Конспект урока "Медиана треугольника"
Медиана треугольника.
Тема: Медиана треугольника.
Тип урока: лекция - семинар.
Вид урока: урок формирования умений и навыков, применения теоремы косинусов, ее
следствий при решении задач и доказательства теорем.
Цели урока:
• Образовательные:
1) Совершенствовать навыки решения задач с использованием теоремы косинусов и
ее следствий.
2) Вывести формулу о медиане треугольника и показать ее применение при решении
задач.
3) Ознакомить учащихся с методом дополнительных построений (удвоение медианы)
при выводе формул и при решении задач.
4) Создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.
• Развивающие:
1) Формирование и совершенствование умений обобщать путем сравнения,
постановка и решение проблем, рассуждение по аналогии, оперирование уже
знакомыми геометрическими понятиями и фактами.
2) Развивать психологические характеристики личности учащихся: выдвижению
гипотез, формированию проблем.
• Воспитательные:
1) Воспитывать культуру устной и письменной математической речи.
2) Воспитывать умение слушать друг друга и учителя.
Обучающие технологии:
• ИКТ
• развивающее обучение
• здоровьесберегающие
Ход урока:
1. Организационный момент.
Приветствие.
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.
В. П. Ермаков (Российский математик и механик, член-корреспондент
Петербургской академии наук, с 1899 года заслуженный профессор)
Сегодня мы с вами продолжим работу по теме: «Теорема косинусов». Используя метод
дополнительного построения, выведем формулы для вычисления медиан треугольника
через стороны и стороны треугольника через медианы и применим их при решении задач.
2. Вывод формулы вычисления медианы треугольника, если известны все его
стороны.
Пусть дан треугольник ∆BC с соответствующими сторонами a, b, c.
Найдите медиану B треугольника ∆АВС. Отложим отрезок D на
продолжении медианы В, равный В. Соединим точки А, и С.
Получившийся четырехугольник параллелограмм по признаку
(диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам). Применим следствие из теоремы косинусов для
параллелограмма:
AC
2
+BD
2
=2AB
2
+2BC
2
Значит, (2m
b
)
2
+ b
2
=2с
2
+2a
2
или 4m
b
2
=2с
2
+2а
2
- b
2
Запишем аналогичные формулы для других медиан треугольника:
Используя формулы, запишите решение следующих задач самостоятельно. Учитель
проходит и контролирует решение учащихся
1. В треугольнике ∆BC известны стороны B=3,
BC=4, C=6. Найдите длину медианы F.
Решение:
4F
2
=2AB
2
+2AC
2
-BC
2
4F
2
=18+72-16=74
Ответ:
2. В треугольнике ∆BC известны стороны B=27,
BC=29. Найдите длину третьей стороны, если медиана,
проведенная к ней равна BD=26.
Решение:
4BD
2
=2AB
2
+2BC
2
-AC
2
426
2
=2
Ответ:
3. Решение задачи на доске.
Длины двух сторон треугольника равны 6 и 8. Медианы,
проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны.
Найдите длину третьей стороны.
Решение:
∆C – прямоугольный, - медиана, проведенная из
вершины прямого угла. Тогда по свойству медианы
прямоугольного треугольника =x; C=2x; B=3x
(медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1
считая от вершины).
По формуле медианы 4B
2
=2B
2
+2BC
2
-C
2
36x
2
=72+128-4x
2
; 40x
2
=200
x=
, то C=2
Ответ: 2
3. Вывод формулы вычисления стороны треугольника, если известны все его
медианы.
Можно ли найти сторону треугольника, если известны
все ее медианы? Выведем формулу для вычисления
стороны треугольника по ее медианам. Для этого
воспользуемся опять дополнительным построением.
Учащийся у доски выводит формулу.
Какое дополнительное построение будем проводить?
Какой многоугольник получили и почему?
Какую теорему будем применять?
Применим следствие из теоремы косинусов для параллелограмма ОCD:
ОD
2
+C
2
=2О
2
+2CО
2
Используя свойство медианы имеем:
(
)
2
+b
2
=2(
Учащиеся записывают аналогичные формулы для других сторон треугольника
Используя формулы, запишите решение задачи самостоятельно:
В треугольнике АВС сторона АС равна 20, а медианы ,
проведенные к другим сторонам равны 18 и 24
соответственно. Найдите третью медиану треугольника.
Решение:
BD
2
=900; BD=30
Ответ: 30.
Метод дополнительного построения используется и при решении задач.
Найдите площадь остроугольного треугольника
АВС, если известно, что ВАС = 45
о
, АВ=4
, а
медиана АМ=
.
Решение:
Отложим отрезок MD=AM и достроим до
параллелограмма ABDC (ABDC параллелограмм по
признаку.
=135
о
,
ABD (по теореме косинусов):
AD
2
=AB
2
+BD
2
-2AB BD
116=32+BD
2
+8BD
BD
2
+8BD-84=0
BD=6
BD=AC
S=
=12.
Ответ: 12.
4. Подведение итогов урока:
• Какие новые формулы изучили на уроке?
• Какой метод применяли для доказательства теорем и решения задач?
5. Домашнее задание:
1. Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны
3 и 4, а медиана проведенная к третьей стороне равна 2,5.
2. Найдите площадь остроугольного треугольника АВС, если известно, что
АВ=6
,
, а медиана АМ=
.
3. Докажите, что
Математика - еще материалы к урокам:
- Тестовые задания "Размерные признаки фигуры"
- План-конспект урока "Десяток. Счет десятками до 100" 2 класс
- Открытое занятие "Путешествие в математическую страну"
- Презентация "Закрепление таблицы умножения и деления" 3 класс
- Конспект урока "Деление на 2, на 3. Таблица умножения" 2 класс
- НОД "Порядковый счёт до 10. Число 5. Дни недели"
