Дробно-линейная функция 9 класс

Дробно-линейная функция

Класс : 9

Функция у = и её график.

ЦЕЛИ:

1) ввести определение функции у = ;

2) научить строить график функции у = , используя программу Agrapher;

3) сформировать умение строить эскизы графиков функции у = , используя свойства

преобразования графиков функций;

4) научить читать графики функций у = .

I. Новый материал – развёрнутая беседа.

У: Рассмотрим функции, заданные формулами у = ; у = ; у = .

Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?

Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен

первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.

У: Такие функции принято задавать формулой вида

у = (1).

Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в) = .

(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их

выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу

(1)).

Д1: Если с = 0, то у = х + в – линейная функция.

Д2: Если = , то с = . Подставив значение с в формулу (1) получим:

= = = , то есть у = - линейная функция.

У: Функция, которую можно задать формулой вида у = , где буквой х обозначена незави-

симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с 0 и аd – вс 0,

называется дробно-линейной функцией.

Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.

Пример 1. Построим график функции у = . Выделим из дроби целую часть.

Имеем: = = = 1 + .

График функции у = +1 можно получить из графика функции у = с помощью двух

параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в

направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у = : прямая х = 0 (т.

е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем

строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1

(рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них

составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х<2.

-1

-2

-4

-10

-5

-2

-1

-0,5

0,5

2,5

1,6

Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых

записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь

гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы

(рис. 1б).

Пример 2. Построим график функции у = - .Выделим из дроби целую часть,

разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим = 2 + . Следовательно, у = -

-2.

График функции у = - -2 можно получить из графика функции у = - с помощью двух

параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты

гиперболы – прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы Agrapher) таблицы для х<-3

и для х>-3.

-2

-1

-6

-4

-3

-2,8

-2,4

-4

-5

-7

-8

-11

-1

-1,2

-1,5

Построив (с помощью программы Agrapher) точки в координатной плоскости и проведя через них

ветви гиперболы, получим график функции у = - (рис. 2).

У: Что является графиком дробно-линейной функции?

Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.

У: Как построить график дробно-линейной функции?

Д: График дробно-линейной функции получается из графика функции у = с помощью

параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции

симметричны относительно точки (- . Прямая х = - называется вертикальной асимптотой

гиперболы. Прямая у = называется горизонтальной асимптотой.

У: Какова область определения дробно-линейной функции?

Д: D(y) =

У: Какова область значений дробно-линейной функции?

Д: Е(у) = .

У: Есть ли у функции нули?

Д: Если х = 0, то f(0) = , d . То есть у функции есть нули – точка А .

У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?

Д: Если у = 0, то х = - . Значит, если а , то точка пересечения с осью Х имеет

координаты . Если же а = 0, в , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-

линейной функции не имеет.

У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на

промежутках всей области определения, если bc-ad < 0. Но это немонотонная функция.

У: Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения функции?

Д: Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

У: Какие прямые являются асимптотами графика дробно-линейной функции?

Д: Вертикальной асимптотой является прямая х = - ; а горизонтальной асимптотой – прямая y

= .

(Все обобщающие выводы-определения и свойства дробно-линейной функции учащиеся

записывают в тетрадь)

II. Закрепление.

При построении и “чтении” графиков дробно-линейных функций применяются свойства

программы Agrapher

1. Постройте график функции: а) у = (рис. 3а); б) у = (рис. 3б).

2. Найдите область определения и область значений функции f, если: a) f(x)

= (рис. 3в), б) f(x) = (рис. 3г).

3. Укажите асимптоты гиперболы – графика функции: а) у = (рис. 4а); б) у = -

(рис. 4б); в) у = .

III. Обучающая самостоятельная работа.

1. Найдите центр гиперболы, асимптоты и постройте график функции:

а) у = б) у = в) у = ; г) у = ; д) у = ; е) у = ;

ж) у = з) у = -

Каждый учащийся работает в своём темпе. При необходимости учитель оказывает помощь,

задавая вопросы, ответы на которые помогут ученику правильно выполнить задание.

Лабораторно-практическая работа по исследованию свойств функций у = и у = и

особенностей графиков этих функций.

ЦЕЛИ: 1) продолжить формирование умений строить графики функций у = и у = ,

используя программу Agrapher;

2) закрепить навыки “чтения графиков” функций и способностей “предсказывать” изменения

графиков при различных преобразованиях дробно – линейных функций.

I. Дифференцированное повторение свойств дробно–линейной функции.

Каждому учащемуся выдаётся карточка – распечатка c заданиями. Все построения

выполняются с помощью программы Agrapher. Результаты выполнения каждого задания

обсуждаются сразу же.

Каждый ученик с помощью самоконтроля может скорректировать результаты, полученные

при выполнении задания и попросить помощи у учителя или ученика – консультанта.

1. Постройте график функции у = - Используя график, найдите значение У,

соответствующее значению Х. равному 1,5; 8; -1,5; -2,5.

2. Постройте график функции f(x) =

Найдите значение аргумента Х, при котором f(x) =6 ; f(x) =-2.5.

3. Постройте график функции у = Определите, принадлежит ли графику данной функции

точка: а) А(20;0.5); б) В(-30;- ); в) С(-4;2.5); г) Д(25;0,4)?

4. Постройте график функции у = Найдите промежутки в которых у>0 и в которых у<0.

5. Постройте график функции у = . Найдите область определения и область значений

функции.

6. Укажите асимптоты гиперболы – графика функции у = - . Выполните построение

графика.

7. Постройте график функции у = . Найдите нули функции.

II.Лабораторно-практическая работа.

Каждому ученику выдаются 2 карточки: карточка №1 “Инструкция” с планом, по

которому выполняется работа, и текстом с заданием и карточка №2 “Результаты

исследования функции”.

Примерное содержание карточки “Инструкции”:

1. Постройте график указанной функции.

2. Найдите область определения функции.

3. Найдите область значения функции.

4. Укажите асимптоты гиперболы.

5. Найдите нули функции (f(x) = 0).

6. Найдите точку пересечения гиперболы с осью Х (у = 0).

7. Найдите промежутки в которых : а) у<0; б) y>0.

8. Укажите промежутки возрастания (убывания) функции.

I вариант.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = е) у = . -5-

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = - и у = х-7; б) у = и у = х +2х+3.

I I вариант.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = е) у = .

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = и у = х+2; б) у = и у = х -2х+3.

I I I вариант.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = - е) у = .

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = - и у = -х-1; б) у = - -2 и у = -х -2х-3.

I V вариант.

1. Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = - д) у = - е) у = .

Дополнительное задание.

Найдите точки пересечения графиков, выполнив построение с помощью программы Agrapher.

Координаты, полученных точек, запишите в тетрадь:

а) у = и у = х+1; б) у = - и у = - х -2х-5.

Скачать материал

Дробно-линейная функция 9 класс

Математика - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы