Ученики на Учителя.com


Исследовательская работа "Различные способы решения одной геометрической задачи"

Исследовательская работа по теме:
« Различные способы решения одной геометрической
задачи»
Выполнила ученица 9 «Б» класса
Бадоева Валерия
Руководитель: Басиева М. ДЗ.
Цель: показать разные подходы при решении одной задачи, используя изученный
материал геометрии.
Геометрия – это не просто наука о свойствах геометрических фигур.
Геометрия - это целый мир, который окружает нас с самого рождения.
Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не
ускользает от ее внимательного взгляда.
Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит
внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и
думать, думать и делать выводы.
В качестве эпиграфа своего выступления я взяла слова известного математика
Джорджа Пойа: « Лучше решить одну задачу несколькими способами,
чем несколько задач – одним»
Задача:
Найти площадь трапеции, основание которой равны 20 см и 10 см, а боковые стороны
равны 6 см и 8 см.
Дано: АВСД- трапеция, B 10 C
АВ=6см, ВС=10см,
СД=8см, h h
АД=20см. 6 8 рис.1
Найти:S
АВСД
A D
M N
Первое решение (рис.1).
Проведем отрезки BM и CN так, что BM┴AD и CN┴AD,тогда BCNM-
прямоугольник, поэтому BM=CN и BC=MN. Но в таком случае AM+ND=10.
Пусть AM=x, откуда ND=10-x. Используя теорему Пифагора, выразим h из треугольников
ABM и DCN:
h =6 -x , h =8 -(10-x) ,
откуда 6 -x =8 -(10-x) .Это уравнение приведем к виду
36- x =64-100+20*x- x
20*x=72,
X=3.6 (см).
Находим h: h =6 -3,6 =36-12,96=23,04=4,8
Отсюда h=4,8 (см),
S = *h = *4,8 = 72 (см )
Ответ:72(см ).
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ABCD
2
ADBC +
2
2010 +
2
2
Второе решение.
Пусть BN┴AD и BK║CD, тогда BCDK- параллелограмм, рис.2
Откуда BK=CD=8 см, KD=BC=10 см. Пусть AN=x см, тогда NK=(10-x) см.
Дальнейшее рассуждения полностью совпадают с первым решением.
Третье решение.
Пусть BN┴AD и BK║CD, тогда BCDK- параллелограмм (рис.2)
Рис.3
Откуда BK=CD=8 см, KD=BC=10 см.
Рассмотрим треугольник ABK:AB=6см, BK=8см, AK=10см. Так как 10 =6 +8 ,то
треугольник ABK-прямоугольный, используя обратную теорему Пифагора. Применим
одно из следствий теоремы Пифагора, в котором говорится о том, что квадрат катета
равен длине проекции этого катета на гипотенузу, умноженную на длину гипотенузы. Для
нашего случая:
6 =x*10,
X = 3,6.
Применяя теорему Пифагора к треугольнику ABN,вычислим h:
h =6 - 3,6 = 36-12,96=23,04=4,8
h = 4,8 см.
Теперь можно продолжить рассуждения так же, как в первом решении. Рис.3
Рассмотрев три решения, в которых важную роль играют алгебраические выкладки, мы
захотели в дальнейшем не применять алгебраические методы, а предоставить чисто
геометрическое доказательство.
2
2
2
2
2
2
2
2
Четвертое решение.
Проводим BK║CD, тогда BCDK- параллелограмм, откуда BC=KD=10см, поэтому
AK=AD-KD=10см. Тогда треугольник ABK- прямоугольный ( по теореме,
обратной теореме Пифагора, так как 10 =6 +8 ).
Площадь треугольника ABK вычисляется как полу произведение его катетов, т. е.
S = = =24(см ).
В то же время, S = , откуда
h= = =4,8 (см).
Значит, S = *h= *4,8=72 (см )
Попробуем теперь решить эту задачу, используя тригонометрические зависимости в
прямоугольных треугольниках. Для этого нам понадобятся лишь фрагменты чертежа,
которыми сопровождались первые четыре решения. Рис. 3
Пятое решение.
По теореме. Обратной теореме Пифагора, треугольник ABK-прямоугольный рис.3
Рис. 4
Тогда sin = = .
Но треугольник ABN-тоже прямоугольный (по построению BN┴AK).
Тогда BN=AB* sin =6* =4,8 (см). Аналогичные выкладки можно проделать
и для угла .
Дальнейшее решение аналогично..
Возникает вопрос: «А можно ли обойтись без теоремы Пифагора?». Теорема Пифагора
каждый раз использовалась для нахождения того элемента вспомогательного
треугольника, который был необходим для вычисления его площади. Попробуем теперь
0
90=ABN
2
2
2
ABK
2
8*6
2
ABK
2
*hAK
AK
S
ABK
*2
10
24*2
ABCD
2
ADBC +
2
2010 +
2
10
8
5
4
5
4
вычислить площадь вспомогательного треугольника. Не используя его высоту и
основание.
Шестое решение.
В треугольнике ABK известны все три стороны, поэтому для нахождения площади
можно применить формулу Герона. Для этого сначала посчитаем полупериметр
треугольника ABK. По определению
p= = =12 (см).
А теперь займемся вычисление площади:
S = = = =24 (см )
Но S = , отсюда
h= = 4,8 (см).
Тогда площадь трапеции S = *4,8=72 (см )
После того как рассмотрены методы, которые основываются на свойстве сторон
параллелограмма, на понятии площади и на теореме Пифагора, появляется цель «извлечь»
решение задачи из темы «Подобие фигур». Для этого достраиваем трапецию до
треугольника, продолжив отрезки ABи ДС до пересечения в точке M.
Седьмое решение.
Проведем BK║CD и устанавливаем, что BC=KD, тогда AK=10. По теореме, обратной
теореме Пифагора, устанавливаем, что =90 , но тогда и угол при вершине M равен
90 по теореме об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.
рис5
Треугольники ABKи AMD-подобны (по двум равным углам: угол A-общий, ),
коэффициент подобия k=2, так как k= . Отсюда AM=AB*k=12см, DM=BK*k=16см. Но
2
cba ++
2
1086 ++
ABK
))()(( cpbpapp −−−
2*4*6*12
22
46
2
ABK
2
*10 h
10
*2
ABK
S
ABCD
2
2010 +
2
ABK
0
0
MB =
AK
AD
тогда BM=6см, MC=8см, так как B –середина отрезка AM , C-середина отрезка MD.
Поскольку треугольники AMD и BMC прямоугольные,
S = (см ),
S = (см ).
Теперь легко найти площадь трапеции:
S = S - S =96-24=72 (см ).
В этом решении была использована лишь часть того, что можно было извлечь из подобия
треугольников ( т. е. лишь зависимость между сторонами подобных треугольников). Но
можно изменить последний фрагмент решения и воспользоваться тем фактом, что
отношение площадей подобных треугольников равно k ,
т. е. S = k * S =4*24=96 (см ).
Тогда S = S - S =96-24=72 (см ).
Последняя строка этого решения могла бы выглядеть иначе:
S = S - S = 4* S - S =3* S =3*24=72 (см ).
Увидев, что S =3* S , решили эту задачу еще одним способом.
Восьмое решение.
Проводим BK║CD и соединим точки C и K
(рис. 5)
Треугольники ABK и CKB равны по двум сторонам и углу между ними:
как внутренние накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей BK, BK-общая.
Тогда AK=BC. Аналогично доказывается равенство треугольников CKB и KCD.
Получили три равных треугольника ABK, BKC и KCD. Тогда
S =3*S =3* (см ).
На самом деле решений было больше, но все они полностью или частично сводятся к
уже рассмотренным.
Выводы:
Решая одну задачу разными способами можно путем сравнения выяснить, какой из них
короче и эффективнее. Одни задачи проще решаются арифметическим способом, другие
алгебраическим или иными способами.
Различные способы решения одной и той же задачи помогают находить не только
разные пути решения, но помогут и в других ситуациях какими бы они ни казались
«безвыходными». Рассуждая по разному, пришли к одному верному результату, что
является еще одним способом проверки правильности решения задачи.
BMC
=
2
*MCBM
24
2
8*6
=
2
AMD
96
2
16*12
2
*
==
DNAM
2
ABCD
AMD
BMC
2
2
AMD
2
BMC
2
ABCD
AMD
BMC
2
ABCD
AMD
BMC
BMC
BMC
BMC
2
ABCD
BMC
KBCAKB =
ABCD
BKC
72
2
8*6
=
2
Решение любых математических задач есть, по сути дела, модель разумного подхода к
решению любых бытовых, практических, технических и иных задач, которые будут
повседневно встречаться нам на протяжении всей жизни.
• Список используемой литературы.
• Атанасян Л. С. Геометрия 7-9 . Просвещение 2015 г.
• Готман Э.Г. Решение геометрических задач аналитическим способом. Москва.
Просвещение 1989 г.
• Киселёв А.П. Элементарная геометрия. Москва. Просвещение 1998 г.
• Лысенко Ф.Ф. Подготовка к ОГЭ 2015 – 2018г. Легион. Ростов на Дону.
• Рахмист Р.Б. Методы решения геометрических задач. Москва 2003г.
• Фирсов В.В. Избранные вопросы математики. Москва
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: