Презентация "Решение уравнений с параметром"

Решение уравнений с параметром Учитель математики МБОУ СОШ№33 Юревич Н.А. г.Белгород Содержание

• Линейные уравнения с параметром
• Квадратные уравнения с параметром
• Экзаменационные задания из материала ГИА.
• Экзаменационные задания из материала ЕГЭ.

Линейное уравнение

Линейным уравнением с параметром относительно х называют уравнение вида

ax-b=0,

где a и b – некоторые выражения, зависящие только от параметра, а х – неизвестное.

Линейное уравнение с параметром приводят к виду ax=b.

При а≠0 оно имеет единственное решение x= ,

при а=0 и b=0 его решением является любое число;

если же а=0,а b=0,то уравнение решений не имеет.

Пример 1.

Для всех значений параметра а решить уравнение 2а(а — 2) х=а — 2.

Решение:. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, необходимо решить уравнение при следующих значениях параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2

Рассмотрим эти случаи.

 

• При а=0 уравнение принимает вид 0 х= — 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения получаем, х=

Откуда x=

0 т в е т: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2, то х — любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х=

.

Пример2. Решить уравнение ax-4=6a-3x.

Решение.

Приведем уравнение к виду ax=b.

(а+3)x=6а+4.

При a ≠-3 мы получим

-.

При а=-3 уравнение х(а+3)=6а+4 примет вид : 0*х=-14.

Очевидно, что оно решений не имеет.

Ответ: при а=-3 корней нет;

при

Пример 3 Для всех значений параметра а решить уравнение. Решение: Запишем уравнение в стандартном виде . Если , т.е. , то имеем 0 * Х = 0, решением является множество действительных чисел: 2. Если , то Ответ: Если , то , Если , то х=-4. Пример4 . Решите уравнение . Решение: По смыслу задачи (5a+x)(x-5a) ≠ 0, то есть х ≠ ± 5а. Умножив обе части уравнения на произведение (5a+x)(x-5a), получим уравнение Или . При а=0 уравнение примет вид 0*х=0, решением которого будет любое число, кроме нуля (так как х ≠ ± 5а). При а ≠ 0 имеем х=5а. Этот корень попадает под ограничение х ≠ ± 5а. Ответ: при а=0 уравнение имеет бесконечно много решений – все действительные числа, кроме нуля; При любом а(-∞;0)U(0;+∞) решений нет. В меню Далее Квадратные уравнения с параметром. Известно, что уравнение называется квадратным только в случае а≠0. Однако решение таких уравнений очень часто начинают с нахождения дискриминанта. Это неверно! В качестве коэффициента при может быть выражение с параметром. А оно вполне может быть равным нулю, и данное уравнение квадратным не будет, получится линейное уравнение. Поэтому, решая квадратное уравнение с параметром, необходимо первым делом смотреть на коэффициент при . Если этот коэффициент – выражение с параметром, то нужно отдельно выделить случай, когда оно равно нулю, и решить получившееся линейное уравнение. Пример1. Решить уравнение: Решение. «Особо» нужно выделить значение а=0, так как при таком а уравнение линейное, а при остальных – квадратное, а также необходимо выяснить, при каких а дискриминант трёхчлена положителен, отрицателен, равен 0 . Таким образом, при а=0 – одно решение х=0, при а≠0 – два решения Ответ: При a=0, x=0; при а≠0 . Пример 2. Решить уравнение ax=x2+3 Решение: Корней нет Ответ:1)при 2) при 3)при уравнение не имеет решений Пример3. Найдите число решений уравнения . Решение. Следует заметить, что бывает полезно сначала преобразовать уравнение, а потом его исследовать, например, графически. Имеем Положим . Тогда имеем систему Далее рассмотрим графики На рисунке приведены пять различных случаев. Два из них очевидны. Если a<0, то решение одно. Если a=0, то точек пересечения двух графиков – две. Но одна из них – (0;0), что по условию задачи не подходит в качестве решения. Следовательно, при a=0 снова имеем единственное решение. Пусть теперь a>0. Тогда, очевидно, надо найти ординату вершины А( ), . Тогда можно получить полный ответ: если a≤0, то n=1; если 0<a<1, то n=3; если a=1,то n=2; если a>1, то n=1. .Ответ: если a≤0, то n=1; если 0<a<1, то n=3; если a=1,то n=2; если a>1, то n=1. В меню Далее Экзаменационные задания из материала ГИА. Пример 1. (Базовый уровень)Определите ненулевые коэффициенты p и q квадратного уравнения так, чтобы его корни были равны p и q. Решение Из т. Виета следует Пусть , где p≠0, q≠0 (из условия). Ответ: p=1; q=-2. Пример 2.(Повышенный уровень) Часть2. Найдите все значения m, при которых парабола имеет с прямой x + my - 1=0 одну – единственную общую точку . Решение Так как парабола и прямая имеют общую точку, следовательно, получится уравнение или Начнём решение данного уравнения с «вырожденного случая» m=0: уравнение примет вид 1*х=0, его корень х=0. При D=0, квадратное уравнение имеет единственное решение. Решим уравнение Вывод: при - парабола и прямая имеет одну – единственную общую точку. Ответ: при m=0, m=-1, m= парабола и прямая имеет одну – единственную общую точку. Пример 3.(Повышенный уровень) Часть2. Определите количество корней уравнения при всех положительных значениях параметра а. Решение Следует заметить, что бывает полезно сначала преобразовать уравнение, а потом его исследовать, например, графически. ,а>0 Далее рассмотрим графики у= и y=a. На рисунке приведены три различных случая 4 решения при а 3 решения при а=7; 2 решения при а>7. Ответ: 4 решения при а 3 решения при а=7; 2 решения при а>7. В меню Экзаменационные задания из материала ЕГЭ. Пример 1.Укажите наибольшее значение параметра а, при котором уравнение имеет ровно три решения Решение :В одной системе координат aох построим графики функций Получили, что при а=4 уравнение имеет три решения. Ответ: при а=4 уравнение имеет три решения. Пример 2. . Найдите значение параметра а, при котором уравнение имеет единственное решение. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму. Решение: В одной системе координат аох построим графики функций Получили, что при а=-0,5 и а=-1,5 уравнение имеет единственное решение. -0,5+(-1,5)=-2 Ответ: -2. В меню

СПАСИБО

ЗА ВНИМАНИЕ!!!