уметь применять содержащиеся в них факты к решению других
задач. К таким задачам относятся и теоремы, из первой главы. Приведем их
доказательство.
Задача №1. Доказать, что медиана разбивает треугольник на два
равновеликих.
Доказательство. Рассмотрим произвольный
треугольник ABC. Проведём в нём медиану
BM. Треугольник разбился медианой на два
треугольникаABM и CBM, имеющих равные
основания AM и CM. Так как у этих
треугольников общая высота BN, то S
ABM
=½AM× BN = ½CM×BN = S
CBM.
Что и требовалось доказать.
Задача№ 2. Точку пересечения медиан треугольника соединили с его
вершинами. Доказать, что площади образовавшихся треугольников равны.
Доказательство: Пусть N - точка
пересечения медиан треугольника ABC
, M – середина стороны AC. Тогда MN
– медиана треугольника ANC и
треугольники ANM и СNM
равновелики (смотри задачу №1).
9
Поскольку BM - медиана треугольника ABC , то равновелики и
треугольники ABM и CBM. Следовательно, площади треугольников ABN и
СBN равны. Аналогично доказывается , что равны площади треугольников
ABN и CAN . Из сказанного следует , что равны площади треугольников
S
ABN
=S
BCN
=S
ACN
. Что и требовалось доказать.
Задача3. Доказать что медианы треугольника, пересекаясь делят его на
шесть равновеликих треугольников.
Доказательство:
Для доказательства этого факта воспользуемся уже
доказанными в задачах №1 и №2 фактами: S
ВОС
=
⅓ S
АВС,
S
ОМВ
= S
ОМС
= ½ S
ВОС,
из чего и следует, что
S
ОМВ
= S
ОМС
= 1/6 S
АВС,
что и требовалось доказать.
Задача 4. Доказать, что все медианы
треугольника пересекаются в одной точке и
делятся в этой точке в отношении 2:1.
Доказательство:
1) Пусть дан
ABC, AA
1
, BB
1
, CC
1
— медианы
треугольника,
M — середина отрезка AO, N — середина BO (то есть
AM=OM, BN=ON).
2) Соединим точки M, N, A
1
и B
1
отрезками. Тогда MN
— средняя линия треугольника AOB
и
3) Так как AA
1
и BB
1
— медианы треугольника ABC, точка A
1
- середина
отрезка BC, B
1
— середина AC. Следовательно, A
1
B
1
— средняя линия
треугольника ABC и
10
4) Имеем:
Значит, четырёхугольник MNA
1
B
1
— параллелограмм (по признаку
параллелограмма).
По свойству диагоналей параллелограмма
Таким образом,
,
из чего следует, что
5) Докажем теперь, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке
( методом от противного).
Предположим, что третья медиана CC
1
треугольника ABC пересекает медианы
AA
1
и BB
1
в некоторой точке, отличной от точки O.
Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении
2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.
Таким образом,
Что и требовалось доказать.
Задача 5. Вывести формулу длины медианы
треугольника через длины его сторон
Решение.
Пусть стороны треугольника равны ,
, , и пусть - медиана, проведенная
к стороне . Чтобы найти ее длину, заметим, что по
теореме косинусов для треугольника имеем
11
С другой стороны, по теореме косинусов уже для всего треугольника
имеем:
Подставляя это в предыдущую формулу, получим (после упрощений) вот
что:
В треугольнике со сторонами , и длина медианы, проведенной
к стороне , равна . Аналогично получают и формулы
медиан, проведенных к двум другим сторонам.
Любопытно, что у этой задачи есть и другой, ещё более простой способ
решения.
Надо достроить треугольник до
параллелограмма, и воспользоваться тем, что в
параллелограмме сумма квадратов длин его
всех сторон равна сумме квадратов его
диагоналей.
Ответ:
Задача 6. Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная
из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Доказательство.
Пусть точка М – середина гипотенузы СА. Проведем
MN║АВ. Тогда по теореме Фалеса CN=BN. Значит MN –
средняя линия треугольника АВС MN=½АВ, BN=½СВ .
Из прямоугольного треугольника
MNB имеем
BM=
22
NMВM +
=
22
4
1
4
1
АВСВ +
=
22
2
1
АВСВ +
=
СА
2
1
.
Кроме того, так как МВ=МА=МС, то точка М – центр
окружности описанной около прямоугольного треугольника АВС. Значит,
12
1) Центром окружности описанной около прямоугольного треугольника,
является середина гипотенузы.
2) Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника
равен половине гипотенузы.
Как мы убедились даже эти самые первые задачи – теоремы темы в своем
решении опираются либо на предыдущие из данной темы , либо на теоремы,
которые нам уже известны.
На знании таких опорных задач, базируется решение многих других.
Например, Задача 7. В треугольнике АВС АВ=4, ВС=5, АС=6. Найти длину
медианы АМ.
Решение.
1 способ. Продлим медиану АМ. На её длину, тогда АВСD – параллелограмм
( по признаку параллелограмма, так как его
диагонали пересекаются и в точке пересечения
делятся пополам). По свойству параллелограмма
AD
2
+BC
2
=2AB
2
+2AC
2
, т.е. (2АМ)
2
=
=2*4
2
+2*6
2
– 5
2
=79, АМ=
2
79
.
2 способ. Воспользуемся формулой
m
a
=
2
22
222
acb −+
=
2
56242
222
−+
=
2
79
.
3 способ. Воспользуемся теоремой косинусов для угла В треугольника АВС:
cos
B=
BCAB
ACBCAB
−+
2
222
=
64*2
654
222
−+
=
8
1
.
В треугольнике АВМ имеем: АМ=
BсоsВМАВВМАВ −+ ***2
22
=
2
79
.
Ответ:
2
79
.
Задача 8. В треугольнике АВС АВ=8
3
; ВС=24;
АВС=30
0
. Найти
медиану АМ.
Решение. Рассмотрим
АВМ. АВ=8
3
; ВМ=12,
АВМ=30
0
. По теореме
косинусов имеем: АМ
2
+ВМ
2
-2АВ*ВМ* cos30
0
=192+144-2*8
3
*12*
2
3
=
=48. Следовательно, АМ=
48
=
34
.
13
Ответ:
34
.
2.2. Поэтапно-вычислительный метод
Данный метод заключается в том, что задача разбивается на ряд подзадач,
каждая из которых является либо элементарной, либо опорной, поэтапное
решение этих подзадач и приводит к решению данной задачи.
Поэтапно-вычислительным методом решены следующие задачи..Для их
решения использовали в основном формулы медиан и теорему косинусов.
Задача 9.Одна из сторон треугольника равна 14, а медианы, проведенные к
двум другим сторонам равны
73
и
76
. Найти эти стороны.
Решение. Пусть в
АВС АС=14, АМ и СN – медианы,
АМ=
73
, СN=
76
, тогда по теореме косинусов
cos
АОС=
ОCAО
ACОCAО
−+
2
222
=
112
19611228 −+
= -
2
1
.
Следовательно,
АОС=120
0
и
АОN=
COM=60
0
.
В треугольнике АОN
AN=
022
60cos**2 ONAOONАО −+
=
2
1
*28*22828 −+
=2
7
,
Следовательно, АВ= 2AN=4
7
.
В треугольнике МОС
МС=
022
60cos**2 OСМOOСМО −+
=
2
1
*28*21127 −+
=
91
, значит
ВС=2
91
.
Ответ: 4
7
; 2
91
.
Задача 10.В треугольнике АВС заданы медианы m
a
, m
b
и m
c
. Найти стороны
треугольника.
Решение. Обозначим стороны треугольника АВ=с, АС=в, ВС=а. Тогда,
используя формулы медиан, получим систему уравнений
.
.224
,224
,224
222
222
222
−+=
−+=
−+=
cbam
bcam
acbm
c
b
a
14
Складывая все уравнения системы, получим:
4(m
a
+ m
b
+ m
c
) = 3a
2
+3b
2
+ 3c
2
, или
3
8
(m
a
+ m
b
+ m
c
) = 2a
2
+2b
2
+ 2c
2
.
Вычитая из полученного равенства последовательно первое, затем второе и
третье уравнения системы, найдем, что
.4889
,4889
,4889
2222
2222
2222
cba
bca
acb
mmmc
mmmb
mmmа
−+=
−+=
−+=
Отсюда, получаем формулы для вычисления сторон треугольника через его
медианы.
Ответ:
.22
3
2
,22
3
2
,22
3
2
222
222
222
cba
bca
acb
mmmc
mmmb
mmma
−+=
−+=
−+=
Зная, эти формулы можно по любым данным их вычислить. Причем можно
и не запоминать формулы, а запомнить, как их выводят, и поэтапно
вычислить значения длин сторон треугольника.
2.3. Алгебраический метод решения
Под алгебраическим методом понимают метод составления уравнения или
системы уравнений, в которые входят данные и искомые величины. Этот
метод является одним из наиболее распространенных при решении
прямоугольных треугольников.
Задача 11. Медианы CM и BN прямоугольного треугольника АВС (
С= 90
0
),
перпендикулярны. Найти катеты, если гипотенуза равна с.
Решение. МА=МС=МВ =
2
с
. Пусть DN=x. Тогда ВО=
х
3
2
,
МО=
6
с
.
МВ
2
= МО
2
+ ВО
2
;
;
9
4
364
2
22
х
сс
+=
;
2
2
2
с
х =
.
9
2
2
2
с
ВО =
;
9
3
9
2
9
222
222
ссс
ВОСОВС =+=+=
.
3
3с
ВС =
;
3
2
3
22
2222
сс
сВСАВАС =−=−=
.
3
6с
АС =
15
Ответ:
.
3
6
;
3
3 сс
Задача 12. В прямоугольном треугольнике медианы.
Проведенные к катетам равны
52
и.
73
Найти
длину гипотенузы.
Решение.
Проведем медианы АК и ВМ.
Пусть АК=
52
, ВМ=
73
, х – половина длины
стороны АС, у – половина длины стороны ВС. Тогда
из прямоугольных треугольников АСК и ВСМ имеем:
222
СКАСАК +=
,
222
ВСМСВМ +=
, тогда составим
систему уравнений:
=+
=+
.734
,524
22
22
ух
ух
отсюда
,125)(5
22
=+ ух
,25
22
=+ ух
),(4
222
ухАВ +=
АВ=10.
Ответ: 10.
Задача 13. Две стороны треугольника равны 6см и 8 см. Медианы,
проведенные к этим сторонам, пересекаются под
прямым углом. Найти третью сторону
треугольника.
Решение. Пусть АС=6см, ВС=8см и медианы AN и
ВМ пересекаются в точке О.АN
⊥
ВМ. Пусть АN=х
см, ВМ=у см. Тогда АО=
х
3
2
, NО=
,
3
1
х
ВО=
у
3
2
,
МО=
.
3
1
у
АМ
2
=ОМ
2
+ ОА
2
, ВN
2
= ОВ
2
+ОN
2
.
+=
+=
;
9
4
9
1
16
,
9
4
9
1
9
22
2
2
yx
xy
16
=+
=+
;1444
,814
22
22
yx
yx
;22555
22
=+ yx
;45
22
=+ yx
АВ
2
=ВО
2
+АО
2
=
9
4
(
22
yx +
)=20, то
АВ=
52
см.
Ответ:
52
см.
2.4. Геометрические методы
К таким методам решения задач относят методы , использующие
дополнительные построения, которые позволяют существенно упростить
решение задачи.Это, например такие дополнительные построения, как
• проведение прямой через две данные точки,
• проведение через заданную точку прямой, параллельно данной, либо
перпендикулярной данной
• симметричные построения, поворот и т.д.
• решая задачу о медианах, бывает полезным продлить медиану на ее же
длину.
Задача 14. Найти площадь треугольника по двум сторонам, равным 6 и
8, и медиане, равной 5, проведенной к третьей стороне.
Решение. Пусть в треугольнике АВС АВ=6, ВС=8,
АМ=МС, ВМ=5.
Продлим медиану ВМ так, чтобы МD=ВМ, и
соединим точки А и D.
CMBAMD =
по первому признаку равенства
треугольников, так как
CMBAMDMDBMMCAM === ,,
. Из равенства
треугольников AD=BC=8.
В треугольнике АВD АВ=6, AD=8, BD=10,
следовательно,
0
90=ВАD
(треугольник
египетский), кроме того,
24*
2
1
=== BDABSS
ABDABC
.
Ответ: 24.
Задача 15. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5.
Вычислить площадь этого треугольника.
Решение.
17
Пусть AD, CP, BK – медианы
АВС
и АD= CP=5,BK=6. Отложим отрезок
КТ, равный отрезку ОК, и соединим точки С и Т. АО=ОС=
3
10
,
ОК=КТ=2. КС=
.
3
8
4
9
100
=−
3
16
*
2
1
== KCOTS
OTC
.
3
8
=
OKC
S
. Тогда воспользовавшись тем, что медианы
пересекаясь делят треугольник на шесть равновеликих, получим: .
166*
3
8
==
ABC
S
.
Ответ: 16.
Задача 16. В треугольнике АВС
,41=АВ
ВС=13, ВН
– высота, опущенная на сторону АС, ВН=5. Найти
длину медианы АМ.
Решение.
В прямоугольном треугольнике ВНС по теореме
Пифагора
.12
22
=−= ВНВСНС
В прямоугольном треугольнике АВН по теореме
Пифагора
.4
22
=−= ВНАВАН
Опустим из точки М перпендикулярМD на сторону
АС. МD – средняя линия треугольника ВНС, следовательно
2
5
2
1
== BHMD
,
.6
2
1
=== HCDCHD
Тогда в прямоугольном треугольнике АМD
,1064,90
0
=+=+== HDAHADAMD
2
5
=MD
. По теореме Пифагора
2
175
4
25
100
22
=+=+= MDADAM
.
Ответ:
2
175
.
2.5. Метод площадей предполагает использование свойств площадей к
решению задач. Такие задачи, как правило не имеют универсального способа
их решения. При поиске решения здесь приходится проявлять в полной мере и
геометрическое видение, и творческий подход.
А название метода подобия само подсказывает, что в этом случае
применяют признаки подобия треугольников. Для этого надо уметь
распознать на рисунке к задаче подобные треугольники по её данным.
18
Задача 17.В треугольнике АВС медиана АК
пересекает медиану ВD в точке L.Найти площадь
треугольника АВС, если площадь четырёхугольника
KCDL равна 5.
Решение.
Проведем третью медиану СМ. Три медианы
разбивают треугольник на шесть равновеликих
треугольников, тогда
2
5
2
1
==
KCDLCDL
SS
,
.15*6 ==
CDLABC
SS
Ответ: 15.
Задача 18. Найти площадь треугольника, если его
медианы равны 3см , 4см и 5см.
Решение.
Первый способ.
Пусть АМ=3см, BN=4см и СР=5см – медианы
треугольника АВС. О-точка пересечения медиан. По
свойству медиан каждая из них точкой О делится в
отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Значит, АО=
АМ
3
2
,
BNON
3
2
=
,
СРСО
3
2
=
. В
треугольнике АОС известны две стороны АО и СО и медиана ON,
проведенная к третьей стороне. Площадь этого треугольника найдем
следующим образом: достроим его до параллелограмма АОСD, площади
треугольников АОС и АОD равны. Теперь по формуле Герона
получим
3
8
=
AOD
S
см
2
.Площадь треугольника АВС равна шести площадям
треугольника АОN или трём площадям треугольника АОС, Следовательно,
8=
ABC
S
см
2
.
Второй способ. В этом случае проведем КР║АМ. КР –
средняя линия треугольника АОС, значит
BNВNВООК
РСРСОСОР
АМАМАОКР
3
1
3
2
*
2
1
2
1
3
1
3
2
*
2
1
2
1
3
1
3
2
*
2
1
2
1
===
===
===
19
Значит треугольник ОКР подобен треугольнику со сторонами 3см, 4см и 5см
(египетскому), коэффициент подобия равен
3
1
. Следовательно
3
2
2
4*6
*
9
1
==
OPK
S
.
С другой стороны
ABCABCPOBOPK
SSSS
12
1
6
1
*
2
1
2
1
===
, тогда
)(8
3
2
*1212
2
смSS
OPKABC
===
Ответ: 8 см
2
.
Как видим при решении задачи № 18 этими двумя способами для того,
чтобы применить метод площадей сначала необходимо было выполнить
дополнительное построение. Такой подход к решению используется и при
решении следующей. Кроме того, при решении задачи №18 вторым способом,
а также при решении задачи №19 использовался признак подобия
треугольников по трём сторонам и свойство площадей подобных фигур, о том,
что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коээфициента
подобия.
Задача19. Найти площадь треугольника, сторонами которого служат
медианы треугольника с площадью, равной S.
Решение. Пусть
SS
ABC
=
, AM, BN, KC –
медианы. Продлим Медиану BN на отрезок
ND,равный ОN, и соединим точки D и С.
Рассмотрим треугольник DOC:
ОС=
3
2
КС, OD= 2 ON= 2*
3
1
BN=
3
2
BN,
DC=AO=
3
2
AM, это следует из того,что
ONADNC =
по двум сторонам и углу между
ними. А значит
OCD
подобен треугольнику,
сторонами которого являются медианы, с коээфициентом подобия к=
3
2
.
Обозначим площадь этого треугольника через х, тогда
xS
OCD
9
4
=
, отсюда
OCD
Sx
9
4
=
.
С другой стороны,
SSSS
ABCOCNOCD
3
1
6
1
*22 ===
. Значит,
SSx
4
3
3
1
*
4
9
==
.
Ответ:
S
4
3
.
20
Результат, полученный в этой задаче, может быть полезным при
решении других задач, если запомнить, что отношение площади
треугольника к площади треугольника, составленного из медиан первого
равно 4:3.
Задача 20. На медиане BD равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС)
взята точка К такая, что KD=2BK. Прямая АК пересекает сторону ВС в
точке М. Найти площадь треугольника АМС, если площадь треугольника
АВС равна 20.
Решение. BD – медиана треугольника АВС, проведенная к его основанию,
следовательно, BD является высотой и биссектрисой.
Проведем прямую ВF параллельноую АС до
пересечения её с продолжением АМ в точке F.
Пусть АD=DС=х, АС=2х.
Треугольник AKDподобен треугольнику FKB по двум
углам (
FKBAKDKFBKAD == ,
),
следовательно
2
1
==
KD
BK
AD
BF
, отсюда
xADBF
2
1
2
1
==
.
Треугольник АМС подобен треугольнику FMB
(
MFBMACFMBАМС == ,
), поэтому
4
1
2
2
1
===
x
x
AC
BF
MC
BM
, а
5
4
=
BC
MC
.
Треугольники АВС и АМС имеют одинаковую высоту, проведенную из
вершины А. Следовательно их площади относятся также, как стороны к
которым эта высота проведена,
т.е.
5
4
=
ABC
AMC
S
S
, отсюда получим, что
1620*
5
4
5
4
===
ABCAMC
SS
.
Ответ:16.
Задача 21. В треугольнике АВС медиана АМ
перпендикулярна медиане BN. Найти площадь треугольника
АВС, если АМ=m, BN=n.
Решение.Пусть медианы пересекаются в точке К. Тогда
mAMAK
3
2
3
2
==
;
nBNBK
3
2
3
2
==
.
mnnmS
AKB
9
2
3
2
*
3
2
*
2
1
==
.
21
mnmnSS
AKBABC
3
2
9
2
*3*3 ===
.
Ответ:
mn
3
2
.
Задача 22. В остроугольном треугольнике АВС длины медиан ВМ,СN и
высоты АН равны соответственно 4, 5 и 6. Найти площадь треугольника.
Решение.В треугольнике ВОС
3
8
3
2
== ВМВО
,
3
10
3
2
== CNCO
.
Кроме того
ABCBOC
SS
3
1
=
и у треугольников АВС и ВОС
общая сторона ВС. Следовательно,
3
1
==
OH
OK
S
S
ABC
BOC
, тогда
26*
3
1
3
1
=== AHOK
.
В прямоугольном треугольнике ОКС по теореме Пифагора
3
8
4
9
100
22
=−=−= OKOCKC
,
а в прямоугольном треугольнике ВОК
3
72
4
9
64
22
=−=−= OKBOBK
.
Тогда ВС= ВК+КС=
3
728 +
.
)47(2
3
728
*6*
2
1
*
2
1
+=
+
== BCAHS
ABC
.
Ответ:
)47(2 +
.
2.6. Метод вспомогательного элемента
Иногда при решении геометрических задач надо ввести вспомогательный
отрезок или угол. Тогда величину этого отрезка или угла полагают равной,
например, х и затем находят искомую величину. В процессе вычислений
вспомогательная величина, как правило, сокращается, поэтому данный метод
близок к алгебраическому методу.
22
Задача 23. Продолжения медиан АМ и ВК треугольника АВС пересекают
описанную около него окружность в точках Е и F соответственно, причем
АЕ:АМ=2:1. Найти углы треугольника АВС.
Решение. Обозначим стороны треугольника АВС:
АВ=с, АС=b, BC=a, а медианы соответственно
АМ=m
a
, BK=m
b
.
Воспользуемся свойством пересекающихся хорд в
окружности:
АМ*МЕ=ВМ*МС, m
a
*m
b
=
2
*
2
аа
, а так как
АЕ=2АМ, то АМ=МЕ и
2
2
4 am
а
=
.
Далее, используя формулу для вычисления длины
медианы, получим, что
2222
22 aacb =−+
,
отсюда
222
cba +=
. Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник
АВС прямоугольный,
0
90=A
.
Так, как
BKBF
3
2
=
, то
BKKF
2
1
=
. Снова, применяя свойство хорд в
окружности, получаем
KCAKKFBK ** =
, или
2
*
22
1
*
bb
mm
bb
=
, отсюда
22
2
b
mb =
.
Применяя формулу медианы, получим,
)22(
2
1
2222
bcab −+=
.
Отсюда
222
322 bca =+
. Теперь, учитывая теорему Пифагора, получаем
равенство:
2222
3222 bccb =++
, то
22
4 bс =
, а значит
2=
c
b
.
Тогда
2=Btg
, а
2arctgB =
.
Наконец,
2
2
arctgC −=
.
Ответ:
0
90=A
;
2arctgB =
;
2
2
arctgC −=
.
2.7. Комбинированный метод
Часто применяется при решении сложных задач, когда невозможно
обойтись каким то одним методом решения и приходится прибегать к
использованию нескольких методов. Таковыми часто являются задачи
23
олимпиад различного уровня и задачи группы В в централизованном
тестировании, которые мы рассмотрим в следующей главе.
Глава 3. Олимпиадные задачи и задачи централизованного
тестирования по теме «Медиана треугольника». Выбор оптимального
метода решений.
В этой главе комбинированный методы применяется для решения
конкретных задач централизованного тестирования и некоторых олимпиадных
задач.
Задача 24 Высоты
1
АА
,
1
ВВ
и
1
СС
остроугольного треугольника АВС
пересекаются в точке Н. Точки М и N -
середины отрезков ВС и АН
соответственно.
Докажите, что MN – серединный
перпендикуляр отрезка
11
СВ
.
Решение. Заметим, что
МВ
1
и
МС
1
-
медианы прямоугольных треугольников
СВВ
1
и
ВСС
1
соответственно, проведенные
из вершин прямых углов и,
следовательно, каждый из них равен
половине гипотенузы СВ этих треугольников. Значит
МССВМВ
11
5,0 ==
, т.е.
точка М равноудалена от концов отрезка
11
СВ
. Аналогично, рассматривая
прямоугольные треугольники
АНВ
1
и
АНС
1
, заключаем, что
NСAHNВ
11
5,0 ==
,
т.е. точка N равноудалена от концов отрезка
11
СВ
. Таким образом, каждая из
точек N и М равноудалена от концов отрезка
11
СВ
, а значит, MN – серединный
перпендикуляр к этому отрезку, что и требовалось доказать.
Задача 25
В треугольнике АВС
АВС
равен , точка М- середина стороны АС, а L- точка
на стороне ВС такая, что АL –биссектриса
ВАС
. Оказалось, что центр
окружности описанной около треугольника АВС лежит на отрезке МL.
Найти величины двух других углов треугольника АВС.
24
Решение.
Поскольку, центр описанной
окружности – это точка пересечения
серединных перпендикуляров к
сторонам треугольника, то МL –
серединный перпендикуляр к отрезку АС. Поэтому LМ – высота и медиана
треугольника АLС и, следовательно, этот треугольник является
равнобедренным. Поэтому. Следовательно,
,360180
00
ВСАВСАВАСАВС +=++=
откуда
0
40=ВСА
и
0
802 == ВСАВАС
.
Ответ:
0
40=ВСА
,
0
80=ВАС
.
Задача 26: Докажите, что длина медианы, выходящей из тупого угла
треугольника, меньше четверти периметра этого треугольника.
Решение. Пусть a, b, c – стороны треугольника; γ – тупой угол (противолежит
стороне c); m – медиана. Продолжив медиану на её длину, получим
параллелограмм со сторонами a, b и диагоналями c, 2m. Воспользуемся
теоремой косинусов и тем, что угол γ тупой.
Значит, 2m < c. По неравенству треугольника c < a + b, 2c < a + b + c = P,
откуда заключаем, что , что и требовалось доказать.
Задача 27
Точка А движется по периметру треугольника КМN . Точки К
1
, М
1
,N
1
лежат на медианах треугольника КМN и делят их в отношении 1:5,считая
от вершин. По периметру треугольника К
1
М
1
N
1
движется точка В со
скоростью, в три раза большей скорости точки А. Сколько раз точка В
обойдет по периметру треугольник К
1
М
1
N
1
за то время, за которое точка А
пять раз обойдет по периметру треугольник КМN?
Для решения этой задачи применили свойство медиан, признак подобия
треугольников и умение решать задачи на движение.
Решение. Медианы треугольника
пересекаются и делятся в точке
пересечения в отношении 2:1 считая от
вершины, то
3
2
222
===
NN
NO
ММ
МО
КК
КО
.
По условию задачи
6
1
2
1
2
1
2
1
===
NN
NN
MM
MM
KK
KK
.
25
Найдём, что
2221
2
1
6
1
3
2
KKKKKKOK =−=
.
Аналогично
2221
2
1
6
1
3
2
NNNNNNON =−=
,
2221
2
1
6
1
3
2
MMMMMMOM =−=
.
Треугольник
11
ONK
подобен треугольнику
KON
, так как
4
3
3
2
2
1
2
2
11
===
KK
KK
NO
ON
KO
OK
,
KON
- общий. Аналогично подобны пары треугольников
11
OMK
и
KOM
,
треугольники
11
ONM
и
NOM
, причем с тем же коэффициентом подобия
4
3
.
Тогда
4
3
111111
===
KN
NK
MN
NM
KM
MK
и
4
3
111
=
KMNNMK
PP
.
Пусть скорость движения точки А равна
v
, тогда скорость движения точки В
равна
v3
. Точка А обойдет периметр треугольника за время, равное
v
P
KMN
,
тогда пять периметров за время
v
P
KMN
5
. Тогда точка В за это время по
периметру треугольника
111
NMK
обойдет один раз за
v
P
v
P
KMNKMN
434
3
=
.
Если количество пройденных ею по условию задачи кругов принять за х, то
получим уравнение:
х
v
P
v
P
KMNKMN
=
4
5
, отсюда х=20.
Ответ: 20 раз.
Предлагаю решение ещё одной задачи исследовательского характера:
Задача 28:
В треугольнике АВС известны длины сторон АС=5, ВС=3. Чему может
быть равна длина медианы СМ этого треугольника? (Укажите все возможные
значения).
Решение. Достроим треугольник АВС до
параллелограмма АСВD. Тогда точка М – середина
его диагонали СD, и СD=2СМ, АD=СВ. Из
неравенства треугольника следует, что АС+
АDбольше, чем СD. Поэтому для медианы СМ будет
выполнено неравенство СМ=0,5 СD, а это меньше, чем
0,5(АС+АD)=0,5(АС+ ВС)=4.
С другой стороны, также из неравенства треугольника
следует, что АС- АD меньше, чем СD. Поэтому для
медианы СМ будет выполнено неравенство СМ=0,5
СDбольше чем 0,5(АС- АD)= 0,5(Ас- ВС)=1.
Таким образом, СМ принимает любые значения из
26
интервала (1;4). При любом значении СМ из этого интервала существует
треугольник со сторонами АС=5, ВС=3 и медианой СМ. Построение следует
из приведенного чертежа.
Ответ: длина медианы может принимать любые значения из интервала
(1;4).
Глава 4. Задачи для самостоятельного решения.
Уважаемый читатель теперь, разобрав решенные задачи важно понять, что
«нельзя научиться плавать, не войдя в воду» - то есть для того, чтобы
научиться решать задачи надо их решать, решать самому. Поэтому в данной
главе из книг различных авторов собраны задачи для самостоятельного
решения. К каждой из них дан ответ.
Помните, самостоятельное решение одной задачи приносит больше пользы,
чем разбор готовых решений нескольких задач. Желаю всем, кто будет их
решать сообразительности, настойчивости и успеха! Пусть и вам помогут те
два лозунга, которые поддерживали меня при написании этой работы:
• «Дорогу осилит идущий, и вера приводит к успеху»,
• «Не ошибается тот, кто ничего не делает».
Надеюсь, теперь вы сможете выбрать самый верный, самый рациональный
метод для решения каждой из задач.
Задачи для самостоятельного решения
1. В равнобедренном треугольнике основание равно
21
, угол при основании
30
0
. Найти длину медианы, проведенной к боковой стороне.
Ответ: 3,5.
2. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 6 см, боковые
стороны АВ и ВС равны 5 см. Найти расстояние между точкой пересечения
медиан и точкой пересечения биссектрис треугольника.
Ответ:
6
1
см.
3. Медиана, проведенная к одной из боковых сторон равнобедренного
треугольника, делит периметр треугольника на две части длиной 15см и 6 см.
Найти длины сторон треугольника.
Ответ:10 см; 10 см; 1 см.
27
4. В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам равны
52
и
73
. Найти длину гипотенузы этого треугольника.
Ответ: 10.
5. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе,
разбивает его на два треугольника с периметрами 16 и 18. Тогда длина
гипотенузы равна…
Ответ: 10.
6. Основание треугольника равно 26. Медианы боковых сторон равны 30 39.
Площадь этого треугольника равна…
Ответ:720.
7. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4, медиана,
проведенная к боковой стороне, равна 3. Основание этого треугольника
равно…
Ответ:
10
.
8. В треугольнике АВС медиана АD и биссектриса ВЕ перпендикулярны и
пересекаются в точке F, известно что площадь треугольника DEF равна 5.
Тогда площадь треугольника АВС равна…
Ответ: 60.
9. В треугольнике АВК точки К и N – середины сторон АВ и АС
соответственно. Через вершину В проведена прямая, которая пересекает
сторону Ас в точке F, а отрезок КN в точке L так, что KN:LN=3:2. Определить
площадь четырехугольника AKLF,если площадь треугольника АВС равна 40.
Ответ: 9.
10. Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. Определить площади
треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой и
медианой, проведенными к большей по величине стороне.
Ответ: 2, 16; 3; 0,84
11. На медиане ВD треугольника АВС, площадь которого равна S, взята точка
Е так, что
BDDE
4
1
=
. Через точку Е проведена прямая АЕ, пересекающая
сторону ВС в точке Р. Найти площадь треугольника АРС.
Ответ:
S
5
2
.
28
12. Точка К делит медиану АD треугольника АВС в отношении 3:1, считая от
вершины. В каком отношении прямая, проходящая через точки В и К делит
площадь треугольника АВС?
Ответ: 3:2.
13. В треугольнике АВС АD – медиана. В каком отношении отрезок АD
делится прямой, параллельной стороне АВ и отсекающей от треугольников
АDС и АВD треугольники одинаковой площади?
Ответ:
2
.
14. В треугольнике ABC проведены биссектриса AL, высота BH и медиана
CM.
Оказалось, что углы CAL, ABH и BCM равны между собой. Найдите угол
BAC.
Ответ: 60
0
.
15. В треугольнике ABC проведены биссектриса AL, высота BH и медиана
CM. Оказалось, что углы CAL, ABH и BCM равны между собой. Найдите
минимальное возможное значение угла AВC.
Ответ: 30
0
.
16. В треугольнике ABC проведены биссектриса AL, высота BH и медиана
CM. Оказалось, что углы CAL, ABH и BCM равны между собой. Найдите
максимальное возможное значение угла АCВ.
Ответ: 90
0
.
17. Найти углы треугольника, если известно, что медиана, биссектриса и
высота, проведенные из вершины С, делят угол на четыре равные части.
Ответ:
8
;
8
3
;
2
.
18. Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, имеющего
наибольшую площадь при заданной постоянной длине медианы, проведенной
к его боковой стороне.
Ответ:
5
4
arccos
.
19. В треугольнике АВС точка М – середина стороны АС, а Н – точка на
стороне ВС такая, что АН – высота этого треугольника. Найти величину угла
АВС, если известно, что центр описанной окружности треугольника АВС
лежит на отрезке МН.
Ответ:
0
45
.
29
20. Длины двух медиан треугольника 2 и 3. В каких пределах может
изменяться длина третьей? При каком её значении площадь треугольника
максимальна? Каково при этом значение площади S?
Ответ: (1;5);
13
; 4.
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: