Методическая разработка "Пирамида. Высота пирамиды"

Методическая разработка по теме
«Пирамида. Высота пирамиды»
с применением
лекционно-семинарско-зачетной
технологии
Подготовила: учитель математики
Насретдинова Н.Ф.
Пирамида. Высота пирамиды.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Характеристика темы урока. Содержанием темы являются понятия: пирамида и её
элементы (вершины, ребра, грани), высота пирамиды, площадь полной и боковой
поверхности пирамиды. Эта часть теории легка для восприятия и не вызывает
затруднений у учащихся. Кроме того, содержанием темы являются и теоремы о высоте
пирамиды, которых нет в явном виде ни в учебнике А.В.Погорелова, ни в учебнике Л.С.
Атанасяна, но некоторые из них неявно встречаются в учебнике Л.С.Атанасяна в виде
задач (№ 244, 245, №247, 249). Несмотря на это, в учебнике Л.С.Атанасяна
встречается достаточное количество задач на применение этих теорем.
Цели урока:
1. Образовательные
Сформировать понятие пирамиды и её элементы;
Изучить теоремы о высоте пирамиды;
Показать применение теорем при решении задач.
2. Воспитательные:
Организация внимания у учащихся;
Формирование сознательного отношения к труду.
Организованность, дисциплинированность.
Культура оформления записей в тетради.
3. Развивающие:
Развитие пространственного воображения, логического мышления, культуры
математической речи, умений сравнивать, обобщать, анализировать, делать выводы.
Формирование навыков работы с таблицами.
Отбор основного содержания учебного материала.
1. Актуализация опорных знаний и умений.
Из планиметрии: понятия описанной окружности около многоугольника, центра
описанной окружности, формулы для нахождения радиуса описанной окружности
около треугольника (произвольного, равностороннего), прямоугольника, квадрата,
правильного многоугольника.
Из стереометрии: понятия перпендикуляра, проведенного из данной точки к
плоскости; угла между прямой и плоскостью; угла между плоскостями.
1. Формирование понятия пирамида и её элементов. Первоначальные сведения о
пирамиде учащиеся получают ещё в 6 классе на уроках математики. На уроках
геометрии при изучении темы «Треугольник» осуществляю выход в пространство,
где продолжаем знакомится с понятием «Пирамида», поэтому многие понятия
учащимся знакомы. Кроме того, в 10-м классе уже рассмотрен частный случай
пирамиды тетраэдр. Остается обобщить накопленный материал по теме
«Пирамида» и познакомить учащихся с формулами для нахождения полной и
боковой поверхности пирамиды. В тетради у учащихся записывается опорный
конспект.
2. Организация изучения теорем о высоте пирамиды: мотивация изучения теорем,
усвоение формулировок теорем, ознакомление со способом доказательства теорем,
применение теорем при решении задач.
Оборудование урока. Таблицы, модели пирамид, каркасные модели.
Методы обучения. Различные этапы урока реализуются с помощью различных
методов обучения. Наибольшее распространение получили эвристический и
репродуктивный методы.
Структура урока.
1. Организационный момент. Постановка целей, задач урока.
2. Актуализация знаний и умений.
3. Формирование понятия пирамида.
4. Изучение теорем о высоте пирамиды.
5. Применение теорем при решении задач.
6. Подведение итогов работы на уроке.
7. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Организационный момент. Постановка целей, задач урока.
2. Актуализация знаний и умений. На доске заготовлены чертежи (смотри приложение).
Вопросы к чертежам:
2. Какая окружность называется описанной около многоугольника? Где расположен
её центр? Назовите радиус описанной окружности.
3. Всегда ли около многоугольника можно описать окружность? Около каких
многоугольников всегда можно описать окружность?
4. Где находится центр описанной окружности:
около правильного треугольника;
прямоугольного треугольника;
остроугольного треугольника ;
тупоугольного треугольника;
прямоугольника;
квадрата;
правильного многоугольника.
3. Изучение нового материала.
Рассмотрим многоугольник А1А2…Аn и точку Р, не лежащую в плоскости этого
многоугольника.
Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников PА1А2,
PА2А3,, PАnА1 называется пирамидой.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины
пирамиды к плоскости основания.
Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Площадь полной
поверхности пирамиды равна сумме площадей всех граней (основания и боковых).
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней.
Опорный конспект.
На моделях пирамид (треугольная, четырехугольная, шестиугольная)
отрабатываются элементы пирамиды, уточняется понятие тетраэдра.
P вершина
боковая грань
Аn . .А5 А4
А1 А2 А3
PА1А2…Аn n-угольная пирамида
Р вершина пирамиды
А1А2…Аn - основание
PА1А2, PА2А3, PАnА1 боковые грани
Р вершина пирамиды и PH
1А2А3)
PH
высота пирамиды PА1А2…Аn.
.....
13221
..
1
..
13221
..
осн
S
пб
S
пп
S
A
n
PA
S
APA
S
APA
S
пб
S
A
n
PA
S
пб
S
A
n
PA
S
APA
S
APA
S
пп
S
+=
+++=
++++=
5. Формирование новых знаний и умений. Устная задача по готовому чертежу.
Задача. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а
одна из диагоналей 8 см. Найдите длины боковых ребер пирамиды, если её высота
проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
Решение.
1. SB=SD, SA=SC как наклонные, проекции которых равны (AO=OC, BO=OD по
свойству диагоналей ромба).
2. Т.к. SO
(ABC), то по определению SO
AO, SO
OD.
3. SOA прямоугольный, т.к.
SOA=90° .
AO=
AC по свойству диагоналей ромба, AO=
=8
2
1
4 см.
По теореме Пифагора
222
OASOSA +=
222
47 +=SA
.65смSA =
4. Т.к. SA=SC, то
.65смSС =
5. AOD прямоугольный (AC
BD по свойству диагоналей ромба, значит,
AOD=90°).
По теореме Пифагора
222
ODAOAD +=
222
AOADOD =
OD = 3 см.
6. SOD прямоугольный, т.к.
SOD=90° .
По теореме Пифагора
222
ODSOSD +=
222
37 +=SD
.58смSA =
7. Т.к. SD=SB, то
.58смSB =
Ответ:
.58,58,65,65 смсмсмсм
S Дано: SABCD пирамида,
ABCD ромб, AB=5 см, AC=8 см,
AC
BD=O,
B О C SO высота пирамиды, SO=7 см.
A D Найти: SA, SB, SC, SD.
6. Изучение теорем о высоте пирамиды. Очень часто при решении задач
необходимо знать, где именно будет находиться основание высоты пирамиды.
Решение этих задач упрощается с использованием некоторых теорем, связанных с
высотой пирамиды.
Теорема 1. Если боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то
высотой пирамиды является высота этой боковой грани, проведенная из вершины
пирамиды к стороне основания.