Ученики на Учителя.com


Урок алгебры "Примеры комбинаторных задач" 9 класс

ПРИМЕРЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ
Урок алгебры в 9 классе, учитель Султангареева Лидия Актариевна.
Цели:
• Образовательные:
- ввести понятие комбинаторной задачи, рассмотреть задачи с учетом и без
учета порядка; формировать умения решать комбинаторные задачи полным
перебором вариантов, а также с помощью графов;
- подготовка к итоговой аттестации.
• Развивающие:
- активизировать познавательную деятельность учащихся;
- с помощью решения задач исследовательского характера развивать
интеллектуальные качества личности школьника: самостоятельность,
обобщение, быстрое переключение;
- способствовать формированию навыков самостоятельной работы.
• Воспитательные:
- показать необходимость знания математики при решении жизненных,
исторических задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
- Здравствуйте, ребята!. Садитесь, пожалуйста. Сегодняшний урок я хотела
бы начать словами А.С. Пушкина:
«О, сколько нам открытий чудных….
Готовит просвещенья дух,
И опыт, - сын ошибок трудных,
И гений, - парадоксов друг»
Я хочу, чтобы наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта и
хорошего настроения.
- Итак, ребята, тема нашего сегодняшнего урока (слайд 1).
- Сообщение цели урока.
II. Актуализация знаний.
Решить старинную задачу VIII века:
ВОЛК, КОЗА И КАПУСТА
Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и
капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или
коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест
козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии
человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?
При решении этой задачи учащиеся комбинируют разные сочетания,
оценивают варианты, получают следующее решение:
(слайд 2)
III. Объяснение нового материала.
В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся
элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных
комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи
называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением
этих задач, называется комбинаторикой (от лат. combinare, которое означает
«соединять, сочетать»). (слайд 3-5)
Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким
философом, математиком Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой
труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». (слайд 6)
С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности,
когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время
охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды,
шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. В
дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались
биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом
изменилась с применением компьютеров: она превратилась в область,
находящуюся на магистральном пути развития науки.
П р и м е р ы к о м б и н а т о р н ы х з а д а ч.
Рассмотрим примеры, разобранные на с. 171–172 учебника. При этом
обратим внимание учащихся, что в первой задаче в комбинациях нам не важен
порядок элементов, а во второй задаче порядок элементов следует учитывать.
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении этих задач,
называется перебором возможных вариантов. Смысл этих упражнений в том,
чтобы показать учащимся преимущества организованного, систематического
перебора вариантов. Не нужно перечислять числа произвольно, по принципу
«что придет на ум». Нужна система: фиксируем один элемент и начинаем
перебирать оставшиеся, анализируем и т.
Познакоими с некоторыми приемами решения комбинаторных задач: (слайд 7)
• решение методом перебора;
• решение с помощью дерева возможных вариантов;
• решение с помощью комбинаторного правила умножения;
• решение с помощью графов.
Демонстрируем ученикам преимущества наглядного представления
комбинаций с помощью графов – полных либо графа-дерева.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке при решении задач следует особое внимание уделить анализу
условий: является ли задача на комбинацию с учетом или без учета порядка
элементов, как удобнее изобразить решение: с помощью графа или простым
перечислением (полным перебором).
Решить № 715 на доске и в тетрадях.
В этой задаче не учитывается порядок элементов. Можно осуществлять
перебор как в примере 1, а можно наглядно переставить в виде графа:
В – Вера
З – Зоя
М – Марина
П – Полина
С – Светлана
Ребра графа показывают связь в парах, таких ребер 10, значит, всего 10
вариантов выбора подруг. (слайд 8-9)
З а д а ч а. В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых
блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все
возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ, построив
дерево возможных вариантов. (слайд 10)
Р е ш е н и е
Первое
блюдо
Второе
блюдо
Варианты
обеда
щ – р – к (1)
щ – р – ч (2)
щ – г – к (3)
щ – г – ч (4)
щ – п – к (5)
щ – п – ч (6)
б – р – к (7)
б – р – ч (8)
б – г – к (9)
б – г – ч (10)
б – п – к (11)
б – п – ч (12)
О т в е т: 12 вариантов.
рыба
компот
чай
щи
гуляш
компот
чай
обеды
плов
компот
чай
рыба
компот
чай
борщ
гуляш
компот
чай
плов
компот
чай
Решить № 716 самостоятельно с последующей проверкой
В этой задаче при выборе пар входов порядок выбора имеет значение: АВ
означает, что посетитель вошел через А, а вышел через В, а ВА означает, что
вошел через В, а вышел через А.
Фиксируем каждый вход по очереди и дописываем к нему в пару
оставшиеся:
А: АВ, АС, АD;
В: ВА, ВС, ВD;
С: СА, СВ, СD;
D: DA, DB, DC.
Итого – 12 вариантов.
Решить №. 718, № 720 с комментированием на месте. (слайд11)
При решении этих задач следует обратить внимание учащихся, что если мы
из цифр составляем двузначное (трехзначное) число, то нуль не может стоять на
первом месте.
Решим аналогичную задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7,
так чтобы цифры не повторялись. (слайд 12)
Мы нашли ответ на вопрос, используя так называемое комбинаторное
правило умножения. (слайд 13-14)
Решить № 717 самостоятельно. Заметим, что для указания способа раскладки
яблок в две вазы достаточно указать способ заполнения одной вазы, поскольку
все, что не попадает в первую вазу, попадает во вторую.
Вообще, во всех случаях, когда п элементов нужно разбить на 2 группы, при
подсчете количества способов разбиения достаточно подсчитать число способов
формирования одной половины.
З а д а ч а. У Куклы Светы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету.
Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светы?) (слайд 15)
V. Итоги урока. (слайд 16)
6) В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие задачи называются комбинаторными?
– Приведите примеры ситуаций выбора комбинаций с учетом и без учета
порядка элементов.
– В чем сущность способа полного перебора вариантов?
– Из чего состоит граф (граф-дерево) возможных вариантов?
Домашнее задание: п. 30, № 714, № 719, № 721, № 727 стр. 174-175 (слайд
17-18)
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: