Презентация "Элементы комбинаторики. Решение комбинаторных задач"
Подписи к слайдам:
- Выполнила Арсибекова Ольга Ивановна
- учитель математики
- Задача № 1. Из цифр 2, 4, 7 следует составить трехзначное число, в котором ни одна цифра не может повторяться более двух раз. Сколько всего таких чисел можно составить?
- Решение.
- 1 способ. Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 2: 224, 227, 242, 272, 244, 277, 247, 274 – 8 чисел.
- Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 4: 442, 447, 424, 474, 422, 477, 427, 472 – 8 чисел.
- Найдем количество всех трехзначных чисел, которые начинаются с цифры 7: 772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742 – 8 чисел.
- Ответ. 24 числа.
- 2
- 2
- 4
- 7
- 22
- 24
- 27
- 4
- 7
- 224
- 227
- 2
- 4
- 7
- 242
- 244
- 247
- 2
- 4
- 7
- 272
- 274
- 277
- Всего 8чисел
- Мы составили дерево возможных вариантов трехзначных чисел, где на первом месте стоит цифра 2. Составим дерево возможных вариантов для трехзначных чисел, где на первом месте стоит цифра 4, получим 8 чисел и для трехзначных чисел, где на первом месте стоит цифра 7, тоже 8 чисел. Всего 24 числа.
- Задача № 2. «Этот вечер свободный можно так провести…»: пойти погулять к реке, на площадь или в парк и потом пойти в гости к Вити или к Вике. А можно остаться дома, сначала посмотреть телевизор или почитать книжку, а потом поиграть с братом или разобраться у себя на письменном столе. Сколько всего вариантов существует для проведения данного вечера.
- Решение.
- вечер
- прогулка
- дом
- река
- площадь
- парк
- Витя
- Вика
- Витя
- Вика
- Витя
- Вика
- ТВ
- книга
- брат
- стол
- брат
- стол
- Всего 10 вариантов
- Задача № 3 На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?
- Решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 12 вариантов завтрака
- Решение.
- Каждый из пяти юношей может пригласить любую из восьми девушек.
- Поэтому различных танцевальных пар можно составить 5 ∙ 8 = 40.
- Выполненные при решении этих задач рассуждения опираются на следующее утверждение.
- Ответ. 40 танцевальных пар.
- Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.
- Решение
- На первое место можно поставить только одну цифру – 3
- На второе место можно поставить любую из трёх: 4, 6 или 8
- На третье место можно поставить любую из двух оставшихся цифр
- На четвертое место можно поставить одну оставшуюся цифру
- Используя правило умножения получаем 1∙3∙2∙1=6
- Ответ. В
- Решение
- Все числа состоят из одних и тех же цифр, значит сумма цифр каждого числа одинаковая и равна 2+4+6+8= 20.
- Выясним сколько таких четырехзначных чисел существует.
- На первое место можно поставить любую из четырех данных цифр.
- На второе место любую из трёх оставшихся цифр.
- На третье место любую из двух оставшихся цифр.
- На четвёртое место одну оставшуюся цифру.
- По правилу умножения получаем 4∙3∙2∙1=24 числа.
- Сумма цифр 24 чисел составляет 24∙20=480.
- Ответ Б.
- Решение
- Применим правило умножения: девочку можно выбрать 15 способами,
- мальчика – 10 способами,
- пару мальчик – девочка – 15 ∙ 10 = 150 способами.
- Ответ. 150
- Решение
- На первое место можно поставить любую из 10 команд,
- на второе – любую из 9 оставшихся,
- на третье – любую из 8 оставшихся.
- По правилу умножения общее число способов, которыми можно распределить три места, равно 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720.
- Ответ. 720.
- Решение
- Урок чтения можно поставить на любой из четырёх уроков,
- Урок физкультуры – на любой из трёх оставшихся.
- После этого для двух уроков математики останется единственный вариант поставить их в расписание.
- По правилу умножения общее число способов составить расписание на среду равно 4 ∙ 3 = 12.
- Ответ. 12.
- Решение.
- Каждый из 30 участников конференции раздал 29 карточек.
- Значит, всего было роздано 30 ∙ 29 = 870 карточек.
- Ответ. 870.
- Решение
- На первое место можно поставить любую из цифр, кроме нуля, - это 3 варианта ;
- на второе место – любую из 4 цифр и
- на третье – тоже любую из 4 цифр.
- По правилу умножения общее количество вариантов равно 3 ∙ 4 ∙ 4 = 48.
- Ответ. 48.
- Решение
- Первое блюдо можно выбрать 2 способами,
- второе блюдо – 4 способами и
- третье блюдо – 3 способами.
- По правилу умножения общее количество вариантов равно 2 ∙ 4 ∙ 3 = 24.
- Ответ. 24.
- Задача № 1. В семье шесть человек, а за столом в кухне шесть стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти шесть стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?
- Решение
- Предположим, что первой садится бабушка. У нее имеется 6 вариантов выбора стула.
- Вторым садится дедушка и независимо выбирает стул из 5 оставшихся
- Мама делает свой выбор третьей, и выбор у нее будет из 4 стульев
- У папы будет уже 3 варианта, у дочки – 2, ну а у сын сядет на единственно незанятый стул.
- По правилу умножения имеем 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 .
- Ответ. 720 дней.
- Определение. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал»: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙…∙ (n-1) ∙ n.
- Задача № 2. В 9 «А» классе в среду семь уроков: алгебра, геометрия, литература, русский язык, английский язык, биология и физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить на среду?
- Решение
- Для алгебры – 7 вариантов.
- Для геометрии – 6 вариантов.
- Для литературы – 5 вариантов и т. д.
- По правилу умножения получаем: 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 7! = 5040.
- Ответ. 5040.
- Определение. Перестановкой называется множество из n элементов, записанных в определённом порядке.
- Теорема о перестановках элементов конечного множества:
- n различных элементов можно расставить
- по одному на n различных мест ровно
- n! способами.
- Рn=n!
- Решение
- Используя теорему о перестановках имеем:4-е друга могут занять по одному 4-е различных места ровно
- 4! способами.
- Pn = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
- Ответ. 24 способа
- Решение
- Используя теорему о перестановках имеем:4-е различные буквы можно записать по одной около 4-ех различных вершин многоугольника ровно 4! способами.
- Pn = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
- Ответ. 24 способа
- Решение
- Т.к. числа должны быть нечётными, то на последнем пятом месте может быть только нечётная цифра – это 1.
- Осталось 4-е цифры(2, 4, 6, 8) и 4-е разряда.
- Используя теорему о перестановках имеем: Pn = 4! = 24
- Ответ. 24 числа.
- Решение
- Т. к. числа должны быть чётными, значит на последнем пятом месте должна стоять чётная цифра – это 2 или 4.
- Найдем сколько пятизначных чётных чисел, которые оканчиваются цифрой 2.
- Осталось 4-е цифры(1, 3, 4, 5) и 4-е разряда. Применяя теорему о перестановках имеем: Pn = 4! = 24 числа.
- Рассуждая аналогично, получим, что пятизначных чётных чисел, оканчивающихся цифрой 4, тоже 24.
- Получаем: 24 + 24 = 48.
- Ответ. 48 чисел.
- Задача. Сколькими способами можно записать двузначных чисел с помощью цифр 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр?
- Решение
- Решим эту задачу, используя правило умножения.
- В записи двузначного числа на первом месте может стоять любая из данных четырёх цифр, а на втором – любая из трёх оставшихся.
- По правилу умножения таких двузначных чисел: 4 ∙ 3 = 12
- Ответ. 12 чисел.
- При решении задач из 4-ёх данных элементов (цифр 1, 2, 3, 4) были образованы всевозможные соединения по 2 элемента в каждом, причём любые два соединения отличались либо составом элементов (например, 12 и 24), либо порядком их расположения (например, 12 и 21).
- Такие соединения называются размещениями.
- Определение. Размещениями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.
- Число всевозможных размещений из m элементов по n элементов обозначают
- Формула для вычисления:
- =
- m!
- (m-n)!
- Решение
- Задача сводится к нахождению числа размещений из 20 элементов по 3 элемента в каждом.
- Используя формулу для вычисления числа размещений имеем
- Ответ. 6840
- Решение
- Найдем число размещений из 9 элементов по 6 элементов в каждом.
- Применяя формулу получаем:
- Ответ. 60480
- Решение
- Задача опять сводится к нахождению числа размещений из 6 элементов по 4 элемента.
- Получаем:
- Ответ. 360
- Решение
- Для того, чтобы ответить на вопрос задачи найдем число размещений из 30 элементов по 2 элемента в каждом.
- Ответ. 870
- Решение
- Найдем размещения из 10 элементов по 3 элемента в каждом.
- Ответ. 720
- Задача. Из пяти шахматистов для участия в турнире нужно послать двух. Сколькими способами это можно сделать?
- Решение
- Из пяти шахматистов можно составить пар.
- Но из этих пар надо выбрать те, которые отличаются составом участников, но не их порядком.
- Таких пар в 2 раза меньше, т.е.
- Ответ. 10 способов.
- При решении задач из пяти человек были образованы соединения по 2, которые отличаются только составом пар.
- Такие соединения называются сочетаниями.
- Определение. Сочетаниями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.
- Число всевозможных сочетаний из m элементов по n элементов обозначают
- Формула для вычисления:
- =
- m!
- (m-n)!
- n!
- Решение
- Создание групп из трех человек без учета их порядка расположения является сочетанием.
- Используя формулу находим
- Ответ. 84 способа.
- Решение
- Составление пар из числа девочек без учета их порядка расположения – есть сочетание.
- Мальчика можно выбрать 4 способами.
- Используя правило умножения, получаем
- 4 ∙ 15 = 60
- Ответ. 60 вариантов.
- Решение
- Выбор 2 яблок из 5(порядок не важен) – сочетания.
- Выбор 2 апельсинов из 6(порядок не важен) – сочетания.
- По правилу умножения – 10 ∙ 15=150.
- Ответ. 150 способов.
- Решение
- Найдем сколько различных вариантов выбора мячей.
- Найдем сколько различных вариантов выбора кубиков.
- Найдем сколько различных вариантов выбора скакалок.
- 3 ∙10 ∙ 6 = 180. Ответ. А
Математика - еще материалы к урокам:
- Презентация "Отношение двух чисел" 6 класс
- Презентация "Рефлексия на уроках математики"
- Презентация "10 способов решения квадратных уравнений" 8 класс
- Контрольная работа "Числа в пределах 100. Устные приемы сложения и вычитания с переходом через десяток" 2 класс
- Контрольная работа "Классы и разряды" 2 класс
- Контрольная работа "Измерение величин" 2 класс
