Презентация "Различные способы решения задач на многогранники в рамках подготовки учащихся к ЕГЭ по математике" 11 класс

Различные способы решения задач на многогранники в рамках подготовки учащихся к ЕГЭ по математике Мастер-класс учителя математики высшей категории МОУ Гимназии № 1 г. Новоалександровска Новиковой Н.Н. Основные задачи на многогранники:

• расстояние между двумя точками;
• расстояние от точки до прямой;
• расстояние от точки до плоскости;
• расстояние от прямой, параллельной данной плоскости, до этой плоскости;
• расстояние между скрещивающимися прямыми;
• угол между пересекающимися прямыми;
• угол между скрещивающимися прямыми;
• угол между прямой и плоскостью;
• угол между двумя плоскостями.

Основные методы решения:

• поэтапно-вычислительный метод;
• координатный метод;
• координатно – векторный метод;
• метод объемов;
• метод ключевых задач;
• векторный метод.

Вычисление расстояния от точки до плоскости Способы решения задачи:

• поэтапно-вычислительный способ;
• метод объемов;
• координатный метод.

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

А

α

а

А

H

Н

Задача № 1. Вычисление расстояния от точки до плоскости № 1. В правильной четырехугольной пирамиде ABCDP с вершиной P сторона основания равна 3, а высота 2. Найдите расстояние от вершины А до плоскости PCD.

Р

А

С

В

о

D

3

2

Поэтапно - вычислительный метод: AB || DC, AВ || (PCD), р (A, (PCD)) = р (АB, (PCD)) = р (М,(РСD)) = МН ( МН - высота Δ МКР )

Р

А

С

В

о

D

3

2

к

М

Н

наглядность и очевидность

• наглядность и очевидность
• простота вычислений
• требует развитого пространственного мышления и уверенного владения теоретическим материалом

Преимущества метода

Недостатки метода

Метод объемов:

Р

А

С

В

о

D

3

2

   

Р

А

С

о

D

3

2

Метод объемов:

наглядность и очевидность

• наглядность и очевидность
• простота вычислений
• требует развитого пространственного мышления (умение мысленно вычленять нужный объект)
• ограниченность применения

Преимущества метода

Недостатки метода

Координатный метод:  

А

С

В

о

D

3

2

Х

У

Z

Р

работа по алгоритму

• работа по алгоритму
• удобно ввести прямоугольную систему координат
• решение системы из трех уравнений
с четырьмя переменными
• трудно запоминающаяся формула

Преимущества метода

Недостатки метода

Вычисление угла между плоскостями Способы решения задачи:

• поэтапно-вычислительный способ;
• координатный метод.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости.

Градусной мерой двугранного является градусная мера его линейного угла.

α

β

a

α

β

a

Две пересекающиеся

плоскости образуют четыре

двугранных угла. Углом

между этими плоскостями

называется двугранный угол,

не превосходящий остальные

двугранные углы.

φ

α

β

Угол между двумя

плоскостями α и β можно

найти, как угол:

• между плоскостями, параллельными данным плоскостям α и β ;
• между перпендикулярами

a и b к данным плоскостям.

a

b

α

β

φ

φ

Задача № 2. Вычисление угла между плоскостями №2. В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=3:2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1 .

 

 

 

 

А

 

С

В

Е

5

2

Поэтапно – вычислительный метод:

 

 

 

 

А

 

С

В

Е

5

2

Поэтапно – вычислительный метод:

 

 

 

 

А

 

С

В

Е

М

Поэтапно – вычислительный метод:

 

 

 

 

А

 

С

В

Е

2

3

2

К

Н

2

3

φ

М

Поэтапно – вычислительный метод:  

 

 

 

 

А

 

С

В

Е

2

3

2

К

Н

2

3

φ

М

несложные математические расчеты

• несложные математические расчеты
• известные математические формулы
• нестандартность ситуации
• требует развитого пространственного мышления и уверенного владения теоретическим материалом

Преимущества метода

Недостатки метода

Координатный метод:  

 

 

 

 

А

 

С

В

Е

х

у

z

2

2

работа по алгоритму

• работа по алгоритму
• удобно ввести прямоугольную систему координат
• не требуется проводить дополнительные построения
• решение системы уравнений с тремя неизвестными
• в формуле возможна ошибка с выбором тригонометрической функции

Преимущества метода

Недостатки метода

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми Способы решения задачи:

• поэтапно-вычислительный метод;
• метод проекций.

Расстояние между двумя

скрещивающимися прямыми

равно длине их общего

перпендикуляра.

а

b

А

В

а

b

А

Н

а

b

Н

• заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через данные скрещивающиеся прямые , и найти расстояние между этими плоскостями;

А

• построить плоскость, перпендикулярную одной из двух прямых, и построить проекцию второй прямой на эту плоскость, искомое расстояние – есть расстояние между проекциями этих прямых на построенную плоскость

(метод проекций) .

а

b

А

Н

Задача № 3. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

А

 

В

D

C

 

 

 

№ 3. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми АВ1 и А1С1.

1

1

1

АС || А1С1 ,

А

 

В

D

C

 

 

 

АС || А1С1 , А1С1 || (АВ1С) , ρ (А1С1 , АВ1 ) = = ρ (А1С1 , (АВ1С))= = ρ (С1 , (АВ1 С )) . Далее координатный метод или метод объемов.

1

1

1

наглядность

• наглядность
• простота дополнительных построений
• требует определенных навыков и владения теоретическим материалом

Преимущества метода

Недостатки метода

Метод проекций:

А

 

В

D

C

 

 

 

 

 

О

Н

 

 

 

 

 

О

Н

1

1

1

 

С

простые вычисления

• простые вычисления
• возможность применить в более сложной ситуации
• сложные дополнительные построения
• требует пространственного мышления

Преимущества метода

Недостатки метода

Порешаем? Порешаем?

С

 

В

D

А

 

 

 

 

 

Используемые материалы:

• Учебник Геометрия 10-11 класс, Л.С.Атанасян, Просвещение, М, 2010 г;
• Математика, ЕГЭ 2013 , Многогранники, типы задач и методы их решения, Корянов А.Г., Прокофьев А.А.;
• Математика, ЕГЭ 2013, типовые тестовые задания, Семенов А.Л., Ященко И.В. Экзамен, М, 2013 г;
• Alexlarin.net 2013.

Спасибо за сотрудничество! Коллеги, желаю Вам успехов и достижений !