Ученики на Учителя.com


Методы решения задач на конкурентность и коллинеарность

- 1 -
Рысева Л. Н., г. Луга.
РАБОТА НАД ЗАДАЧЕЙ
«Лучше решить одну задачу несколькими
методами, чем несколько задач – одним.»
(Д.Пойя).
Тема урока:
Методы решения задач на конкурентность и коллинеарность.
Цель урока: Сформировать умение применять различные методы к
решению задач на конкурентность и коллинеарность. Продолжить работу над
формированием умения работы над задачей (решение задачи различными
способами, формулировка обратного утверждения, постановка и решение
новой задачи на основе полученных результатов, обобщение результата).
Развитие творческих способностей учащихся и формирование
математической культуры.
Ход урока:
I Проверка домашнего задания.
Задача. Дана трапеция ABCD (AC || BD). Доказать, что точка пересечения
прямых, содержащих боковые стороны трапеции, точка пересечения ее
диагоналей и середины ее оснований лежат на одной прямой.
Надо было дома решить задачу различными способами, сформулировать
обратное утверждение, доказать его или опровергнуть.
Замечание.
Класс был разделен на две команды. По очереди из каждой команды
выходил к доске ученик и рассказывал свой способ решения. К доске можно
было выходить не более одного раза. Если некоторый способ решения уже
был рассмотрен какой-либо командой, то другая команда предлагать его не
имела права. За каждый новый способ решения команде засчитывалось очко.
На уроке было рассказано 11 способов решения задачи.
Капитанам команд в качестве домашнего задания было предложено
сформулировать обратное утверждение, доказать его или опровергнуть,
провести исследование.
Приведу некоторые способы решения задачи, предложенные учениками.
А) С помощью подобия.
E Пусть N и M – середины оснований трапеции,
О – точка пересечения ее диагоналей,
Е – точка пересечения прямых, содержащих
боковые стороны трапеции.
B N C
O Проведем отрезки ON и ОМ и докажем,
что углы BON и MOD вертикальные.
A M D Треугольники BOC и DOA подобны,
значит BC/AD = BO/OD, следовательно BN/MD = BO/OD. Треугольники
- 2 -
BON и DОМ подобны по двум пропорциональным сторонам и равенству
углов между ними. Значит углы BON и MOD равны, следовательно они
вертикальные и точки O, M, N лежат на одной прямой.
Соединим отрезком точку Е с точкой М, он пересечет ВС в некоторой точке
К. Из подобия треугольников BEC и AED следует подобие треугольников
CEK и DEM, а значит СК = ВС/2, т.е. К = N. Точки Е, М, N лежат на одной
прямой.
Б) Используя ранее доказанные утверждения.
Лемма 1. Медиана треугольника делит любую его хорду, параллельную
стороне, к которой эта медиана проведена, пополам.
Лемма 2. Хорда трапеции, проходящая через точку пересечения ее
диагоналей параллельно основаниям, делится этой точкой пополам.
E
B N C
К O F
A M D
Проведем медиану ЕМ в треугольнике АЕD и отрезок КF через точку О
параллельно основаниям трапеции. По лемме 1 ЕМ пройдет через середины
ВС и КF, то есть через точки N и О.
В) С помощью гомотетии.
E
B N C
O
A M D
Рассмотрим гомотетию с центром в точке Е, которая переводит ВС в АD и
гомотетию с центром в точке О, которая переводит ВС в АD. Обе эти
гомотетии переводят точку N в точку М. Значит все четыре точки лежат на
одной прямой.
Следствие: ЕА/ВЕ = ЕD/СE = OD/OB = АО/ОС
Г) По теореме Менелая.
Рассмотрим треугольник АСD.
AM DE CO DE CO
MD EC OA EC OA
=
,
но ЕD/СE = АО/ОС, значит
1
AM DE CO DE CO
MD EC OA EC OA
= =
, а следовательно точки
.Е, О, М лежат на одной прямой.
- 3 -
E Аналогично, рассматривая треугольник АВС,
доказываем, что точки N, О, Е лежат на одной
прямой.
B N C
O
A M D
Д) По теореме Чевы.
Рассматриваем треугольник АЕD.
AM DС EB DC EB
MD CE BA CE BA
=
;
DC/CE = AB/BE по теореме Фалеса.
1
AM DС EB DC EB
MD CE BA CE BA
= =
. Значит точки
М, О, Е лежат на одной прямой. N, М, Е лежат на одной прямой (следует из
подобия).
Е) Методом масс.
Пусть ОВ/ОD = ОС/ОА = k. Рассмотрим систему материальных точек 1В, 1С,
kD, kA.
E
B(1) N(2) C(1)
O
A(k) M(2k) D(k)
С одной стороны центр масс лежит на отрезке MN, и в нем сосредоточена
масса 2k+2, с другой стороны – это точка О, в которой сосредоточена масса
2k+2. Так как центр масс единственен, О лежит на отрезке MN.
Рассмотрим систему материальных точек mE, 1A, 1D. О – центр масс этой
системы, значит точки О, Е, М лежат на одной прямой.
E(m)
B(m+1) N C(m+1)
O
A(1) M(2) D(1)
Ж) Векторным методом.
- 4 -
E
B N C
O
A M D
Пусть
Выражаем векторы
,ОMиONчерез p q
и убеждаемся
в коллинеарности этих векторов. Значит точки О, М, N лежат на одной
прямой. Аналогично доказываем, что точки Е, М, N лежат на одной прямой.
Обратное утверждение. .Если прямые, содержащие две противоположные
стороны четырехугольника, пересекаются и точка их пересечения, точка
пересечения диагоналей и середины двух других сторон лежат на одной
прямой, то этот четырехугольник – трапеция.
А) По теореме Чевы.
E
B N C
O
A M D
Точки М, О, Е лежат на одной прямой, согласно теореме Чевы
1
AM DС EB
MD CE BA
=
, следовательно
DC BА
CE BЕ
=
, значит
DЕ АЕ
CE BЕ
=
и треугольники
ВЕС и АЕD подобны. Из их подобия следует равенство углов А и В, а значит
параллельность ВС и АD.
Б) По теореме Менелая.
Рассмотрим треугольник АСD. Согласно теореме Менелая
1
AM DE CO
MD EC OA
=
,
значит ЕD/СE = АО/ОС.
Рассмотрим треугольник ВDС. Согласно теореме Менелая
1
ВN CE DO
NC ED OB
=
,
значит DE/EC = DO/OB, а следовательно АО/ОС = DO/OB и треугольники
ВОС и DОА подобны, значит углы ОАD и ОСВ равны, и прямые ВС и АD
параллельны.
В) С помощью гомотетии.
Пусть прямые ВС и АD не параллельны. Рассмотрим гомотетию с центром О,
которая переводит точку С в точку А. Отрезок ВС перейдет в параллельный
ему отрезок D
1
А, точка В перейдет в точку D
1
, причем D лежит на прямой
ВD
1
. N перейдет в точку M
1
, середину отрезка AD
1
, и точка M лежит на
- 5 -
прямой OM
1
. В треугольнике ADD
1
MM
1
является средней линией, значит
MN и DC параллельны, что невозможно.
Исследование обратного утверждения.
Коллинеарности каких трех точек достаточно для выполнения условия
обратной задачи?
А) Точек М, А, Е достаточно. (Следует из доказательства по теореме Чевы.)
Б) Точек N, О, Е достаточно.
Доказательство:
Рассмотрим гомотетию с центром в точке Е, которая точку В переводит в
точку А. Отрезок ВС перейдет в параллельный ему отрезок АD
1
, точка С – в
точку D
1
, причем D
1
лежит на прямой ЕD. Точка N перейдет в середину
отрезка АD
1
, некоторую точку М
1
. Получили трапецию АВСD
1
, а значит
точки О, М
1
, N, Е лежат на одной прямой, и О – пересечение диагоналей, так
как О лежит на АС. D и D
1
лежат на ОВ и на ЕС, значит D = D
1
, и ABCD –
трапеция.
E
B N C
O
A M D
В) Точек М, N, Е достаточно.
Пусть ВС и АD не параллельны. Через точку N проведем B
1
C
1
параллельно
AD. B
1
N = NC
1
(по лемме 1), значит треугольники BB
1
N и CC
1
N равны, и
равны углы C
1
и B
1
, что не возможно.
Г) Точек О, N, М не достаточно. Контрпример – параллелограмм.
II Решение задачи.
Доказать, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками
касания его сторон вписанной в него окружности, пересекаются в одной
точке.
В Пусть точки А
1
, В
1
, С
1
– точки касания вписанной
окружности сторон треугольника.
ВС
1
= ВА
1
= у , АС
1
= АВ
1
= х , СА
1
= СВ
1
= z.
С
1
А
1
Р
А С
В
1
А) По теореме Чевы.
1 1 1
1 1 1
1
АВ СА ВС
В С А В С А
=
- 6 -
Б) По теореме Менелая.
Пусть АА
1
и ВВ
1
пересекаются в точке Р.
В треугольнике ВВ
1
А:
11
1 1 1
АС ВР В С х ВР z
С В РВ СА у РВ z x
=
+
В треугольнике ВВ
1
С:
11
1 1 1
1
В А СА ВР х ВР z
АС А В РВ z x РВ у
= =
+
,
1
()ВР у z x
РВ хz
+
=
. Таким
образом
11
1 1 1
()
1
АС ВР В С х ВР z х у z x z
С В РВ СА z x РВ у у zx z x
+
= = =
++
, значит точки С, С
1
, Р
лежат на одной прямой.
В) Методом масс.
Рассмотрим систему материальных точек (1/х)А, (1/у)В, (1/z)С. Центр масс
этой системы лежит на отрезках АА
1
, ВВ
1
, СС
1
. Так как центр масс
единственен, эти отрезки пересекаются в одной точке.
Учащимся предлагалось решить задачу тремя способами. После разбора
решений выясняются достоинства каждого способа. Чем хорош метод масс?
– Он позволяет определить отношение соответствующих отрезков. Составим
новую задачу.
Пусть а, в, с – стороны треугольника АВС, А
1
, В
1
, С
1
– точки касания его
сторон вписанной окружности. Определить, в каком отношении
отрезки АА
1
, ВВ
1
, СС
1
делятся этой точкой пересечения.
Обратное утверждение.
Если на сторонах треугольника выбраны точки А
1
, В
1
, С
1
так, что отрезки
АА
1
, ВВ
1
, СС
1
пересекаются в одной точке, то эти точки являются точками
касания сторон треугольника описанной около него окружности.
Утверждение не верно, контрпример – медианы, высоты, биссектрисы.
Обсуждается, какие условия надо наложить, чтобы утверждение стало
верным.
III Домашнее задание.
А) Доказать теорему Чевы методом масс.
Б) Доказать, что отрезки, соединяющие точки касания сторон треугольника
вневписанных окружностей с вершинами треугольника пересекаются в одной
точке. (Точка Нагеля)
Замечание.
В конце урока ребятам сообщается о том, что существуют еще не знакомые
им способы решения задач – с помощью аффинных преобразований, с
помощью проективных преобразований. Предлагаются две темы для
рефератов «Аффинные преобразования», «Проективные преобразования».
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: