Различные способы решения задач на многогранники в рамках подготовки учащихся к ЕГЭ по математике

Подписи к слайдам:

Различные способы решения задач на многогранники в рамках подготовки учащихся к ЕГЭ по математике . Основные задачи на многогранники:

расстояние между двумя точками;
расстояние от точки до прямой;
расстояние от точки до плоскости;
расстояние от прямой, параллельной данной плоскости, до этой плоскости;
расстояние между скрещивающимися прямыми;
угол между пересекающимися прямыми;
угол между скрещивающимися прямыми;
угол между прямой и плоскостью;
угол между двумя плоскостями.

Основные методы решения:

поэтапно-вычислительный метод;
координатный метод;
координатно – векторный метод;
метод объемов;
метод ключевых задач;
векторный метод.

Вычисление расстояния от точки до плоскости Способы решения задачи:

поэтапно-вычислительный способ;
метод объемов;
координатный метод.

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

Задача № 1. Вычисление расстояния от точки до плоскости № 1. В правильной четырехугольной пирамиде ABCDP с вершиной P сторона основания равна 3, а высота 2. Найдите расстояние от вершины А до плоскости PCD.

Поэтапно - вычислительный метод: AB || DC, AВ || (PCD), р (A, (PCD)) = р (АB, (PCD)) = р (М,(РСD)) = МН ( МН - высота Δ МКР )

Метод объемов:

Координатный метод:

Вычисление угла между плоскостями Способы решения задачи:

поэтапно-вычислительный способ;
координатный метод.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости.

Градусной мерой двугранного является градусная мера его линейного угла.

Две пересекающиеся

плоскости образуют четыре

двугранных угла. Углом

между этими плоскостями

называется двугранный угол,

не превосходящий остальные

двугранные углы.

Угол между двумя

плоскостями α и β можно

найти, как угол:

между плоскостями, параллельными данным плоскостям α и β ;
между перпендикулярами

a и b к данным плоскостям.

Задача № 2. Вычисление угла между плоскостями №2. В правильной четырехугольной призме АВСDА1В1С1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=3:2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1 .

Поэтапно – вычислительный метод:

Координатный метод:

работа по алгоритму

работа по алгоритму
удобно ввести прямоугольную систему координат
не требуется проводить дополнительные построения
решение системы уравнений с тремя неизвестными
в формуле возможна ошибка с выбором тригонометрической функции

Преимущества метода

Недостатки метода

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми Способы решения задачи:

поэтапно-вычислительный метод;
метод проекций.

Расстояние между двумя

скрещивающимися прямыми

равно длине их общего

перпендикуляра.

заключить данные прямые в параллельные плоскости, проходящие через данные скрещивающиеся прямые , и найти расстояние между этими плоскостями;

построить плоскость, перпендикулярную одной из двух прямых, и построить проекцию второй прямой на эту плоскость, искомое расстояние – есть расстояние между проекциями этих прямых на построенную плоскость

(метод проекций) .

Задача № 3. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

№ 3. В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми АВ1 и А1С1.

АС || А1С1 ,

АС || А1С1 , А1С1 || (АВ1С) , ρ (А1С1 , АВ1 ) = = ρ (А1С1 , (АВ1С))= = ρ (С1 , (АВ1 С )) . Далее координатный метод или метод объемов.

Метод проекций: