Ученики на Учителя.com


Решение уравнений, содержащих параметр

Научное общество учащихся «Эврика»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Школа №54»
Советского района г. Н. Новгорода
Решение уравнений, содержащих параметр
Выполнил: Голубев Михаил
ученик 9 «А» класса
Научный руководитель:
Дренина Е. Ю.
учитель математики
Н. Новгород
2019
2
Содержание
Введение……………………………………………………...………………...3
Глава 1. Уравнения с параметром………....………………...………...…...…5
1.1. Историческая справка……….……………….………….......………5
1.2. Теоретическое обоснование………………………………………...6
Глава 2. Методы решения уравнений, содержащих параметр………….......9
2.1. Алгоритм решения аналитическим методом……..………………..9
2.2. Алгоритм решения графическим методом…………………...….10
Глава 3. Решение уравнений с параметром………………………..…….....12
3.1. Аналитический метод……………………………………………..12
3.2. Графический метод…….…………………………….…………….17
Заключение…………………………………………………………..…….....27
Список используемой литературы…………………...……………………...28
3
Введение
«Все математики знали,
что под алгеброй были скрыты
несравненные сокровища,
но не умели их найти.»
Франсуа
́
Вие
́
т, сеньор де ля Биготье
Для современного школьника основной задачей в школе является
успешная сдача ОГЭ, а затем ЕГЭ. Но, к сожалению, времени на уроках
недостаточно для глубокого и основательного изучения некоторых тем.
В 7 классе мы изучали линейные уравнения вида ax = b, в 8 познакомились
с квадратными уравнениями ax
2
+ bx + c = 0, содержащими параметр.
Задания с параметром очень интересные, однако они требуют особого
внимания к себе. Для успешного решения таких задач нужно овладеть
основными приёмами и методами исследования условия задачи, научиться
классифицировать задания по виду и по способам решения. Это связано с тем,
что каждое уравнение с параметром представляет собой целый класс обычных
уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.
В школьных учебниках по математике в последнее время всё чаще стали
появляться уравнения, неравенства и системы, содержащие параметр. Также
подобные задачи включены в ОГЭ и ЕГЭ.
Анализ предыдущих результатов ГИА и ЕГЭ показывает, что школьники с
большим трудом решают задания с параметром, а многие даже не приступают к
ним, либо приводят громоздкие вычисления. Причиной этого является
отсутствие системы знаний по данной теме.
При решении заданий с параметром в 8 и 9 классе возникает много
сложностей, поэтому чтобы лучше понять, усвоить материал, мы решили
заняться подробным изучением и исследованием темы «Решение уравнений,
содержащих параметр».
4
В данной работе мы рассмотрим различные методы решения уравнений с
параметром, это поможет в будущем успешно сдать экзамены. Наша работа
состоит из двух частей: теоретической и практической. В теоретической части
мы попытаемся определить понятие «уравнения с параметром» и описать все
способы решения подобных уравнений. В практической части мы предложим
решение для некоторых уравнений, содержащих параметр.
Задачи с параметром помогают овладеть формулами элементарной
математики, методами решения уравнений и неравенств, умением выстраивать
цепочку рассуждений, повышают уровень логического мышления у учащихся,
что необходимо для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нашу работу можно
назвать актуальной.
Целью работы является углубленное изучение методов решения
уравнений с параметром.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие
задачи:
1. Изучить литературу по теме исследования.
2. Раскрыть понятие «уравнение с параметром».
3. Рассмотреть различные методы и способы решения уравнений с
параметром.
4. Решить некоторые уравнения, содержащие параметр с помощью
различных методов.
Объектом исследовательской работы являются уравнения с параметром.
Предметом исследования мы избрали различные методы решения уравнений,
содержащих параметр.
5
Глава 1. Уравнения с параметром
1.1. Историческая справка
Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом
трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и
астрономом Ариабхаттой.
В алгебраическом трактате Ал-Хорезми дается классификация линейных
и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов
уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. αx
2
= bx.
2) «Квадраты равны числу», т. е. αx
2
= c.
3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx
2
+ c = bx.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx
2
+ bx = c.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. αx
2
+ bx = c.
Формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми в Европе были
впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским
математиком Леонардо Фибоначчи – основа аналитического метода решения
уравнений с параметром.
Понятие переменной величины было введено в науку французским
философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел
к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт
ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения
других отрезков к нему – основа графического метода решения уравнений с
параметром.
6
1.2 Теоретическое обоснование
Уравнение с параметром – это уравнение, в котором некоторые
коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены
буквами (параметрами). Такие уравнения называют еще параметрическими.
Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:
1. В условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это
значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один
случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным
нельзя.
2. Требуется указать возможные значения параметра, при которых
уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами.
Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения,
принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко
указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.
Сложное уравнение с параметром, как правило, сводится к более простому
- линейному. Поэтому существует такой алгоритм действий:
1. Найдем множество всех доступных значений параметров;
2. Перенесем все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а
все члены, не содержащие неизвестного в правую;
3. Приведем подобные слагаемые;
4. Решаем уравнение вида ax = b.
Для того чтобы начать решать уравнения с параметром, необходимо
вспомнить все ранее изученное.
Равенство с переменной x: f (x) = g (x) называется уравнением с одной
переменной x. Всякое значение переменной x, при котором выражения f (x) и
g (x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.
Решить уравнение – это значит найти его корни или доказать, что их нет.
Например, уравнение 3 + x = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом
и только при этом значении переменной 3 + x = 7 – верное равенство.
7
Линейным уравнением с одной неизвестной x называют уравнение вида ax
= b, где a и b – действительные числа; a называют коэффициентом при
переменной, b – свободным членом.
Для линейного уравнения ax = b могут представиться три случая:
1. a 0; в этом случае корень уравнения равен
;
2. a = 0, b = 0; в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ x = 0, что верно при
любом x, т.е. корнем уравнения служит любое действительное число;
3. a = 0, b 0; в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ x = b, оно не имеет
корней.
4. Уравнение вида ах
2
+ bx + c = 0, где a, b, c – действительные числа, причем
a 0, называют квадратным уравнением. Если a = 1, то квадратное
уравнение называют приведенным; если a 1 – то неприведенным. Числа a,
b, c носят следующие названия: a – первый коэффициент, b – второй
коэффициент, c – свободный член.
Корни уравнение ax
2
+ bx + c = 0 находятся по формуле




.
Выражение D = b
2
– 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня
Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих действительных корня. В
этом случае говорят, что уравнение имеет один корень.
Используя обозначение D = b
2
– 4ac, можно переписать формулу




в виде


.
Если в квадратном уравнении ax
2
+ bx + c = 0 второй коэффициент b или
свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным.
Для неполного уравнения формула нахождения корней такая:

.
D = p
2
– 4q
8
Для приведенных квадратных уравнений существует теорема Виета, она
заключается в том, что если приведенное квадратное уравнение x
2
+ px + q = 0
имеет действительные корни, то их сумма равна –p, а произведение равно q, т.е.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену.
Биквадратным называется уравнение вида ax
4
+ bx
2
+ c = 0, где a 0.
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной:
положив x
2
= у, придем к квадратному уравнению ay
2
+ by + c = 0.
9
Глава 2. Методы решения уравнений, содержащих параметр
В этой главе мы рассмотрим два основных метода решения уравнений с
параметром: аналитический и графический.
Во многих задачах параметр рассматривается как фиксированное, но
неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это
переменная, причем «равноправная» с другими, присутствующими в примере.
К примеру, при таком взгляде на параметр формы f (х; а) задают функции не с
одной (как ранее), а с двумя переменными. Подобная интерпретация,
естественно формирует аналитический метод решения уравнений с
параметром.
2.1. Алгоритм решения аналитическим методом
Определение: Аналитический метод – это способ «прямого» решения,
повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без
параметра.
Аналитический метод решения задач с параметром самый трудный
способ, требующий высокой математической грамотности.
Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами аналитическим
методом, нужно разобраться в ситуации для конкретного числового значения
параметра. Например, возьмите значение параметра α =1 и ответьте на вопрос:
является ли значение параметра α = 1 искомым для данной задачи.
Далее уже на конкретном примере попробуем разобраться в
аналитическом методе решения уравнений с параметром.
Задача: При каких значениях параметра a уравнение ax
2
+ (a + 4)x + 4 = 0
а) имеет единственный корень; б) имеет два корня?
Решение: а) При a = 0 уравнение ax
2
+ (a + 4)x + 4 = 0 имеет вид 4x + 4 = 0, оно
является уравнением первой степени и имеет единственный корень.
10
При любом a 0 уравнение ax
2
+ (a + 4)x + 4 = 0 квадратное, его дискриминант
равен D = (a + 4)
2
– 16 a = (a – 4)
2
. Уравнение ax
2
+ (a + 4)x + 4 = 0 имеет
единственный корень, если D = 0, т.е. если a = 4.
б) Пусть теперь a – любое действительное число, но a 4, тогда уравнение ax
2
+
(a + 4)x + 4 = 0 квадратное и оно имеет дискриминант D = (a – 4)
2
. Очевидно,
что D > 0, т.к. a 4. В этом случае уравнение ax
2
+ (a + 4)x + 4 = 0 имеет два
корня.
Ответ: а) При a = 0 и при a = 4; б) при a > 4
2.2. Алгоритм решения графическим методом
Второй метод – графический. На практике он довольно часто оказывается
полезным. При решении задач с параметрами иногда удобно строить графики в
плоскости (х,0,у), а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х,0,а), где х
– независимая переменная, а «а» – параметр. Суть графического метода
заключается в том, что для решения уравнения f (x) = 0 строят график функции
y = f (x) и находят абсциссы точек пересечения графика с осью x; эти абсциссы
и являются корнями уравнения. Так, для решения уравнения ax
2
+ bx + c = 0
достаточно построить график квадратичной функции y = ax
2
+ bx + c и найти
абсциссы точек пересечения этого графика с осью x.
При решении уравнений f (х, а) = 0 надо помнить, что в первую очередь
рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается
в ноль коэффициент при старшей степени х квадратного трехчлена f (х, а),
понижая тем самым степень. Квадратное уравнение А(а) х
2
+ В(а) х + С(а) =
0 при А(а) = 0 превращается в линейное, если при этом В(а) ≠ 0, а методы
решения квадратных и линейных уравнений различны.
Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости
от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.
1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем a как функцию от х.
11
3. В системе координат строим график функции a (х) для тех значений
х, которые входят в область определения данного уравнения.
4. Находим точки пересечения прямой a= с, с графиком функции a(х).
Если прямая a = с пересекает график a(х), то определяем абсциссы точек
пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = a(х) относительно х.
5. Записываем ответ .
При решении уравнений с модулем, содержащих параметр, графическим
способом, необходимо построить графики функций и при различных значениях
параметра рассмотреть все возможные случаи.
Сочетание аналитического способа решения с графической
интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения
уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом
формированию элементов исследовательской деятельности.
12
Глава 3. Решение уравнений с параметром
3.1. Аналитический метод
Пример 1. Решите уравнение ах = а
Решение. Если а = 0 , то 0 ∙ х = 0
х – любое действительное число
Если а 0 ,то х =
х = 1
Ответ. При a = 0, x R; при a 0, x = 1.
Пример 2. Решите уравнение х + 2 = ах
Решение. х – ах = -2
х(1 – а) = -2
Если 1 – а = 0 , т.е. а = 1 , то х*0 =-2 , то корней нет
Если 1 – а 0 , т.е. а 1 , то х =

Ответ: При 1 – a = 0 нет корней; при 1 – a 0 x =

.
Пример 3. При каких значениях а уравнение не имеет решений?
Решение. х -2 , дробь равна нулю, когда х = а, значит, уравнение не имеет
решений если а = - 2
Ответ. При а = - 2 нет решений.
Пример 4. Решите уравнение
Решение. При х 2 уравнение равносильно уравнению а + 3 = х – 2, откуда
х = а + 5 . Найдем значение а, при котором х = 2, 2 = а + 5, а = - 3.
Ответ. При а - 3 , х = а + 5; при а = - 3 нет корней.
0
2
=
+
−
x
ax
1
2
3
=
−
+
x
a
13
Пример 5. При каждом значении параметра a решите уравнение ax – 6 = 2a – 3x
Решение. Переписав уравнение в виде (a + 3)x = 2 (a +3) рассмотрим два
случая: a + 3 = 0 и a + 3 0.
Если a = - 3, то любое действительное число x (x R) является корнем
уравнения ax – 6 = 2a – 3x = 0, т.к. 0 ∙ x = 0
Если a - 3, то уравнение ax – 6 = 2a – 3x = 0 имеет единственный корень
x =


= 2.
Ответ. При а = - 3, x R; при а - 3, x = 2.
Пример 6. Найдем все значения параметра b, при каждом из которых корни x
1
и x
2
уравнения x
2
+ bx + b + 8 = 0 различны и удовлетворяют условию
+
– 12x
1
x
2
+ 97 = 0.
Решение. Уравнение x
2
+ bx + b + 8 = 0 имеет два различных корня, если
выполнено условие D = b
2
– 4 (b + 8) = b
2
– 4b – 32 = (b + 4) (b – 8) > 0.
Пусть это условие выполнено, тогда уравнение x
2
+ bx + b + 8 = 0 имеет два
различных корня x
1
и x
2
и для них, по теореме Виета, справедливы равенства x
1
+ x
2
= - b и x
1
x
2
= b + 8.
Преобразуем равенство
+
– 12x
1
x
2
+ 97 = 0, заменив в нем x
1
+ x
2
и x
1
x
2
на –
b и b + 8 соответственно:
(x
1
+ x
2
)
2
– 14x
1
x
2
+ 97 = 0,
(- b)
2
– 14(b+8) +97 = 0,
b
2
– 14b – 15 = 0.
Решив уравнение b
2
– 14b – 15 = 0, найдем его корни b
1
= - 1 и b
2
= 15.
Но равенство
+
– 12x
1
x
2
+ 97 = 0 справедливо лишь тогда, когда
выполняется условие D = b
2
– 4 (b + 8) = b
2
– 4b – 32 = (b + 4) (b – 8) > 0,
поэтому надо проверить, выполняется ли оно при найденных значениях b.
Если b = - 1, то (b + 4) (b – 8) < 0, если b = 15, то (b + 4) (b – 8) > 0.
Отсюда следует, что условия задачи выполняются лишь при b = 15.
Ответ. При b = 15.
14
Пример 7*. Найти все значения параметра a, при которых уравнение x
4
+
(a + 1)x
3
+ (2a + 1)x
2
– (a + 1)x + 1 = 0 на промежутке (-∞; - 1) имеет не менее
двух корней.
Приведем уравнение к виду
  
 
  
y
2
+ (a + 1)y + 2a + 3 = 0, где функция y = f (x) = x -
возрастает на
промежутке (-∞; - 1) от -∞ до f (- 1) = 0. Поэтому исходное уравнение имеет не
менее двух корней на промежутке (-∞; - 1) тогда и только тогда, когда
полученное уравнение имеет два корня y
1,2
(-∞; - 1), т.е. когда
a + 1 > 0 a > - 1
2a + 3 > 0 (a – a
1
) (a – a
2
) > 0 a > 3
+

(a + 1)
2
-4(2a + 3) > 0 a
1,2
= 3 ±

Ответ. a > 3 + 2
Пример 8*. Найдите все такие значения величины x, при которых неравенство
(4 − 2a)x
2
+ (13a − 27)x + (33 − 13a) > 0 выполняется для всех a,
удовлетворяющих условию 1 < a < 3.
Решение.
Преобразуем неравенство следующим образом:
− 2ax
2
+ 13ax − 13a + 4x
2
− 27x + 33 > 0 
(−2x
2
+ 13x − 13) · a + 4x
2
− 27x + 33 > 0.
Неравенство приняло линейный относительно a вид: f(a) = k(x) · a + b(x) > 0,
где k(x) = −2x
2
+ 13x − 13, b(x) = 4x
2
− 27x + 33.
Коэффициенты его зависят от x. В зависимости от знака коэффициента k(x) при
a левая часть неравенства является возрастающей (коэффициент k(x) больше 0)
или убывающей (коэффициент k(x) меньше 0) функцией от a. Если
15
коэффициент k(x) равен 0, то это не зависящая от a функция. Дальнейшее
решение приведём двумя способами. k(x) > 0. Тогда, как отмечено выше, эта
функция возрастает. Поэтому условие положительности функции при a (1; 3)
равносильно условию, что её значение в точке a = 1 неотрицательно. Запишем
эти условия в виде системы:
k(x) > 0,
f(1) > 0.
Если k(x) = 0, то неравенство будет верным для всех a, если b(x) > 0, т. е.
k(x) = 0,
f(0) > 0.
Если k(x) < 0, то функция k(x) · a + b(x) убывает, поэтому условие её
положительности на интервале (1; 3) равносильно тому, что
k(x) < 0,
f(3) > 0.
Решая данные системы, мы приходим к ответу (советуем проделать
читателю их самостоятельно). А мы приведём полное доказательство вторым
способом. II. Поскольку функция f(a) = k(x) · a + b(x) линейная, условие её
положительности на интервале (1; 3) равносильно тому, что
f(1) ≥ 0,
f(3) ≥ 0
(−2x
2
+ 13x − 13) · 1 + 4x
2
− 27x + 33 ≥ 0,
(−2x
2
+ 13x − 13) · 3 + 4x
2
− 27x + 33 ≥ 0,
2x
2
− 14x + 20 ≥0,
−2x
2
+ 12x − 6 ≥ 0,
16
x
2
− 7x + 10 ≥ 0,
x
2
− 6x + 3 ≤ 0 ,
(x − 2)(x − 5) ≥ 0,
(x − 3)
2
− 6 ≤ 0
x (−∞; 2] [5; +∞),
(x − 3 + √ 6)(x − 3 − √ 6) ≤ 0
x (−∞; 2] [5; +∞),
x [3 − √ 6; 3 + √ 6].
Остаётся при помощи метода интервалов, написать ответ.
Ответ. [3 − √ 6; 2] [5; 3 + √ 6].
17
3.2 . Графический метод
Рассмотрим решение двух линейных уравнений с параметром графическим
методом с построением графиков в координатной плоскости Оху.
Задача 1. Решить уравнение ах = 1.
Решение: запишем уравнение в виде системы у=1,
у= ах.
Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат Оху.
Первое уравнение изображается прямой, второе – семейством прямых,
проходящих через начало координат. При а = 0, т. е. второе уравнение примет
вид у = 0, прямые будут параллельны, а значит, система не имеет корней. При
а ≠ 0 прямые пересекаются, значит система имеет корень х =
.
Ответ: если а = 0, то корней нет; если а ≠ 0, то х =
.
Задача 2. Решите уравнение |х| = х – а.
Решение: снова запишем уравнение в виде системы: у= │х│,
у= х – а.
18
В системе координат Оху первое уравнение определяет ломаную, второе –
семейство прямых, параллельных биссектрисе I и III координатных четвертей.
Видно, что при а > 0 нет решений, при а = 0 решений бесконечно много, при
а < 0 уравнение имеет единственное решение: х = -
.
Ответ: если а > 0, то нет корней;
если а = 0, то решений бесконечно много;
если а < 0, то х =-

.
Задача 3: Определить при каких значениях а уравнение |х
2
-2х-3| = а имеет
ровно 3 различных действительных корня.
Решение: Построим график функции 1)

   
2) y = а
1) Сначала избавимся от знака модуля. У нас получится:

   


     
 
 .
Значит, у =
 
 
Это означает, что график функции у =
 
  может быть получен из
графика функции y = x
2
путем переноса на одну единицу вправо и на четыре
единицы вниз.
а=0
19
2) Графиком функции у = а – будет прямая параллельная оси ОХ.
Из графика видно, что только при значении а = 4 уравнение имеет 3 корня.
Ответ: при а = 4.
Задача 4: Найти сумму целых значений числа a, при которых уравнение
|x
2
– 2x – 3| = a имеет четыре корня.
Решение. Чтобы ответить на вопрос задачи, построим на одной
координатной плоскости графики функций
y = |x
2
– 2x – 3| и y = a.
График первой функции y = |x
2
– 2x – 3| будет получен из графика
параболы y = x
2
– 2x – 3 путем симметричного отображения относительно оси
абсцисс той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика,
находящаяся выше оси абсцисс, останется без изменений.
Проделаем это поэтапно. Графиком функции y = x
2
– 2x – 3 является
парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить ее график, найдем
координаты вершины. Это можно сделать по формуле x
0
=


. Таким образом, x
0
=
= 1. Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставим
20
полученное значение для x
0
в уравнение рассматриваемой функции. Получим,
что y
0
= 1 – 2 – 3 = -4. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; -4).
Далее нужно найти точки пересечения ветвей параболы с осями координат.
В точках пересечения ветвей параболы с осью абсцисс значение функции равно
нулю. Поэтому решим квадратное уравнение x
2
– 2x – 3 = 0. Его корни и будут
искомыми точками. По теореме Виета имеем x
1
= -1, x
2
= 3.
В точках пересечения ветвей параболы с осью ординат значение аргумента
равно нулю. Таким образом, точка y = -3 есть точка пересечения ветвей
параболы с осью y. Полученный график изображен на рисунке 1.
Чтобы получить график функции y = |x
2
– 2x – 3|, отобразим симметрично
относительно оси x часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс.
Полученный график изображен на рисунке 2.
График функции y = a – это прямая, параллельная оси абсцисс. Он
изображен на рисунке 3. С помощью рисунка и находим, что графики имеют
четыре общие точки (а уравнение – четыре корня), если a принадлежит
интервалу (0; 4).
Целые значения числа a из полученного интервала: 1; 2; 3. Чтобы ответить
на вопрос задачи, найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.
Ответ: 6.
21
Задача 5: При каких значениях k число 2 находится между корнями
уравнения 2x
2
-
+ (k – 3) (k + 5) = 0?
Решение. Графиком функции y = 2x
2
-
+ (k – 3) (k + 5) является
парабола, ветви которой направлены вверх (a = 2 > 0). Число 2 находится
между корнями x
1
и x
2
, если y(2) < 0.
2 ∙ 2
2
-
∙ 2 + k
2
+2k – 15 < 0
k
2
+ 2k – 8 < 0.
(k + 4) (k – 2) < 0, k (- 4; 2).
Ответ. При k = - 4; при k = 2.
Задача 6: Найдите среднее арифметическое целых значений числа a, при
которых уравнение |x
2
– 4|x| – 1| = a имеет шесть корней.
Решение. Начнем с построения графика функции y = |x
2
– 4|x| – 1|. Для
этого воспользуемся равенством a
2
= |a|
2
и выделим полный квадрат в
подмодульном выражении, написанном в правой части функции:
x
2
– 4|x| – 1 = |x|
2
– 4|x| - 1 = (|x|
2
– 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x|– 2) 2 – 5.
Тогда исходная функция будет иметь вид y = |(|x| – 2) 2 – 5|.
22
Для построения графика этой функции строим последовательно графики
функций:
1) y = (x – 2) 2 – 5 – парабола с вершиной в точке с координатами (2; -5);
(Рис. 1).
2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – часть построенной в пункте 1 параболы, которая
находится справа от оси ординат, симметрично отображается слева от оси OY;
(Рис. 2).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – часть построенного в пункте 2 графика, которая
находится ниже оси x, отображается симметрично относительно оси абсцисс
наверх. (Рис. 3).
Рассмотрим получившиеся рисунки:
Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси абсцисс.
23
С помощью рисунка делаем вывод, что графики функций имеют шесть
общих точек (уравнение имеет шесть корней), если a принадлежит интервалу
(1; 5).
Это можно видеть на следующем рисунке:
Найдем среднее арифметическое целых значений параметра a:

= 3.
Ответ: 3.
Задача 7 : При каждом значении параметра k решите уравнение
x
2
– (3k – 1)x – 3k = 0.
Решение. Уравнение x
2
– (3k – 1)x – 3k = 0 квадратное, вычислим его
дискриминант: D = (3k – 1)
2
+ 12k = (3k + 1)
2
.
Значит, если k -
, то D > 0, и уравнение x
2
– (3k – 1)x – 3k = 0 имеет два
различных корня x
1
=

= 3k и x
2
=

= - 1.
Если же k = -
, то D = 0, и уравнение x
2
– (3k – 1)x – 3k = 0 имеет
единственный корень x
1
=

=

= - 1.
Ответ: при любом k -
два корня: 3k и - 1; при k = -
единственный
корень - 1.
24
Пример 3. (ЕГЭ Диагностическая работа 2017)
Найдите все значения а, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение.
Решение.
Изобразим множество точек, заданное системой неравенств
на плоскости
Искомое множество является пересечением части плоскости, лежащей
внутри параболы, заданной уравнением и двух тупых углов,
ограниченных прямыми и (выделено жирным
контуром).
Найдём абсциссы их точек пересечения:
Решим уравнение:
25
Решим уравнение
Из рисунка следует, что система имеет решения для всех а, лежащих выше
ординаты вершины параболы, но ниже точки пересечения параболы с
прямой то есть для всех a из отрезка и для
Пример 4. (ЕГЭ Диагностическая работа 2018)
Найдите все значения параметра при каждом из которых на
интервале существует хотя бы одно число неудовлетворяющее
неравенству
Решение.
Преобразуем неравенство:
26
Неравенство определяет на плоскости полосу, заключенную
между прямыми и Неравенство задаёт часть
плоскости, ограниченную сверху параболой.
На рисунке видно, что прямая пересекает параболу
при это означает, что на интервале есть , не
удовлетворяющие неравенству, только если
Ответ:
27
Заключение
Задачи с параметрами относятся к одним из самых трудных разделов
школьного курса математики, так как их решение связано с умением проводить
сложные логические построения. Они играют важную роль в формировании
логического мышления и математической культуры, но, как правило, решение
таких уравнений вызывает трудности.
В работе мы углубили свои знания об уравнениях с параметром,
вспомнили, какие виды уравнений бывают, ввели понятие «параметрического»
уравнения. Также нами были рассмотрены два метода решения уравнений:
аналитический и графический. И пришли к выводу, что сочетание
аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных
результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами
более осознанным, способствуя при этом формированию элементов
исследовательской деятельности.
В последней главе мы представили задания, содержащие параметр и их
решение различными способами. Помимо задач из учебника мы рассмотрели
некоторые задания С6 из ЕГЭ.
Кроме того, мы пришли к выводу, что данная тема должна более глубоко
изучаться в школьной программе, так как знания по этой теме помогут
учащимся успешно сдать ОГЭ и ЕГЭ.
Таким образом, считаем, что задачи, поставленные нами, решены, цель
работы достигнута.
28
Список используемой литературы
1. Алгебра. 8 класс : учеб. Для общеобразоват. учреждений /
[С.М.Николький, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин]. – 9-е изд. – М.
: Просвещение, 2013. – 287 с. : ил. – (МГУ – школе).
2. Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – М.:
Научный мир, 2011. -316 с.
3. Математика. 9 класс. Тематические тесты для подготовки к ГИА – 2018.
Алгебра, геометрия, теория вероятности и статистика: учебно-методическое
пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов н/Д: Легион-М,
2011. – 314 с. – (ГИА-9)
4. Потапов М.К. Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс / М. К.
Потапов, А. В. Шевкин. – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2010. – 111с. : ил. –
(МГУ – школе). – ISBN 978-5-09-024151-9.
5. http://nsportal.ru/ap/ap/drugoe/graficheskiy-metod-resheniya-zadach-s-
parametrami
6. http://www.sholaprikumskoe.ru/e/3241666-sravnitelnyiy-analiz-gia-i-ege-s-
proshiyim-god
7. http://www.distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/12/no12_01.htm
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: