Ученики на Учителя.com


Презентация "Различные типы задач на проценты и методы их решения"

Скачать материал
Подписи к слайдам:
Различные типы задач на
проценты и методы их решения
Подготовила Пастухова Н.А. ,учитель математики
«МОУ СОШ №18 им. А.А. Мыльникова» г. Энгельс
Саратовская обл.
Слово "процент" происходит от латинских слов
pro centum, что буквально означает "со ста".
Широко начали использовать проценты в
Древнем Риме, но идея процентов возникла
много раньше - вавилонские ростовщики уже
умели находить проценты (но они считали не
"со ста", а "с шестидесяти", так как в Вавилоне
пользовались шестидесятиричными дробями).
Знак % произошел, как предполагают,
благодаря опечатке. В рукописях pro centum
часто заменяли словом "cento" (сто) и писали
его сокращенно - cto. В 1685 в Париже была
напечатана книга - руководство по
коммерческой арифметике, где по ошибке
наборщик вместо cto набрал %. После этой
ошибки многие математики также стали
употреблять знак % для обозначения
процентов, и постепенно он получил всеобщее
признание.
Понятие процента
• Процентом называется сотая часть числа,
величины.
• 1% некоторых величин имеет название:
• 1% рубля - 1 копейка;
• 1% метра – 1 сантиметр;
• 1% центнера – 1 килограмм;
• 1% см
2
– 1 мм
2
.
Чтобы перевести десятичную дробь в %, надо
дробь умножить на 100.
Например: 0,01 = 1%, 0,25 = 25%, 0,3 = 30%, 1 = 100%,
1,2 = 120%.
Три типа задач на проценты
• Нахождение нескольких процентов числа
• Нахождение числа по значению его процентов
• Нахождение процентного отношения чисел
Задача1
В классе 20 учеников. За контрольную работу по
математике отметку «5» получили 20% всех учеников.
Сколько учеников в классе получили отметку «5»?
• 1 метод: по определению процента.
• 2 метод: правило нахождения дроби от
числа.
• 3 метод: пропорциональность величин.
Нахождение нескольких процентов числа
1 метод: по определению процента
От А
А : в * а
Р% =
р % от А
А : 100 * р
Решение.
1) 20 : 100 = 0,2 (уч.) – 1%
2) 0,2 * 20 = 4 (уч.) – получили отметку «5».
Ответ: 4 ученика.
2 метод: правило нахождения дроби от
числа
• Чтобы найти дробь от числа, надо число
умножить на эту дробь.
Решение.
• 20% = 0,2
• 20 * 0,2 = 4 (уч.) - имеют отметку «5».
От А
b
a
A*
р % от А
Р% =
3 метод: пропорциональность величин.
• Две величины называют прямо
пропорциональными, если при
увеличении (уменьшении) одной из
них в несколько раз, другая
увеличивается (уменьшается) во
столько же раз.
• Две величины называют обратно
пропорциональными, если при
увеличении (уменьшении) одной из
них в несколько раз, другая
уменьшается (увеличивается) во
столько же раз.
Решение.
Количество
учащихся
%
В классе 20уч. 100%
Получили «5» ?уч 20%
х
4
100
20*20
20
10020
=
=
=
х
х
х
Задача 2
За контрольную работу по математике отметку «5» получили
4 ученика, что составляет 20% всех учеников. Сколько
учеников в классе?
• 1 метод: по определению процента.
• 2 метод: правило нахождения числа по
значению его дроби
Нахождение числа по значению его процентов
1 метод: по определению процента
А составляет
от ?
А : а * в
А составляет
р% от ?
А : р * 100
Р% =
Решение.
1) 4 : 20 = 0,2 (уч.) – 1%
2) 0,2 * 100 = 20 (уч.) – в классе.
Ответ: 20 учеников.
2 метод: правило нахождения числа по
значению его дроби
Чтобы найти число по значению его дроби, надо значение
дроби разделить на эту дробь.
Решение.
1) 20% = 0,2
2) 4 : 0,2 = 20 (уч.) – в классе
А составляет
от ?
Р% =
А составляет
р% от ?
Нахождение процентного отношения чисел.
Сколько %
а составляет от в?
• Задача 3
Стоимость товара с 200 р. увеличилась в 2 раза.
На сколько процентов увеличилась стоимость
товара? На сколько процентов прежняя
стоимость была меньше по сравнению с
настоящей?
Решение.
1) 200 * 2 = 400(р.) – стала стоимость
2) 400 – 200 =200(р.) – изменилась стоимость,
3) 200: 200 = 1 = 100% - увеличилась стоимость,
4) 200 : 400 = 0,5 = 50% - прежняя стоимость
меньше настоящей.
a: в *100%
Проценты в жизни
• В химии при расчете концентраций
веществ
• В статистике при составлении диаграмм
• При покупке и продаже товаров
• В банковском деле
Задачи на смеси
• алгебраический метод
• арифметический метод
Задача1
В каких пропорциях нужно смешать раствор 50% и 70%
кислоты, чтобы получить раствор 65% кислоты?
Решение.
Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г.
Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса
смеси равна сумме масс смешиваемых растворов - (х + у) г.
Найдем количество чистой кислоты в 1-ом растворе. Это 0,5х г, во
втором растворе 0,7у г, а в смеси будет 0,65(х + у) г кислоты.
По условию задачи составим и решим уравнение.
0,65 (х + у) = 0,5 х + 0,7 у,
65 х – 50 х = 70 у – 65 у,
15 х = 5 у,
3 х = 1 у,
х : у = 1 : 3. Нужно взять: 1 часть раствора 50% кислоты и 3 части
раствора 70% кислоты
Задача1
Запишем концентрацию каждого раствора кислоты и концентрацию смеси.
Вычислим, на сколько концентрация первого раствора кислоты меньше,
чем концентрация смеси и на сколько концентрация второго раствора
кислоты больше, чем концентрация смеси и запишем результат по
линиям.
Таким образом, 5 частей нужно взять 50% раствора кислоты и 15 частей
70% раствора кислоты, то есть отношение взятых частей
Окончательно получаем: 50% раствора кислоты-1 часть, 70% раствора
кислоты-3 части.
50
70
65
5
15
3
1
15
5
=
Круговые диаграммы
• Достаточно
распространённым
способом графического
изображения структуры
статистических
совокупностей является
секторная диаграмма,
так как идея целого
очень наглядно
выражается кругом,
который представляет
всю совокупность.
При покупке и продаже товара
Задача1
• Цена товара увеличилась на 30%, а
затем снизилась на 30%. Как
изменилась цена товара?
При покупке и продаже товара
Задача2
В автосалон “SECOND LIFE AUTO”, вы можете приобрести подержанную
автотехнику в отличном состоянии и по доступной цене
• 1. Задача о кредите.
Договор о кредитовании на 3 месяца: в декабре-60% всей стоимости, в
январе – 75% остатка, в феврале – всю оставшуюся сумму.
Определите, пожалуйста, сколько рублей в каждом месяце вы заплатите и
заполните “Договор о кредитовании”.
• 2. Задача о квитанции.
За оформление права собственности нотариус возьмет с вас 1,5% от
стоимости автомобиля в виде нотариальной пошлины. Во сколько рублей
вам обойдется ваша покупка вместе с нотариальной пошлиной?
• 3. Задача о страховке.
Автосалон предлагает заключить договор о страховании автомобиля от
угона на 100000 рублей. Определите, какой процент от стоимости вашего
автомобиля будет вам выплачен в случае угона. Заполните страховой
полис. Страховой взнос-10 % от стоимости покупки.
В банковском деле
Задача
Банк начисляет по вкладам ежегодно 4% вклада.
Вкладчик внес в этот банк 15000 р. Сколько
денег он может снять со своего счета через два
года?
Решение
1) 15000*0,04 = 600(р.)- увеличение за первый год,
2) 15000 + 600 = 15600(р) – станет к концу первого года,
3) 15600*0,04 = 624 (р.) – увеличение за второй год,
4) 15600 + 624 = 16224(р.) – снимет со счета через 2 года.
Применение формулы сложных процентов:
N = a(1 + 0,01p)
n
, где а – первоначальный
вклад, n – срок вклада,N – величина вклада
через указанный срок вклада, р – число %.
Решение
N = 15000*(1 + 0,01*4)
2
= 16224(р.)
Литература
• «Математика,5, 6». Н.Я.Виленкин.
• «Арифметический способ решения задач на смеси
и сплавы». Т.В.Каюкова.
• «Справочное пособие по методам решения задач
по математике». А.Г. Цыпкин.
• Элективный курс «Решение задач с
экономическим содержанием» Т.А. Цаплина.
• Проценты в математике. Задачи на проценты.
http://www.egesdam.ru/page230.html
• Википедия – процент
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%EE%F6%E5%E
D%F2

Математика - еще материалы к урокам: