Презентация "Первообразная функции на отрезке"

Первообразная

функции

на отрезке.

Дифференциал функции

Т

Функция f дифференцируема в точке х в том и только в том случае, когда существует предел

В этом случае , где

Для функции х производная равна 1, поэтому ее дифференциал равен h, dx=h. Поэтому принято вместо h писать dx. При этом формула дифференциала функции принимает вид: df = f’(x)dx.

Слагаемое f’(x)h называют дифференциалом функции f

и обозначают df.

Таким образом, df = f’(x)h.

Формулы для производных и дифференциалов

f α

αf α -1

αf α -1dx

-asin(ax)

-asin(ax)dx

tg(ax)

df = f’(x)dx

Примеры

d(x3) = 3x2dx

d(5x6 +6)=30x5dx

Пример

Пусть скорость V движения точки в момент времени t равна 2t. Найти выражение для координаты точки в момент времени t (точка движется по прямой).

Известно, что

С- произвольная константа

Первообразная

Задача

Дана функция f (графически или аналитически) на некотором промежутке I. Существует ли такая функция F, что

df. Функцию F, заданную на некотором множестве Х, называется первообразной для функции f, заданной на том же промежутке, если для всех выполняется равенство

Важные примеры из дифференциального

исчисления

f

F

sinα

-cosα

cosα

sinα

tgx

ctgx

Вопрос

1. Для каких функций существует первообразная?

Ответ

Т1

Если функция , то она имеет первообразную

2. Если существует первообразная, то сколько их?

Т2

1. Если функция f имеет на первообразную F, то для любого числа С функция F+C также является первообразной для f.

F- первообразная функции f, тогда

то есть F+C также является первообразной для f.

Т2

2. Если F1 и F2 – две первообразные

функции f на некотором промежутке , то они отличаются на постоянное слагаемое, то есть F2=F1+C.

По условию теоремы

следовательно, существует постоянная С, такая, что F2=F1+C.

Cл

1. , где F’(x)=f(x) есть множество всех первообразных для f.

2. F1, F2 - первообразные для f. Тогда ГF1 и ГF2

получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.

Задача

Учебник, №2 1)

Проверьте, что функция F является первообразной для функции f, если

df. Функцию F, заданную

на некотором множестве Х,

называется первообразной

для функции f, заданной на

том же промежутке, если

для всех

выполняется равенство