Презентация "Решение комбинаторных задач"

Перешивкина Анна Юрьевна

ГБОУ школа №494 г. Санкт – Петербурга

учитель математики

Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают

3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?

9

способов

Задача №1.

Правило суммы

Это важно

Важно помнить, что выбирается не просто красная, белая или желтая роза, а одна конкретная роза: эта красная или эта белая, или эта желтая роза.

Правило суммы

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В – m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

A – n способов

В – m способов

А или В – (n + m)способов

Вернуться к решению задачи №3

Задача №2.

В столовой есть 2 первых блюда и 3 вторых. Сколько различных вариантов обеда из 2 блюд можно заказать?

Первое блюдо:

Второе блюдо:

3 + 3 =

Правило произведения

2 ∙ 3 = 6 способов

2

3

Правило произведения

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В – m способами, то пару А и В можно выбрать n ∙ m способами.

A – n способов

В – m способов

А и В – (n ∙ m)способов

Вернуться к решению задачи №3

На блюде лежат 8 яблок, 3 груши и 4 апельсина.

Задача №3.

Правило суммы

а) Сколькими способами можно взять один плод?

8 + 3 + 4 = 15 способов

б) Сколькими способами можно взять:

• яблоко с грушей
• яблоко с апельсином
• грушу с апельсином
• яблоко, грушу и апельсин

Правило произведения

8 · 3 = 24 способа

8 · 4 = 32 способа

3 · 4 = 12 способов

Выбирается 1 плод.

Выбирается 2 или 3 плода.

8 · 3 · 4 = 96 способов

На блюде лежат 8 яблок, 3 груши и 4 апельсина.

Задача №3.

в) Сколькими способами можно взять два фрукта

с разными названиями?

Применяются оба правила.

Правило произведения

Правило суммы

Выбирается пара.

Пара рассматривается

как единое целое.

8 · 3 + 8 · 4 + 3 · 4 = 24 + 32 +12 = 68 способов

И пакетике драже лежат 9 красных, 10 синих

и 12 зеленых конфет.

Задача №4.

Самостоятельная работа.

а) Сколькими способами можно взять 1 конфету?

б) Сколькими способами можно взять:

в) Сколькими способами можно взять две конфеты разного цвета?

Проверка(5)

а) 9 + 10+ 12 = 31способ

б) 9 · 10 = 90 способов

9 · 12 = 108 способов

10· 12 = 120 способов

в) 9 · 10 + 9 · 12 + 10 · 12 = 318 способов

• красную и синюю конфеты

• красную и зеленую конфеты

• синюю и зеленую конфеты

Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться.

Задача №5.

1 способ (перебор)

1

7

4

11

14

17

41

44

47

71

74

77

Ответ: 9 чисел

Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться.

Задача №5.

2 способ (построение дерева различных вариантов)

4

7

4

1

1

7

1 цифра

2 цифра

4

1

7

4

1

7

Ответ: 9 чисел

11

14

17

41

44

47

71

74

77

Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться.

Задача №5.

3 способ (использование формулы)

Ответ: 9 чисел

двузначное число

3 · 3 = 9 чисел

2цифра числа

(три выбора)

1 цифра числа

(три выбора)

Сколько различных трехзначных чисел можно составить используя цифры

3 и 5, если цифры могут повторяться? (задачу решить 3 способами)

Задача №6.

Самостоятельная работа.

Проверка (3)

1 способ

(перебор)

333

335

355

555

553

533

353

535

2 способ

(дерево различных вариантов)

Ответ: 8 чисел

3

5

3

5

3

5

3

5

5

3

3

5

5

3

3 способ

(формула)

2 · 2 · 2 = 8 чисел

Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры

0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться.

Задача №7.

Ответ: 12 чисел

двузначное число

3 · 4 = 12 чисел

2 цифра числа (четыре выбора : 0,1,2,3)

1 цифра числа

(три выбора: 1,2,3)

Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры

4, 5, 6?

Задача №8.

Ответ: 6 чисел

трехзначное число

3 · 2 · 1= 6 чисел

2 цифра числа

(два выбора)

1 цифра числа

(три выбора: 4,5,6)

3 цифра числа

(один выбор)

Определение

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториал и обозначается символом n!

3 · 2 · 1= 3! = 6 чисел

n! = 1 · 2 · 3 · … · n = n!

0! = 1

Комбинаторика – это раздел математики,

посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами…

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения математических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Историческая справка

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков XVII века Блеза Паскаля и Пьера Ферма, хотя отдельные понятия и факты комбинаторики были известны ещё математикам античности и средневековья. С 50-х годов XX века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Блез Паскаль

1623-1662

Пьер Ферма

1601-1665

• Смыкалова Е. В. Дополнительные главы по математике для учащихся

5 класса. СПб: СМИО Пресс, 2012

• Книга для учителя. Сборник уроков математики / Смыкалова Е.В., редактор составитель – СПб, СМИО Пресс, 2007

Чекалина И.П. разработка урока по теме: «Комбинаторика»

Список литературы:

Титульный лист: http://www.mathpages.com/HoME/icombina.htm

Слайд 2: http://pzvezda.ru/alye-rozy-pesnya.html ; http://alfadogy.ru/dizaine/1811-fotostok-cvety-rozy-krasnye-i-alye;

http://mirgif.com/malenkie-animacionnye_kartinki-cvety.htm ; http://teakai.ru/photo/rozy_animacija/4-2-0-0-2 ;

http://www.liveinternet.ru/users/4702264/post235083852/ ; http://www.nn-service.ru/cgi-bin/flowers.pl ;

http://www.sevdaselim.net/forums/religious-information-dini-bilgiler/52600.htm; http://blogs.germany.ru/680512/10430453.html ;

http://www.lenagold.ru/fon/clipart/r/roza/gelt.html.

Слайд 3: http://900igr.net/fotografii/matematika/Summa-i-raznost-kubov/002-Ustno.html

Слайд 4: http://capacitacionenlinea.cl/css/%D1%81%D1%83%D0%BF-%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D0%BD%D0%BA%D0%B0-%D0%BC%D1%8F%D1%81%D0%BD%D0%B0%D1%8F; http://allrecipe.ru/sup_view-1_8.htm ; http://rus-eda.ru/ryba-zapechennaya/ ;

http://donduet.gold.dn.ua/catalog/18/16810/page17814.html ; http://veillant.ru/salaty/8487-calat-po-francuzski-s-myasom.html .

Слайд 6: blestiashky.narod.ru ; kartiny.ucoz.ru ; http://mirgif.com/animacija/apelsiny.gif .

Слайд 8: http://radikale.ru/data/upload/05615/04012/cb20f41586.gif

Слайд16: http://hoster.bmstu.ru/~fn1/?page_id=82

Список источников иллюстраций: