Презентация "Решение уравнений в целых числах"

Решение уравнений в целых числах 1.Метод прямого перебора

• Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и других деталей, чтобы получить груз 30 кг?
Решение: Пусть х – количество деталей массой 3 кг, а у - количество деталей массой 8 кг. Составим уравнение: 3х + 8у=30 Если х = 1, то 8у =27 , следовательно, у не является натуральным числом Если х =2, то 8у =24 , следовательно, у =3 Если х = 3, то 8у =21 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 4, то 8у =18 , следовательно, у не является натуральным числом Если х =5, то 8у =15 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 6, то 8у =12 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 7, то 8у =9 , следовательно, у не является натуральным числом Если х = 8, то 8·3+8>30 , Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.  

2.Использование неравенств

• Решите в натуральных числах уравнение
3x + 6y = 21. Решение. Для уменьшения перебора вариантов рассмотрим неравенства Проведем перебор по неизвестной у. Если y = 1, то x = 5 Если y = 2, то x = 3 Если y = 3, то x = 1. Ответ: (5;1), (3; 2)(;1;3).

3.Использование отношения делимости

• Решить уравнение в целых числах 13x +16y = 300.
Решение. 13x +13y + 3y = 13· 23 +1, 3y −1 = 13(23 − x − y). Отсюда следует, что разность 3y −1 делится на 13. Если 3y −1 = 0, то у не является натуральным числом. Если 3y −1 = 13, то у не является натуральным числом. Если 3y −1 = 26, то y = 9 и x = 12. Если 3y −1 = 39, то у не является натуральным числом. Если 3y −1 = 52, то у не является натуральным числом Если 3y −1 = 65, то y = 22, но16·22 = 352 > 300. Ответ: (12;9)

4. Выделение целой части

• Решить уравнение 8x + 5y = 39 .
Решение. Выразим у из уравнения и выделим целую часть: Отсюда следует, что разность 3x − 4 делится на 5. Если 3x − 4 = 0, то х не является натуральным числом. Если 3x − 4 = 5, то x = 3 и y = 3. Если 3x − 4 = 10, то х не является натуральным числом. Если 3x − 4 = 15, то х не является натуральным числом. Если 3x − 4 = 20, то x = 8, но 8 8 = 64 > 39. Ответ: (3; 3).

5. Метод остатков

• Решите уравнение 3x − 4y = 1 в целых числах.
Решение. Перепишем уравнение в виде 3x = 4y +1. Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая. 1) Если y = 3m, где m Z, то 4y +1 = 12m +1 не делится на 3. 2) Если y = 3m +1, то 4y +1 = 4(3m +1) +1 = 12m + 5 не делится на 3. 3) Если y = 3m + 2, то 4y +1 = 4(3m + 2) +1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, x = 4m + 3. Ответ: x = 4m + 3, y = 3m + 2, где m Z.

6. Метод «спуска»

• Решите в целых числах уравнение 5x − 7 y = 3.
Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю: Дробь должна быть равна целому числу. Положим , где z – целое число. Тогда 2y + 3 = 5z. Из последнего уравнения выразим то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования:

Дробь должна быть целым числом. Обозначим ,где t– целое число. Отсюда z = 2t − 3. Последовательно возвращаемся к неизвестным х и у: y = 3(2t − 3) − t = 5t − 9, x = y + z = 5t − 9 + 2t − 3 = 7t −12.   Ответ: x = 7t – 12, y = 5t – 9, где t – целое число 7.Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю

• Решить уравнение в целых числах 20х + 3у=10
Решение. Коэффициенты при переменных х и у – взаимно простые числа и свободный член - целое число. Коэффициент при х больше коэффициента при у. Представим его в виде суммы двух натуральных слагаемых так, чтобы первое слагаемое было наибольшим числом, кратным числу 3 ( коэффициенту при у). Получим: 20х + 3у = 10 (18 +2) х +3у=10 18х +2х+3у=10 3(6х+у)+2х=10

Обозначим выражение 6х + у = k. (1) Получим уравнение 3k+2x =10 с переменными k и х. Проведем аналогичные преобразования с полученным уравнением: (2 + 1) k + 2 x =10 2(k + x) + k =10 Обозначим выражение k + х = n (2). Получим уравнение 2 n + k =10 k = 10 – 2n Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 – 2n: 10 – 2n +x = n x = 3n – 10  Мы получили одну из формул решений уравнения 20x – 3y = 10 Чтобы получить вторую формулу, подставим в равенство(1) вместо х выражение +3n -10, а вместо k выражение 10-2n: 6(3n – 10)+y = 10 – 20n y = 70 – 20n Формулы х = 3n – 10; y = 70 – 20n при n = 0, ± 1, ±2; … дают все целочисленные решения уравнения 8 . Использование формул Теорема. Если а и b – взаимно просты и пара - какое-нибудь целочисленное решение уравнения aх + by = c, то все целочисленные решения этого уравнения описываются формулами: , где Доказательство: Пусть пара - какое-нибудь целочисленное решение уравнения ах + by = c , т.е. . Сделаем замену переменных: Тогда в новых переменных уравнение примет вид: . Т.к. а и b – взаимно просты, то уравнение имеет решения, если Тогда получим Возвращаясь к старым переменным, получаем, что 8 . Использование формул

• Найти целочисленные решения уравнения
13х = 6у - 19 Решение. Найдем одно целочисленное решение уравнения: , и выполним преобразования Ответ:

9. Использование конечных цепных дробей

• Решите в целых числах уравнение 127x − 52y +1= 0
Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби . Правильную дробь заменим равной ей дробью Тогда получим . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью  

Теперь исходная дробь примет вид: . Повторяя те же рассуждения для дроби получим . Выделяя целую часть неправильной дроби , придем к окончательному результату: Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби –одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби : . Итак, Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросив знаменатель, получим: Из сопоставления полученного равенства с уравнением 127x − 52y +1= 0 следует, что x = 9 , y = 22 будет решением этого уравнения, и согласно теореме все его решения будут содержаться в формулах x = 9 + 52t , y = 22 +127t ,где t Z. Ответ: x = 9 + 52t , y = 22 + 127t , где t Z.   НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Метод разложения на множители а) вынесение общего множителя за скобки

• Решить уравнение : х² + 2ху = 4х + 7
Решение: х² + 2ху - 4х = 7, (х + 2у -2)х = 7 Составим четыре системы уравнений: решив которые, получим Ответ: (1; 5), (7; -1), (-1; -1), (-7; 5)

б) применение формул сокращенного умножения

• Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33.
Решение. Запишем условие задачи в виде уравнения (m + n)(m - n) = 33 т.к(m + n)>(m – n) ,то получим две системы уравнений: Ответ: (17; 16), (7; 4),

в) способ группировки.

• Решить уравнение: xy - 2x + 3y = 16.
Решение: х(у – 2) + 3у – 6 = 10 х(у – 2 ) + 3(у – 2) = 10 (х + 3)(у – 2) = 10 получаем восемь систем уравнений: Решив полученные системы уравнений, получим: Решив полученные системы уравнений, получаем: Ответ: (7;3), (-2; 12), (-1;7), (2;4), (-13;1), (-4;-8), (-5;-3), (-8;0).

Ответ: (7; 3), (-2; 12), (-1; 7), (2; 4), (-13; 1), (-4; -8), (-5; -3), (-8; 0) г) разложение квадратного трехчлена Решить уравнение в целых числах : х² - 5ху+4у²=13 Решение: Решив уравнение х² - 5ху+4у²=0 относительно переменной х , получим . Теперь можно разложить левую часть уравнения на множители. Получаем (х – у)(х – 4у)=13 13 = 1·13=13·1=(-1)·(-13)=(-13)·(-1) Составим четыре системы уравнений: Решив полученные системы уравнений, получим ответ: Ответ: (-3; -4), (3; 4), (17;4), (-17;-4) д) использование параметра

• Решите уравнение 2x²− 2xy + 9x + y = 2 в целых числах.
Решение. Перепишем уравнение в виде 2x² − (2y − 9)x + y − 2 + a = a и разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно х. Находим дискриминант D = 4y² − 44y + 97 −8a. Очевидно, если 97 −8a =121, то дискриминант будет полным квадратом. При этом a = −3 и Отсюда . Уравнение принимает вид (2x −1)(x − y + 5) =−3. -3=1·(-3)=(-1)·3= 3·(-1)=(-3)·1

Из этого уравнения получим следующие системы

уравнений:

Решив эти системы, получим:

Ответ: (1;9); (0;2); (2;8); (−1;3).

2. Метод решения относительно одной переменной Выделение целой части Решить уравнение в целых числах: 3xy + 14x + 17y +71= 0 Решение: 3xy+17y=-14x - 71 ; y(3x+17)=-14x-71 , где 3х + 17≠0 Т.к. у должно быть целым числом, то 3у тоже целое число, следовательно, дробь также целое число,и значит 25 делится на (3х+17). Получаем: 3x + 17 = -5→ 3x = -22→ х не является целым числом 3x + 17 = 5 →3x = -12,→ x = -4, y = -3 3x + 17 = 25→ 3x = 8 → х не является целым числом 3x + 17 = -25→3x = -42→ x = -14,y = -5 3x + 17 = 1→3x = -16→ х не является целым числом 3x +17 = -1→3x = -18→x = -6, y = -13 Ответ:(-4;-3), (-6;-13), (-14;-5) Выделение целой части Найти все целочисленные решения уравнения: 2x²-2xy+9x+y = 2 Решение. Выразим у через х и выделим целую часть: 2xy-y = 2x² +9x - 2 y (2x-1)=2x² + 9x- 2 Т.к. у должно быть целым числом, то дробь также целое, а это значит что число 3 делится на (2х-1). Получаем: если 2x - 1=1, то x = 1, y = 9 если 2x - 1=-1, то x = 0, y = 2 если 2x - 1= 3, то x=2, y = 8 если 2x - 1 = -3, то x = -1, y = 3 Ответ: (1;9), (0;2), (2;8), (-1;3) Использование дискриминанта (неотрицательность)

• Решите уравнение 3(x² + xy + y² ) = x + 8y в целых числах.
Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: 3x² + (3y −1)x + 3y² −8y = 0. Найдем дискриминант уравнения D = −27y² + 90y +1. Данное уравнение имеет корни, если D ≥ 0, т.е. − 27y² + 90y +1≥ 0. Так как y Z, то получаем 0 ≤ y ≤ 3. Перебирая эти значения, получим, что исходное уравнение в целых числах имеет решения (0;0) и (1;1). Ответ: (0;0); (1;1).

Использование дискриминанта (полный квадрат)

• Решите уравнение x² − xy + y² = x + y в целых числах.
Решение. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х: x² − ( y +1)x + y² − y = 0. Его дискриминант D = −3y² + 6y +1 = t² должен быть квадратом некоторого целого числа t. Получаем новое уравнение 3y² − 6y −1+ t² = 0; 3( y −1)² + t² = 4. Из последнего уравнения следует, что t² ≤ 4, т.е.|t| ≤ 2. 1) Если t ² = 0, то уравнение 3(y −1)² = 4 не имеет целого решения у.

2) Если t ² =1, то уравнение 3(y −1)² = 3 имеет целые решения При y = 2 получаем квадратное уравнение x² − 3x + 2 = 0 с корнями x = 1 или x = 2 . При y = 0 получаем квадратное уравнение x² − x = 0 с корнями x = 0 или x =1. 3) Если t ² = 4, то уравнение 3( y −1)² = 0 имеет одно целое решение y =1. При y =1 получаем квадратное уравнение x² − 2x = 0 с корнями x = 0 или x = 2 . Ответ: (1;2); (2;2); (0;0); (1;0), (0;1); (2;1) 3. Метод оценки Приведение к сумме неотрицательных выражений Решить уравнение в целых числах : x²+6xy+13y² = 40. Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат относительно переменной х: x²+6xy+9y²+4y² = 40; (x+3y)²+4y² = 40. Откуда получаем что(2y)² ≤ 40 ,т.е. |y| ≤ 3 Перебирая значения у, получим системы: Ответ: (1; 3), (1;-9), (-1; 9), (-1; -3)   Метод «спуска» ● Решите уравнение 2x² − 5y² = 7 в целых числах. Решение. Так как 2x² - четное число, а 7 - нечетное, то 5y² должно быть нечетным, т.е. у –нечетное. Пусть y = 2z +1, z Z , тогда данное уравнение можно переписать в виде x² −10z² −10z = 6. Отсюда видно, что х должно быть четным. Пусть x = 2m, тогда последнее уравнение примет вид 2m² − 5z(z +1) = 3, что невозможно, так как число z(z +1) - четно, а разность двух четных чисел не может быть равна нечетному числу. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений