Ученики на Учителя.com


Практическое занятие №1 "Операции над матрицами. Вычисление определителей"

Практическое занятие №1
Наименование занятия: Операции над матрицами. Вычисление определителей
Цель занятия: Научиться выполнять действия с матрицами, вычислять определители.
Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Матрицы и
определители».
Литература:
1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.
Задание на занятие:
1. Даны матрицы
−
−−
=
013
752
А
и
−
=
504
483
В
. Найти матрицу С = 5А – 2В.
2. Даны матрицы
−
=
32
15
А
и
=
10
02
В
. Найти матрицу С = А
Т
·В.
3. Даны матрицы
−
=
173
103
112
210
А
и
=
01
12
13
В
. Найти матрицу С = А·В.
4. Даны матрицы
=
321
212
121
А
и
. Найти матрицу С = А·В – В·А.
5. Вычислить определитель
170
023
005
−
.
6. Вычислить определитель
341
123
211−
.
7. Вычислить определитель
8512
6514
1412
4191
−
−−
−
.
Порядок проведения занятия:
1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.
Содержание отчета:
1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы для зачета:
1. Что называется матрицей?
2. Что называется суммой матриц?
3. Что называется произведением матрицы на число?
4. Какая матрица называется транспонированной к матрице А?
5. Как найти произведение двух матриц?
6. В чем состоит обязательное условие существования произведения матриц?
7. Что называется определителем матрицы?
8. Какие способы вычисления определителей вам известны?
ПРИЛОЖЕНИЕ
Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица
чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами
матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на
пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a
ij
, где i- номер
строки, а j- номер столбца.
А =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
31
22221
11211
Транспонированной к матрице А называется матрица
T
A
, у которой строки и
столбцы меняются местами.
Например, А =
− 241
142
301
, A
T
=
−
213
440
121
;
Действия с матрицами
1) Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу
( )
ij
aA =
на число
, нужно каждый элемент матрицы
A
умножить на это число:
( )
ij
aA
=
.
2) Сложение матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк
и столбцов, т.е. матрицы одинаковых размеров. Суммой матриц
( )
ij
aA =
и
( )
ij
bB =
называется матрица
( )
ij
cC =
, элементы которой равны суммам соответствующих
элементов матриц
A
и
B
, т.е.
ijijij
bac +=
для любых индексов i, j.
Пример. Даны матрицы А =
323
412
321
; B =
421
875
431
, найти 2А + В.
2А =
646
824
642
, 2А + В =
1067
1699
1073
.
3) Умножение матриц. Произведение матрицы
A
на матрицу
B
(обозначается
AB
)
определено только в том случае, когда число столбцов матрицы
A
равно числу строк
матрицы
B
. В результате умножения получим матрицу
ABC =
, у которой столько же
строк, сколько их в матрице
A
, и столько же столбцов, сколько их в матрице
B
.
Пример. Найти произведение матриц А =
3
4
1
и В =
( )
142
.
АВ =
3
4
1
( )
142
=
=
3126
4168
142
134323
144424
114121
.
ВА =
( )
142
3
4
1
= 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример. Найти произведение матриц А=
( )
21
, В =
65
43
АВ =
( )
21
65
43
=
( )
124103 ++
=
( )
1613
.
Определители
Каждой квадратной матрице
A
может быть поставлено в соответствие некоторое
число, вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов матрицы. Такое
число называют определителем (или детерминантом) матрицы
A
и обозначают
символом
|| A
или
Adet
. При этом порядком определителя называют порядок
соответствующей матрицы.
Правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков легко выписать:
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
−=
,
312213332112322311322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−++=
Последнюю формулу, несмотря на внешнюю сложность записи, нетрудно запомнить. Если
соединить линией каждые три элемента определителя, произведение которых входит в
правую часть последней формулы со знаком «
+
», то получим легко запоминающуюся
схему 1. Аналогично для произведений, входящих со знаком «–», имеем схему 2.
Схема 1 Схема 2
Способы вычисления определителей:
1. Определитель можно вычислить, используя непосредственно его определение. Этим
способом удобно вычислять определители второго и третьего порядка.
2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки
или столбца.
3. Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Чтобы
получить треугольный определитель, нужно к какой-либо строке (или столбцу) заданного
определителя прибавлять соответствующие элементы другой строки (или столбца),
умноженные на одно и то же число, до тех пор, пока не придем к определителю
треугольного вида.
Пример. Вычислить определитель матрицы по правилу треугольников А =
−
113
320
121
=++−−−−=
−
+−
−
=− )2310()3310(2)3112(
13
20
1
13
30
2
11
32
1
113
320
121
= -5 + 18 + 6 = 19.
Пример. Вычислить определитель с помощью его разложения по элементам первой
строки.
3412
1230
2112
4301
−
−
= -1
412
230
112
4
312
130
212
3
341
123
211 −
−
−
+
−
Значение определителя: -1·10 + 3·2 – 4·10 = -44.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: