Презентация "Решение уравнений 3 и 4-ой степени с помощью теоремы Безу" 9 класс

Департамент образования и молодёжной политики Ханты-Мансийского автономного округа – Югры Бюджетное учреждение высшего образования Ханты-Мансийского автономного округа – Югры «Сургутский государственный педагогический университет» VIII Окружная научная конференция школьников «НОВОЕ ПОКОЛЕНИЕ И ОБЩЕСТВО ЗНАНИЙ»

• Решение уравнений 3 и 4-ой степени с помощью теоремы Безу
• Автор: Крук Виктория, 9 б класс
• МБОУ «Федоровская СО№ 5»,  
• Научный руководитель: Ганина Татьяна Петровна, учитель математики
• МБОУ «Федоровская СОШ № 5» 
• Г.п.Федоровский
• 2018 год

Цель выяснить для каких уравнений 3и 4 степени можно применить теорему Безу и научиться их решать.

• Задачи:
• Ознакомиться с биографией Этьена Безу;
• Проанализировать теорему и следствия из неё;
• Показать конкретные примеры применения теоремы к решению уравнений;
• Ознакомить одноклассников с решением уравнений высших степеней;
• Создать подборку уравнений для практического применения.

Объект:  уравнения 3-ей и 4-ой степени.

• Объект:  уравнения 3-ей и 4-ой степени.
• Предмет исследования - решение уравнений с помощью теоремы Безу.
• В процессе выполнения работы применялись такие методы исследования: изучение литературных и Интернет-ресурсов, сравнение, обобщение, аналогии, анализ информации. Гипотеза - если существует хотя бы один корень уравнения среди делителей свободного члена уравнения 3-ей и 4-ой степени, то при решении таких уравнений можно применять теорему Безу.

Этьен Безу (1739 – 1783)

• Этьен Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года).
• Родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.
• С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.
• Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Колином Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.
• Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шести томный “Курс математики “, который Безу писал пять лет с 1764 по 1769 год. Также, он развил метод неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.
• Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры, о которой будет идти речь ниже.

Теорема Безу

• Если уравнение
• a0 xⁿ+a1 xn-1+a2 xn-2+…+an-1 x+an= 0,
• в котором все коэффициенты целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Учитывая, что в левой части уравнения многочлен n-й степени, то теорема имеет и другую трактовку.

• Теорема. При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x – a остаток равен значению делимого при x = a (буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число).

Отметим, что теорема Безу важна не столь сама по себе, сколько своими следствиями.

•  
• Следствие 1. Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (ax+b) равен значению этого многочлена при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a).
• Следствие 2. Если число a является корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.
• Следствие 3. Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a1, a2 ,… ,an ,то он делится на произведение (x-a1)…(x-an) без остатка.
• Следствие 4. Многочлен степени n имеет не более n различных корней.
• Следствие 5. Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).
• Следствие 6. Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.
• Следствие 7. Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит.

Остановлюсь на рассмотрении некоторых примеров применения теоремы Безу к решению практических задач.

• 1. Найти остаток от деления многочлена
• x3–3x2+6x–5 на двучлен x–2.
• По теореме Безу:
• R=f(2)=23–3*22+6*2–5=3.
• Ответ: R=3.

  При каком значении a многочлен x4+ax3+3x2–4x–4 делится без остатка на двучлен x–2?

•  
• По теореме Безу:
• R=f(2)=16+8a+12–8– 4=8a+16.
• Но по условию R=0,
• значит 8a+16=0, отсюда a=-2.
• Ответ: a=-2.
•  

2. Разложение многочлена на множители

• При разложении на множители полезно помнить, что если число а является корнем многочлена р(х), то p(x) делится на x-а, т. е. представляем в виде p(x)=( x-а)Q(x).
• Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители (например разделить p(x) на x-а «уголком», получим в частном Q(x).
• Любой целый корень многочлена с целым коэффициентами по теореме Безу является делителем свободного члена.

Разложить на множители многочлен f(x)=x4+4x2–5.

• _x4+4x2–5 x–1
• x4–x3 x3+x2+5x+5
• x3+4x2
• x3–x2
• _5x2–5
• 5x2–5x
• _5x–5
•   5x–5
• 0
•  f(x)/(x–1)=x3+x2+5x+5,
•  значит f(x)=(x–1)(x3+x2+5x+5).
•  
•  
•  
•  
•  
•  
•  

• _x3+x2+5x+5 x+1
• x3+x2 x2 +5
• _5x+5
• 5x+5
• 0 
• (x3+x2+5x+5)/(x+1)=x2+5, значит x3+x2+5x+5=(x+1)(x2+5).
• Отсюда f(x)=(x–1)(x+1)(x2+5).
• По следствию 7 (x2+5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.
• Ответ: x4+4x2–5=(x–1)(x+1)(x2+5).
•  

• Среди делителей свободного члена многочлена x4+4x2–5 число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу f(x) делится на (x–1) без остатка:

• Среди делителей свободного члена многочлена x3+x2+5x+5 x= -1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x3+x2+5x+5 делится на (x+1) без остатка:

3. Решение уравнений

• Отметим, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:
• найти все целые делители свободного члена;
• из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);
• левую часть уравнения разделить на (x-a);
• записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;
• решить полученное уравнение.

Решить уравнение х3 - 6х2 + 5х + 12 = 0

•        
• Делители 12: ±1: ±2: ±3: ±4: ±6: ±12
• х = -1 – корень уравнения т.к. - 1 - 6 - 5 + 12 = 0
• _х3 - 6х2 + 5х + 12 х +1
• х3 + х2 х2 – 7х + 12
• _ -7х2 + 5х
• -7х2 – 7х
• _ 12х + 12
• 12х +12
• 0
• (х2 – 7х + 12)(х +1) = 0
• х2 – 7х + 12 = 0 или х + 1 = 0
• х1 + х2 = 7 х1 = 3 х = -1
• х1 х2 = 12 х2 = 4
• Ответ: х1 = 3; х2 = 4: х3 = -1.

Решить уравнение x3-5x2+8x-6=0.

• Делители -6: ±1; ±2; ±3; ±6.
• х = 3 – корень уравнения, т.к. 27-45+24-6=0
• _x3-5x2+8x-6 x-3
• x3-3x2 x2-2x+2
• _ -2x2+8x
• -2x2+6x
• _2x-6
• 2x-6
• 0
• x3-5x2+8x-6=(x2-2x+2)(x-3)
• (x2-2x+2)(x-3)=0
• x2-2x+2=0 – квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D<0.
• Ответ: x=3.

Решить уравнение x4+3x3-13x2-9x+30=0.

• Делители 30: ±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±15; ±30.
• х = 2 – корень уравнения
• _x4+3x3-13x2-9x+30 x–2
• x4-2x3 x3+5x2-3x-15
• _5x3-13x2 
• 5x3-10x2 
• _-3x2-9x 
• -3x2+6x 
• _-15x+30 
• -15x+30
• 0
•  
• Итак, (x-2)(x3+5x2-3x-15)=0

• (x-2)(x3+5x2-3x-15)=0
• Делители -15: ±1; ±3; ±5; ±15
•  х=-5 – корень уравнения
• _ x3+5x2-3x-15 х+5
• x3+5x2 x2 -3
• _ -3x-15 
• -3x-15
• 0
•  
•  
• (x-2)(x+5)(x2-3)=0
• Ответ: x1=2, x2=-5, x3,4=

Вывод

• Я считаю, что смогла выполнить поставленную перед собой цель работы, так как:
• изучила и описала алгоритм решения уравнений 3-4 степени с помощью теоремы Безу;
• представила результаты исследования одноклассникам с целью знакомства решения уравнений 3-4 степени.
• Итогом моей работы является образовательный продукт – создано пособие для учащихся на тему: «Решения уравнений 3-4 степени».

Пособие для учащихся«Решение уравнений высших степеней».

• Решить уравнение 4x3 -2x2 + 2x-4=0
• Решить уравнение x3 +6x2 + 11х+6=0
• Решить уравнение x3 +x2 + 3x-5=0
• Решить уравнение x3 +2x2 -5x-6=0
• Решить уравнение x3 +15x2 + 48x-64=0
• Решить уравнение x3 +7x2 + 8x-16=0
• Решить уравнение x4+4x3-7x2-34x-24=0.
• Решить уравнение x4-4x3-19x2+106x-120=0
• Решить уравнение x4-x3-32x2-12x+144=0.
• Решить уравнение x6+x5-7x4-5x3+16x2+6x-2=0.

Литература

• Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики.
• Виленкин Н.Я. и др. Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики – М., Просвещение, 2007.
• Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс – М., Просвещение, 2008. 4.
• Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики – М., Просвещение, 2008.
• Дорофеев Г.В. Многочлены с одной переменной / Г.В.Дорофеев /. Математика для школьников №3 – 2005.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М., Просвещение, 2006.
• Мордкович А.Г. Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник – М., Мнемозина, 2006.
• Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. Л.Ф.Пичурин – Москва: Просвещение, 1990.