Методическая разработка "Различные способы решения задач на проценты"

1
МОУ «Некрасовская средняя общеобразовательная школа»
Калининский район Тверской области
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
по математике
« Различные способы решения задач на
проценты»
Выполнила учитель математики
Калинина Т.Н.
2
Содержание.
1. Введение…………………………………………………………… 2
2. Из истории процентов………………………………………………. 4
3.Различные способы решения задач……………………………………………. 9
3.1. Нахождение процента от числа……… 10
3.2. Нахождение числа по его процентам………………. .. 11
3.4. Нахождения процентного отношения………………… 12
4. Задачи на проценты на ОГЭ и ЕГЭ……………………....... 12
4.1.Нахождение числа по его процентам……………………………... 15
4.2.Нахождение процентов данного числа…………………………..... 16
4.3.Нахождения процентного отношения числа……………………... 16
4.4.Задачи на сложные проценты……………………………………… 16
4.5.Задачи на концентрацию, смеси и сплавы……………………….. 19
5. Заключение…………………………………………………………… 22
6. Список использованной литературы………………...…………… 24
3
1. Введение
Проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие
учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А
понимание процентов и умение производить процентные расчёты
необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень
велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и
другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью.
Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому
человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни.
Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках
с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных
плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза,
когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве
вы сможете расшифровать все эти послания, если не научитесь решать
задачи с процентами?
А вот такая ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили
извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь
послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь
разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет
получить за свои услуги по пересылке.
Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут
мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой
процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у
него «одолжили» и обязаны вернуть.
А самый близкий школьникам пример связан с ЕГЭ. Каждый год после
экзаменов публикуют официальную статистику. В которой немало
задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к
будущим выпускникам. Например, процент ребят, сдавших экзамен по
математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько
абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на
технические специальности. А еще на программирование, прикладную
математику и т.п. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их
результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на
поступление.
Задачи с процентами часто попадаются в экзаменационных заданиях. Многих
они сбивают с толку – как разобраться с условием и как это решить? Пока
такие задачки остаются оторванными от реальности строчками в учебнике,
их бывает сложно понять и тем более решить.
4
Проанализировав программу средней школы по математике, пришла к
выводу, что по существующим программам решение задач на проценты
предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной
теме отдана незначительная часть учебного времени. Поэтому я решила
сделать подборку задач , которые встречаются на экзаменах (ОГЭ и ЕГЭ) и
рассмотреть различные способы их решения.
Целью методической разработки являются:
1. Знакомство с историей возникновения процентов;
2. Разбор различных способов решения задач на проценты;
3. Показать широту применения процентных расчетов в реальной
жизни и других предметах.
4. Способствование интеллектуальному развитию учащихся.
2. Из истории процентов.
Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь. В жизни
редко что-то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать
разные части чего-то целого. Поэтому мы используем такие понятия, как
половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Ну да, все так привыкли к слову
«четверть» в школе, что забывают о его формальном значении –
«четвертая часть учебного года». Сравнивать сотые доли удобнее всего –
так появился процент (1/100)
Проценты появились в древности, когда появилось понятие долга, так как они
нужны были для выплаты по закладным и займам и т. д.
Проценты применялись только в торговых и денежных сделках. Затем
область их применения расширилась, проценты встречаются в
хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне
процент это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого
(принимаемого за единицу). Итак, слово процент от латинского слова
procentum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея
5
выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная
практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд
задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако
вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты
были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли
процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.
От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль
или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и
денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты
встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и
технике. Сегодня процент это частный вид десятичных дробей, сотая
доля целого (принимаемого за единицу).
Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто),
которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда
путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в
наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента
Схема
1
Есть еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %.
Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой
опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована
книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик
вместо cto напечатал %.
6
В названном учебнике содержатся также достаточно полезные, с точки
зрения общего развития, дополнительные сведения, касающиеся промилле
(от латинского «с тысячи») десятой части процента.
Римляне называли процентами деньги, которые платил должник
заимодавцу за каждую сотню. При этом говорили: «На каждые
100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». От римлян
проценты перешли к другим народам Европы.
Задача 1.1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца
60 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в
установленный срок 60 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько
сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?
Ответ: 72 сестерциев.
Задача 1.2. Некий человек взял в долг у ростовщика 1000 р. Между
ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги
ровно через год, доплатив еще 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев
должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?
Ответ: 1400 руб.
7
3. Различные способы решения задач:
Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей
одного целого, определения, какую долю составляет часть от целого,
нахождения целого исходя из величины его части и т.п.
Проценты можно записать со знакомым всем значком процента: 1%. Можно
представить в виде десятичной дроби (или натурального числа). Для этого
нужно разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах.
Тогда его следует умножить на 100%.
Задачи с процентами можно решать разными способами: уравнением,
составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя
правила.
3.1.Нахождение процента от числа.
Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел
умножить на 100 или проценты превратить в десятичную дробь и умножить
на это число.
Например, 20% от45 кг равны 45∙0,2=9 кг, а 118% от х равны 1,18х.
Задача 1: Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 30%. Какую
сумму денег может получить через год человек, вложивший в этот банк 450
тыс. руб.?
Решение: 450000∙0,3+450000=585000 (руб.)
Ответ:585000 руб.
Задача 2. Цена сканера, стоившего 1200 руб., понизилась на 8,5%. На сколько
рублей подешевел сканер?
Решение: В задаче требуется найти 8,5% от 1 200.
1 200 ∙ 0,085 = 102 (руб.).
8
Ответ: 120 руб.
Задача 3.
Число 200 увеличили на 30 %, полученное число увеличили еще на 20 %.
Какое число получится в итоге?
Решение:
30 % числа 200 составляют 200*0,3 = 60
Новое число будет 200 + 60 = 260
20 % числа 260 составляют 260 *0,2 = 52
После второго увеличения получим 260 + 52 = 312
Ответ: 312
3.2.Нахождение числа по его проценту.
Чтобы найти число по его процентам нужно, проценты превратить в
десятичную дробь и число разделить на эту дробь.
Например, 8% длины отрезка составляют 2,4 см, от длины всего отрезка
равна 2,4:0,08=240:8=30 см.
Задача. При помоле пшеницы получается 80% муки. Сколько пшеницы
нужно смолоть, чтобы получить 480 кг пшеничной муки?
Решение: 480:0,8 = 600 кг.
Ответ: 600 кг.
3.3. Нахождение процентного отношения двух чисел.
Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел
умножить на 100.
Задача 1.
В 200 г воды растворили 50 г соли. Какова концентрация полученного
раствора?
9
Решение: Концентрация раствора это процент, который составляет масса
вещества в растворе от массы раствора. (50:250)∙100=20%. Ответ: 20%.
Задача 2.
По плану рабочий должен был изготовить 800 деталей, а изготовил 996
деталей. Сколько процентов плана он выполнил?


=124,5%Ответ: рабочий выполнил 124,5% плана.
3.4. Увеличение числа на процент.
Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников
получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько
человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
Решение.
Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в
(1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам
по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.
3.5. Уменьшение числа на процент.
Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на
25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число
уменьшено в (1 х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1
х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 –
25/100) = 75.
10
4. Задачи на проценты на ОГЭ и ЕГЭ.
Задача 1.
За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%, в
следующем году выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос
выпуск продукции по сравнению с первоначальной?
Решение:
Эту задачу можно решить двумя способами:
1) используя пропорцию
2) по действиям
Решение.
1 способ: Узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за первый
год.
Пусть: х начальный выпуск, у после увеличения на 8%
х 100%у 108%у=х*


=1,08х
Теперь, узнаем на сколько увеличился выпуск продукции за второй год.
Пусть: 1.08х теперь уже начальный выпуск
z после увеличения на 25%, тогда 1,08х 100% z= 1,08х*125% = 1,35х
z 125%
В итоге выпуск продукции равен 1,35х;
11
Значит выпуск увеличился на 0,35 или на 35%
2 способ:
1) 1,00+0,08=1,08 (узнали выпуск продукции после первого увеличения)
2)1,00+0,25=1,25 (узнали выпуск продукции после второго увеличения)
3)1,08*1,25=1,35 (это выпуск продукции после двух увеличений)
4)1,35-1,00=0,35 (увеличения выпуска продукции после двух прибавок)
ОТВЕТ: выпуск продукции по сравнению с первоначальной вырос на
35%.
Задача 2.
Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Дума потребовала от
правительства возвращение цен к прежнему уровню. Для этого цены
должны быть уменьшены (на сколько процентов)?
Решение:
Решим эту задачу с помощью пропорций.
Пусть: х – первоначальная цена, у цена после повышения цен на 150%
х 100% у = 2,5х (новая цена)
у 250%
2,5х 100%z=


=40%
х- z%
40% - составила первоначальная цена от инфляции, поэтому цены должны
быть уменьшены на 60%
12
100% - 40% = 60%
ОТВЕТ: цены должны быть уменьшены на 60%.
Задача 3.
Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей
можно купить на 650 рублей, после понижения на 15%?
Решение:
Решим эту задачу пропорцией и по действиям.
Пусть: х на сколько рублей понизилась цена тетрадей.
40 100% х = 40*0,15 = 6 (рублей)
х 15%
1) 40 6 = 34 (руб.) стала стоить тетрадь
2) 650 : 34 = 19 (тетрадей) можно купить на 650 рублей
ОТВЕТ: 19 тетрадей можно купить на 650 рублей.
Задача 4.
Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480
рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
Решение.
Цена чайника после повышения стала составлять 116% от начальной
цены.


=3000
Значит, цена чайника до повышения составляла 3000 рублей.
13
Ответ: 3000.
Задача5.
Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680
рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?
Решение.
Цена на футболку была снижена на 800 680 = 120 рублей. Разделим 120
на 800:


=0,15=15% . Значит, цена на футболку была снижена на 15%.
Ответ: 15.
Задача 6.
Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Пенсионерам магазин делает скид-
ку 5%. Сколько рублей стоит пачка масла для пенсионера?
Решение.
Скидка на пачку сливочного масла составляет 60* 0,05 = 3 рубля. Значит,
пенсионер за пачку масла заплатит 60 3 = 57 рублей.
Ответ: 57.
Задача 7.
Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетра-
дей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от сто-
имости всей покупки?
Решение.
За 60 тетрадей покупатель заплатил бы 60 * 24 = 1440 рублей. Скидка со-
ставит 10%, т. е. 144 рубля. Значит, покупатель заплатит
14
1440 144 = 1296 рублей.
Ответ: 1296.
Задача 8.
Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процен-
тов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер
заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка
для пенсионеров?
Решение.
Магазин снизил цену на пакет кефира на 40 38 = 2 рубля. Разделим 2 на
40: получим 0,05 или 5%. Значит, скидка для пенсионеров составляет 5%.
Ответ: 5.
Задача 9.
В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в
классе?
Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого,
нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и
умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.
Простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью
пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что
выбирать можно каждому тот способ решения, которыйкажется проще.
Решение. Обозначим искомый процент девочек в классе как х, общее
количество учеников примем за 100%. Пропорция выглядит так:
30 100%
14 х%
Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим, что
30* х = 14 * 100 («30 относится к х также, как 14 относится к 100»). Откуда
найти х уже совсем несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.
Задача 10.
15
Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества.
Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества
на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следу-
ет дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?
Решение.
В одной таблетке лекарства содержится 20 * 0,05 = 1 мг активного веще-
ства. Суточная норма активного вещества для ребенка весом 5 кг составит:
1,4 * 5 = 7 мг. Тем самым, ребенку следует дать 7 таблеток.
Ответ: 7.
Задача 11.
В 2008 году в городском квартале проживало 40000человек. В 2009 году,
в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8 % ,
а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало про-
живать в квартале в 2010 году?
Решение.
В 2009 году число жителей стало 40000*1.08=43200 человек, а в 2010 году
число жителей стало 43200*1.09=47088 человек.
Ответ: 47 088.
Задача 12.
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата
мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы сти-
пендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%.
Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение.
16
Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос
бы на 67%» означает, что зарплата отца составляет 67% дохода семьи. Усло-
вие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился
бы на 4%», означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть
вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход ма-
тери составляет 100%-67%-6%=27% дохода семьи.
Ответ: 27.
Задача 13.
Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом
200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон 42000 рублей,
Гоша 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис.
Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально вне-
сенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей
причитается Борису? Ответ дайте в рублях.
Решение.
Антон внес


*100 уставного капитала.
Тогда Борис внес 100 − 12 − 14 − 21 = 53% уставного капитала.
Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается
0,53 · 1 000 000 = 530 000 рублей.
Ответ: 530 000.
Задача 14.
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процен-
тов пять таких же рубашек дороже куртки?
Решение.
Стоимость четырех рубашек составляет 92% стоимости куртки. Значит,
стоимость одной рубашки составляет 23% стоимости куртки. Поэтому стои-
17
мость пяти рубашек составляет 115% стоимости куртки. Это превышает сто-
имость куртки на 15%.
Ответ: 15.
Задача 15.
Цена товара понизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов
понизилась цена товара по сравнению с первоначальной?
Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000 р.?
Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого
понижения цена товара стала равна:
1) 100% - 40% = 60%
Второе снижение происходит от новой цены:
2) 60% . 25% : 100 = 15%
Таким образом, общее снижение цены товара равно:
3) 40% + 15% = 55%
Цена товара после второго снижения стала равной:
4) 100% - 55% = 45%
Найдем 45% от 3000р.
5) 3000 . 45 : 100 = 1350 (р.)
Ответ: на 55% понизилась цена товара по сравнению с первоначальной;
1350 р. стал стоить товар.
Задача 16.
Катя ест пирожок с малиновым вареньем. После каждого откусывания масса
пирожка уменьшается на 20%. После второго откусывания она составила
160г. Какой она была вначале? Сможет ли Катя при таких условиях доесть
пирожок?
Решение:
1) 100% 20% = 80%- процентное содержание пирожка после первого
откусывания;
2) Второе откусывание происходит от остатка.
80% . 20 : 100 =16% откусили во второй раз
3) 80% 16% = 64% процентное содержание пирожка после второго
откусывания;
4) Т.к 64% равны160 г, имеем
160 . 100 : 64 = 250 (г) – первоначальная масса пирожка
Ответ: 250г, нет
Задача 17.
В магазине батон хлеба стоит 10 руб., а на лотке цена такого же батона – 9
руб.
Определите:
1) На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине?
2)На сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке?
18
Решение:
1) По условию цена “дешевого” батона сравнивается с ценой “дорогого”.
В таких задачах всегда за 100% принимают то, с чем сравнивают.
100% батон в магазине:
9 : 10 . 100= 90%
100%-90%=10% продается дешевле с лотка
2) На этот раз “дорогой” батон сравнивается с “дешевым”.
Значит 100% – батон на лотке:
10 : 9 . 100= 111,1%
111,1% 100% = 11,1% продается дороже в магазине
Ответ: на лотке батон на 10 % дешевле, чем в магазине; в магазине батон на
11,1% дороже, чем на лотке.
Задача 18.
На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через
некоторое время часть воды испарилась, и её процентное содержание в
ягодах упало до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?
Решение:
Решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах и т. п., как
правило, следует найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.
1) Найдем массу сухого вещества в ягодах.
100%-99% =1% -процентное содержание сухого вещества в ягодах;
100: 100 = 1(кг) – масса сухого вещества.
2) 100%-98% =2% процентное содержание сухого вещества в ягодах после
испарения части воды;
3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 1 кг, имеем
1 . 100 : 2 = 50(кг)
Ответ: 50 кг
Задача 19 .
Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько сушеных грибов
получится из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы
получить 3,4 кг сушеных?
Решение:
1) 100%-90% =10% процентное содержание сухого вещества в свежих
грибах;
17 . 10 : 100 = 1,7(кг) – масса сухого вещества
100%-15% =85% процентное содержание сухого вещества в сушеных
грибах;
Т.к. 85% равны 1,7 кг, имеем
1б7 . 100 : 85 =2(кг) – сушеных грибов
2) Найдем массу сухого вещества в 3,4 кг сушеных.
3,4 . 85 : 100 = 2,89 (кг)
Т.к 2,89 кг равны 10%, имеем
2,89 . 100 : 10 =28,9 (кг)- свежих грибов надо взять
Ответ: 2 кг, 28,9 кг
19
Задача 20 .
В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного
раствора?
Решение:
1) Учтем, что масса полученного раствора
400+80 = 480(г)
2) Сколько процентов 80 г составляют от 480 г?
80 : 480 . 100 = 16,7%
Ответ: 16,7% концентрация полученного раствора.
5. Финансовые задачи
5.1.Задачи на простые проценты.
Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15%
ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются
многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную
сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х%
и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно
записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из
условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 *
(1 + 12 * 15/100) = 14000
5. 2.Задачи на сложные проценты.
Данный вид задач применяется во многих областях хозяйственной
деятельности и бухгалтерского учёта, а также в различных статистических
расчётах, где используются формулы простых и сложных процентов.
20
Для нахождения простых процентов служит формула простых процентов:
если с величины «а» нарастает «р»% за год (или другой период), то через t
лет, полученную сумму можно получить по формуле
100
1
tp
ax
При этом предполагается, что по истечении каждого года доход за этот
год исчисляется с первоначальной величины.
Если же доход причисляют к первоначальной величине и,
следовательно, доход за новый год исчисляется с наращенной суммы, то
говорят о сложных процентах; в этом случае величина, в которую
превращается «а» через n лет вычисляется по формуле сложных процентов
х=а* 

Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.
Задача 1.
Клиент положил в банк на год 4000 рублей. Какая сумма у него будет через
год, если банк выплачивает 8% годовых?
Решение:Данную задачу можно решить двумя способами.
1 способ. Сначала находим, сколько рублей приходится на 1%:
1) 4000:100=40 ( р.) – на 1%.
Далее находим, сколько рублей будет составлять 8%:
2) 40·8=320 (р.) – на 8%.
А теперь найдём, какая сумма получится в конце года:
3) 4000+320=4320 (р.) – получилась сумма к концу года.
2 способ.
Сначала находим, сколько процентов будет в конце года:
1) 100+8=108% - к концу года.
Находим, сколько приходится на 1%:
21
2) 4000:100=40 (р.) – на 1%.
А теперь найдём нужную нам сумму:
3) 40*108=4320 (р.) – сумма в конце года.
Ответ: 4320 рублей.
Задача 2.
Владелец садового участка взял в банке ссуду 300000 рублей для
постройки дома на участке. Он должен был вернуть эти деньги через год с
надбавкой 9%, какую сумму он должен был вернуть?
Решение:
1) 100+9=109% - должен вернуть в банк владелец.
109:100·300000=327000 (р.) – должен вернуть.
Ответ: 327000 рублей.
Задача 3.
Ирина внесла в январе 100 рублей на счёт, по которому ежемесячно
начисляется 2%. И затем каждый месяц в течение года она вносила ещё по
100 рублей, не снимая с него никаких сумм. Сколько рублей на её счете
будет в конце декабря?
Решение:Выразим процент десятичной дробью: 2% - 0,02. Вклад
ежемесячно увеличивается в 1,02 раза и идёт последовательное накопление
вклада:
январь – 100 р.;
февраль – 100·1,02+100 р.;
март – 100·
2
02,1
+100·1,02+100 р.;
декабрь – 100· (1,02)
11
+100· (1,02)
10
+……..+100=100· ((1,02)
11
+ (1,02)
10
+ +1) =100·
02,0
1)02,1(
12
=1341(р.)
Ответ: 1341 рубль.
22
В ходе решения подобных задач учащиеся видят, что формула суммы
геометрической прогрессии это не просто абстракция, отвлечённая
формула, а конкретные математическое знание, необходимое в жизни.
Задача 4.
Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг 1312500 р. Каков
был первоначальный вклад при 25% годовых?
Решение:Пусть x .) первоначальный размер вклада. В конце
первого года вклад составит:
xxx 25,1
100
25
(р.)
1,25
100
25
(р.) – на столько увеличился вклад к концу второго года по
сравнению с первым;
)
100
25
25,125,1( xx
.) таким станет вклад к концу второго года, т.е.
составит по условию 1312500 р. Имеем:
1312500
100
25
25,125,1 xx
, откуда
x
=840000. Значит 840000 (р.) – первоначальный вклад.
Ответ: 840000 рублей.
Задача 5.
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же
число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов
каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на прода-
жу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
Решение.
Пусть цена холодильника ежегодно снижалась на р% процентов в год.
Тогда за два года она снизилась на   
откуда имеем:
20000*  
=15842 ,   
=0.7921
1- 0,01р=0,89, р=11% От в е т : 11.
23
Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в
результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного
простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а
присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном
периоде сама приносит доход .
Задача 6.
Торговая база закупила партию товара у изготовителя и поставила ее в
магазин по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя.
Магазин установил розничную цену на товар 20% выше оптовой. При
распродаже магазин снизил эту цену на 10%. На сколько рублей больше
заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже
он приобрел товар за 140 руб. 40 коп.
Решение
Пусть первоначальная цена составляет а руб.,:
а* (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)*(1 0,01*10) = 140,4
а*1,3*1,2*0,9 = а*1,404 = 140,4
а = 140,4: 1,404 = 100 (руб.)
Находим разность последней и первоначальной цены
140,4 100 = 40,4
Ответ:40,4 руб.
а*(1+ 0,01р)
n
- периодическое увеличение некоторой величины на одно
и то же число процентов.
где - начальный вклад, сумма.
р процент(ы) годовых,n- время размещения вклада в банке
Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать
и по- другому:*(1- 0,01р)
n
- периодическое уменьшение некоторой
величины на одно и то же число процентов.
24
Задача7.
Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 % годовых.
Через год на вашем банковском счету будет лежать
S = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.
Ваша прибыль - 1000 рублей.
Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10%.
Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.
Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме
(10 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-
й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама
генерировать новую прибыль. И так далее.
Этот эффект и получил название сложный процент.
Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже
сама производит новую прибыль.
Задача8.
После двух последовательных снижений цен на одно и то же число
процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На
сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз?
Решим эту задачу по формуле сложных процентов – а*(1-0,01р)
n
Получим:400*(1-0,01а)
2
=324
20(1 0,01а) = 18
1 0,01а = 0,9а = 10
25
ОТВЕТ: стоимость товара каждый раз снижалась на 10%
Задача 9.
По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению
каждого года эти проценты капитализируются, то есть начисленная сумма
присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет на 80000
рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течении
двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?
Решение:
Эту задачу можно решить двумя способами: 1)по действиям
2)по формуле сложных процентов
Решение:
1)узнаем доход за первый год
80000*0.12=9600руб.
2)найдем сумму на счете после первого года
80000+ 9600= 89600руб.
3)определим доход за второй год
89600* 0,12= 10752 руб.
4)узнаем конечную сумму на счете
10752 + 89600= 100352руб.
5)найдем доход после двух лет
100352- 80000= 20352 руб.
26
ОТВЕТ: по истечении двух лет получился доход в размере 20352 руб.
Эту же задачу решим по формуле банковских процентов:
х=а*(1 + 0,01р)
n
Пусть:
= 80000 начальный вклад
а 12% годовых
n 2 года, получим:
80000(1+ 0,12)
2
= 80000 * 1,12
2
= 100 352 руб.
Это конечная сумма на счете после двух лет. Теперь надо узнать какой доход
был получен. Для этого из конечной суммы вычтем начальный вклад.
100352 80000 = 20 352руб.
ОТВЕТ: по истечении срока был получен доход в размере 20 352 руб.
Вывод: решила задачу двумя способами, доказав, что проще и быстрее
решить задачу по формуле сложных процентов, а не по действиям.
Задача 10.
В книжном магазине энциклопедию по биологии стоимостью 350 рублей
уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найдите это число, если
известно, что после двойного сложения цен энциклопедия стоит 283 рубля 50
копеек.
Решение: 350*  
=283,5,   
=0,81, 1-0,01р=0,9
0,01р=0,1, р=10%
Ответ: энциклопедию уценивали на 10%
27
Задача 1. из задание 17 (ЕГЭ)
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под
10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следу-
ющего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть
увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа,
чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
1 способ.Решение.
Пусть Х один из трёх разовых платежей. Тогда сумма долга после оплаты
в первом году составит: (9930000*1.1-Х).
После внесения второго платежа сумма долга станет равной
(9930000*1,1-Х)*1,1-Х
Сумма долга после третьего платежа:
((9930000*1,1-Х)*1,1-Х)*1,1-Х
Третьим платежом Сергей должен погасить долг, то есть долг станет равным
нулю:
((9930000*1,1-Х)*1,1-Х)*1,1-Х=0, 9930000*
-1,1*(1,1Х+Х)=0
9930000*
-3,31Х=0, Х=


= 3 993 000(руб.).
Ответ: 3 993 000 рублей.
2 способ. Решение.
Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годо-
вые составляют k %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга
умножается на коэффициент m = 1 + 0,01k. После первой выплаты сумма
долга составит: a
1
= am x. После второй выплаты сумма долга составит:

m-x=(am-x)m-x=a
  
-(1+m)x,
После третьей выплаты сумма оставшегося долга
=(1+m+

-


*x
28
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью,
поэтому
a


*x=0, откуда x=


.
При a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и
x=


= 3 993000
Ответ: 3 993 000 рублей.
Задача 2.
Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по
вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно
через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б.
Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопив-
шиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б.
Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?
Решение.
Пусть банк начислял p% годовых. Тогда клиент А. за два года полу-
чил
7700*(   
руб., а клиент В. за один год полу-
чил 7700*(1+0,01p) руб.
Обозначим x=1+0,01p , тогда поскольку А. получил на 847 руб. боль-
ше, имеем:
7700
-7700x=847, 100
-100x-11=0 , x=1,1, p=10%
Тем самым, банк начислял вкладчикам по 10% годовых.
Ответ: 10.
Задача 3.
Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, теле-
фон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то
общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подо-
29
рожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой про-
цент от общей суммы платежа приходится на телефон?
Решение.
1. Алгебраический подход.
Пусть плата за коммунальные услуги и электричество составляет х руб. в
месяц, а за телефон — у руб.
Если плата и за коммунальные услуги, и за электричество подорожают на
50%, эта часть оплаты составит 1,5x руб, что повлечет увеличение общей
суммы платежа на 45%. Тогда будет иметь место уравнение
1,5x+y=1,45*(x+y) , 1,5x+y=1,45x+1,45y, 0,05x=0,45y, x=9y, x+y=10y

=

Итак, на телефон приходится

часть от общей суммы платежа, а это состав-
ляет 10%.
2. Арифметика помогает алгебре.
Если все три вида предоставляемых услуг подорожает на 50%, то общая
сумма платежа увеличится на 50%. Но из-за того, что платеж за услуги теле-
фонии останется неизменным, общая сумма платежа после подорожания по
остальным двум видам услуг будет на 50% 35% −10% = 5% меньше. Эти
5% доля телефонии в числе 50% оплаты за все услуги. Тем самым, доля
оплаты за телефон составляет 5/50 или 10% от общей суммы.
Ответ: 10%.
Задача 3.
Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в
акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% в строительство
торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может
принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект
от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам
и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой
должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую
наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от сум-
марных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса
может при этом получить банк.
Решение.
Пусть средства клиентов, имеющихся в банке, составляет S у.е.
Наименьшая прибыль, которую банку могут принести оба проекта 0,25S.
30
0,3S*1,32+0,7S*1,22=0,25S,

*100%=5%
Банк получит наименьшую чистую прибыль если он своим клиентам вы-
платит проценты по высшей ставке (20%) . Рассчитаем этот показатель:
Наибольшая прибыль, которую банку могут принести оба проекта 0,3S.
0,3S*1,37+0,7S*1,27-S=0,3S,

 
Банк получит наибольшую чистую прибыль, если банк своим клиентам
выплатит проценты по низшей ставке (10%).
Ответ: 5%; 20%.
4.5. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.
Для решения задач на смеси и сплавы, на концентрации нужно уметь
рассуждать и решать задачи на дроби и проценты, на составление уравнений
и их систем. Эти задачи решаются арифметически, применением линейного
уравнения и их систем.
Задача 1.
Сколько граммов воды надо добавить к 50г раствора, содержащего 8% соли,
чтобы получить 5% раствор?
Решение:Пусть: х - количество воды, которое надо добавить
(50+х) новое количество раствора
50* 0,08 количество соли в исходном растворе
0,05(50+х) количество соли в новом растворе
Так как количество соли от добавления не изменилось, то оно одинаково в
обоих растворах – и в исходном, и в новом.
Получаем уравнение:50*0,08 = 0,05(50+х)
31
50*8 = 5*(50+х)400= 250+5х
-5х= -150х = 30 (г.)
ОТВЕТ: 30 граммов воды надо добавить, чтобы получить 5% раствор.
Вывод: решила задачу с помощью уравнения.
Задача 2.
При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты
получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было
для этого взято?
Решение
1-й способ
Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмём для
смешивания х г 5%-ного раствора кислоты ( г) и у г 40%-ного раствора
(или г).
Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т.е.
г, то получаем следующее уравнение:
Кроме того,
Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:
Из этой системы находим ,
Итак, 5%-ного раствора кислоты следует взять 40 г, а 40%-ного раствора—
100 г.
32
2-й способ (старинный)
Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от
них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который
должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа
чёрточками, получим такую схему:
Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем
меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки.
Получится такая схема:
Из неё делается заключение, что 5%-ного раствора следует взять 10 частей
или 10х, а 40%-ного – 25 частей или 25х. Составляем
уравнение: , , отсюда , а , т.е. для
получения 140 г 30%-ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40 г, а
40%-ного – 100 г.
33
Задача «на сухое вещество или на вещество, которое не меняется»
Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного
хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась масса арбуза?
Решение. Свежий арбуз на 99% состоит из жидкости и на 1% – из сухой
массы.
В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от
новой, также уменьшившейся массы арбуза. Количество же сухого вещества,
оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное
содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе)
увеличилось вдвое. Следовательно, масса арбуза в результате усушки
уменьшилась вдвое.
Задача. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие-12% воды.
Сколько сухих грибов получится из 22 кг свежих?
Решение
1 способ (отрезками)
При сушке грибов испаряется вода, а масса сухого вещества не изменяется!
34
Запишем решение по шагам:
1. составляет сухое вещество в свежих грибах
2. 100% 22 кг
10% х кг
кг – масса сухого вещества в свежих грибах
3. составляет сухое вещество в сухих грибах
4. 88% 2,2 кг
100% х кг
Отсюда, кг
Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг
2 способ (таблицей)
%воды
Масса
(кг)
% содержания сухого
вещества
Масса сухого
вещества
свежие
90%
22
10%
22*0,1=2,2
сухие
12%
х
88%
0,88х
35
Из таблицы видно, что: 0,88х = 2,2 х =


= 2,5кг
Ответ: 2,5 кг сухих грибов.
3 способ (через площади прямоугольников)
Решение
Запишем это решение по шагам:
1. В прямоугольной системе координат на осях координат обозначаем
массу грибов в кг и сухое вещество в процентах (в порядке
возрастания)
2. Через данные точки проводим прямые, перпендикулярные осям
координат
3. Находим площади полученных прямоугольников:
,
4. Приравнивая площади, получаем уравнение:
Отсюда, кг
Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг
4 способ (уголком)
36
Решение
Запишем это решение по шагам:
1. На сторонах угла обозначаем массу грибов в кг и сухое вещество в
процентах
2. Пересекаем стороны угла параллельными прямыми ( , )
3. Составляем пропорцию:
Отсюда, кг
Ответ: масса сухих грибов 2,5 кг
Исходя из опыта работы, большая часть учащихся при решении задач «на
сухое вещество или на вещество, которое не меняется» предпочтение отдаёт
4 способу.
Поэтому следующие задачи решим наиболее рациональным способом –
«уголком».
Задача 2. Имеется 0,5 тонн целлюлозной массы, содержащей 85% воды.
Сколько кг воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25%
целлюлозы?
Решение
«сухое вещество» целлюлоза
37
1. Пусть , вода, которую надо выпарить
2. Составляем пропорцию:
Отсюда, кг
Ответ: надо выпарить 200 кг воды
Задача 3. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды
надо добавить к 15 л морской, чтобы концентрация соли составила 1,5%?
Решение
«сухое вещество» - соль
1. Пусть , вода, которую надо добавить
38
2. Составляем пропорцию:
Отсюда, л.
Ответ: надо добавить 35 л воды.
Задача 4. Имеется 735 г 16%-ного раствора йода в спирте. Нужно получить
10%-ный раствор йода. Сколько граммов спирта надо добавить?
Решение
«сухое вещество» – йод
1. Пусть , спирт, который надо добавить.
2. Составляем пропорцию:
Отсюда, г
Ответ: надо добавить 441 г спирта.
Задача 5. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в
растворе будет содержаться 70% соли. Найти массу соли в первом
растворе.
Решение
Будьте внимательны! В отличие от предыдущих задач, «вещество, которое
не меняется» – вода. (Количество воды – постоянно, а соль добавляется.)
39
1. воды в первом растворе
воды во втором растворе
2. Пусть , г добавка соли
3. Составляем пропорцию:
Отсюда, г первоначальный раствор.
4. 100% 120 г
40% х г
Отсюда, г
Ответ: 48 г соли в первоначальном растворе.
Задача 6. Смешали индийский и грузинский чай. Индийский чай составил 30%
всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120 г индийского чая, то он
будет составлять 45% смеси. Найти массу индийского чая в первоначальной
смеси.
Решение
«Вещество, которое не меняется» – грузинский чай.
40
1. грузинского чая в первой смеси
грузинского чая во второй смеси
2. Пусть первая смесь, добавка индийского чая
3. Составляем пропорцию:
Отсюда, г первая смесь
4. 100% 440 г
30% х г
Отсюда, г
Ответ: 132 г индийского чая
Задача 7. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди.
Какую массу меди нужно прибавить к этому куску, чтобы получить сплав,
который содержит 60% меди?
Решение
«Вещество, которое не меняется» – цинк
41
1. цинка в первом сплаве
цинка во втором сплаве
2. Пусть первый сплав, добавка меди
3. Составляем пропорцию:
Отсюда, кг
Ответ: нужно добавить 13,5 кг меди.
Задача №8.
Один раствор содержит 20% соли, а второй — 70%. Сколько граммов
первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 г 50%-го
солевого раствора?
Решение. Решим задачу по правилу «креста». Составим
схему:
Значит, 100 г смеси составляют 50 частей. Одна часть — 100: (30 + 20) - 2 г,
70%-й раствор — 2 30 = 60 г, 20%-й раствор — 2 • 20 = 40 г.
Ответ: 20%-го 40 г, 70%-го 60 г.
42
Задача 5.
Один раствор содержит 20 % соли, а второй – 70 %. Сколько граммов первого и второго
раствора нужно взять, чтобы получить 100 г 50% раствора.
Решение:
Применим правило “креста”.
Составим схему:
Значит, 100 г смеси составляют 20 + 30 = 50 частей.
100 : ( 20 + 30 ) = 2 г - на 1 часть.
2 * 20 = 40 г – 20% раствора
2 * 30 = 60 г – 70 % раствора
Ответ: 40 г- 20 % раствора; 60 г- 70 % раствора.
Задача 6.
Первый сплав содержит 10 % меди, второй - 25 % меди. Из этих двух сплавов получили
третий сплав массой 30 кг, содержащий 20 % меди. Какое количество каждого сплава было
использовано?
Решить задачу разными способами: системой уравнений, линейным уравнением, “крестом”.
(по рядам.)
1 способ: (система уравнений)
% содержания вещества
Масса сплава
Масса меди
1 сплав
10% = 0,1
Х кг
х * 0,1
2 сплав
25% = 0,25
У кг
у * 0,25
сплав
20 % = 0,2
3 кг
3 * 0,2
0,15 у = 0,3 у = 2 , значит х = 1.
Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.
43
2 способ: ( линейное уравнение)
% содержания вещества
Масса сплава
Масса меди
1 сплав
10% = 0,1
Х кг
х * 0,1
2 сплав
25% = 0,25
3 - х кг
( 3 х) * 0,25
сплав
20 % = 0,2
3 кг
3 * 0,2
х * 0,1 + ( 3 - х ) * 0,25 = 3 * 0,2
х * 0,1 + 0,75 - х * 0,25 = 0,6
- 0,15 х = - 0,15
х = 1, значит 3 – 1 = 2.
Ответ : 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.
3 способ: (“крест”)
5+10 = 15 частей в 3 кг
3: 15 = 0,2 кг – в 1 части.
На 5 частей – 0,2 * 5 = 1 кг
На 10 частей - 0, 2 * 10 = 2 кг
Ответ: 1 сплав – 1 кг, 2 сплав – 2 кг.
Защита решения задачи (по одному ученику от ряда представляют свое решение ).
Вывод: Разные способы решения дают одинаковый результат. И вы сами выбираете тот путь
решения, который больше подходит для данной задачи.
Задача 7.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй 40%
меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух
сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу тре-
тьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Решение.
Пусть масса первого сплава m кг, а масса второ ( m+3) кг, масса третье-
го сплава ( 2m+3) кг. Первый сплав содержит 10% меди, второй 40% меди,
третий сплав – 30% меди. Тогда:
  
  

  

      
44
2m+3=2*3+3=9
Таким образом, масса третьего сплава равна 9 кг.
Ответ: 9.
Задача 8.
Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй 20 кг раствора
кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится
раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих рас-
творов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограм-
мов кислоты содержится в первом сосуде?
Решение.
Пусть концентрация первого раствора кислоты X, а концентрация второ-
го Y. Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержа-
щий 68% кислоты: 30X+20Y=50*0,68.
Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содер-
жащий 70% кислоты: mX+mY=2m*0,7. Решим полученную систему урав-
нений:
   {3X+3Y=4,2 {X=0,6
30X+20Y=34, 3X+2Y=3,4 Y=0,8 X=30*0,6=18
Ответ: 18.
Задача № 362
Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный – 15%. Сколько получится сушеных грибов из
17кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4кг сушеных?
Решение.
Составим таблицу:
1 часть задачи:
Вещество
Масса
вещества (кг)
Процентное
содержание воды
Процентное содержание
сухого вещества
Масса сухого
вещества (кг)
Свежий
гриб
17
90%
10%
17 х 0,1 = 1.7
Сушеный
гриб
х
15%
85%
0,85х
Так как масса сухого вещества в сухих и свежих грибах остается неизменной, получим
уравнение: 0,85х = 1,7,
х = 1,7 : 0,85,
х = 2.
45
2 часть задачи:
Вещество
Масса
вещества (кг)
Процентное
содержание воды
Процентное содержание
сухого вещества
Масса сухого
вещества (кг)
Свежий
гриб
х
90%
10%
0,1х
Сушеный
гриб
3.4
15%
85%
3,4 ?0,85 = 2,89
0,1х = 2,89,
х = 2,89 : 0,1,
х = 28.9.
Ответ: из 17кг свежих грибов получится 2кг сушеных; чтобы получить 3,4кг сушеных грибов,
надо взять 28,9кг свежих.
Задача № 573
Свежий виноград содержит 90% воды, а изюм – 55%. Сколько изюма получится из 13,5кг
винограда? Сколько винограда надо взять, чтобы получить 10кг изюма?
Задача №575
На столе лежал расколотый арбуз массой 10кг, содержащий 99% воды. Через некоторое
время часть воды испарилась, и ее процентное содержание в арбузе понизилась до 96%.
Найдите новую массу арбуза.
Решение:
Вещество
Масса
вещества (кг)
Процентное
содержание воды
Процентное содержание
сухого вещества
Масса сухого
вещества (кг)
Свежий арбуз
10
99%
1%
0,1
“Высохший”
арбуз
х
96%
4%
0,04х
0,04х = 0,1,
х = 2,5.
Ответ: 2,5кг новая масса арбуза
Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова “Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9-м классе”
Задача № 7.29(1)
Влажность свежескошенной травы 60%, сена 20%. Сколько сена получится из 1т
свежескошенной травы?
Задача № 7.29.(2)
Влажность свежих грибов 90%, а сухих 15%. Сколько сухих грибов получится из 1,7 кг
свежих?
5.Заключение.
46
В данной методической разработке рассмотрены основные методы решения
задач на проценты и различные виды задач, что является важной частью
изучение математики. Здесь рассмотрены задачи на составление « смесей » и
на такое понятие как « концентрация ». Рассмотрены экономические задачи,
которые не так давно были введены в профильный уровень ЕГЭ.
Хочется отметить, что тема работы очень актуальна, тем более в
наше время, когда на первое место в отношениях становится экономика, а
проценты приобрели широкое распространение в нашей жизни. В школах
уделяется мало времени на изучения процентов, да и порой традиционными
способами решить задачу бывает учащимся достаточно трудно.
Решение задач на проценты – это несложный процесс, просто необходимо
знать методы решения и иметь аналитическое мышление. Знание способов
решения задач на проценты очень полезны, так как по данному принципу
можно решать и сложные, и меж предметные, и логические задачи.
Можно сделать вывод, что эту тему не только можно, но и нужно
вводить на факультативных занятиях по математике и на консультациях, а
так же отводить время для решения задач на проценты на уроках.
47
5. Используемая литература
1. Ю.Н. Владимиров «Вступительные испытания по математике в 1998 –
2000 годах » Новосибирск 2000 г.
2. ДепманаИ.Я. , Н.Я. Виленкина « За страницами учебника математики» М.,
Просвещение, 1989
3. Журнал « Математика » № 3 Москва 1998 г.
4. Журнал « Завуч » № 4 Москва 1999 г
5. КорольковаГ.В.. «Методическое пособие по математике».
6. Волгоград 1996 г.
7.Лурье М.В., Б.И. Александров. « Задачи на составление уравнений» М. ,
Просвещение. 2011г.
8.Садовничий Ю.В. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с
решениями. Часть 6. Решение текстовых задач. Учебное пособие.- 3-е изд.,
стер. - М.: Издательский отдел УНЦ ДО, 2003г. (серия <В помощь
абитуриенту>).
9.Ткачук В.В, Математика - абитуриенту. - 9-е изд., исправленное и
дополненное. М.: МЦНМО,2002г.
10.Тоом А. Как я учу решать текстовые задачи. - Еженедельная учебно-
методическая газета <Математика>, №46, 47, 2004г.
11.http://lib.repetitors.eu/matematika
12.http://math-prosto.ru/percent/percent3.html