Ученики на Учителя.com


Самостоятельная работа "Теория сравнений по модулю"

Самостоятельная работа
по теме:
«Теория сравнений по модулю»
Выполнила:
учитель-практикант
Олейникова Дарья Валерьевна
2021 г.
Вариант 1
Задание 1. Решите сравнения:
а) 7х ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 11)
б) 5𝑥 ≡ 3 (𝑚𝑜𝑑 17)
в) 12𝑥 ≡ 7 (𝑚𝑜𝑑 13).
Задание 2. Найти остаток от деления числа 112
10
на 5.
Задание 3. Докажите, что 30
99
+61
100
делится на 31.
Вариант 2
Задание 1. Решите сравнения:
а) 7х ≡ 5 (𝑚𝑜𝑑 12)
б) 7𝑥 ≡ 9 (𝑚𝑜𝑑 10)
в) 29𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 17)
Задание 2. Найти остаток от деления числа 5
403
на 101.
Задание 3. Доказать, что 43
23
+ 23
43
кратно 66.
Задание 1.
Ответы
Вариант 1
а) 𝑥 ≡ 8 (𝑚𝑜𝑑11) б) 𝑥 ≡ 4 (𝑚𝑜𝑑17) в) 𝑥 ≡ 6 (𝑚𝑜𝑑13)
Задание 2. Нам надо указать число от 0 до 4, которое сравнимо с 112
10
по модулю
5. Известно, что 112 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 5), (112 = 5 · 22 + 2). Мы можем возводить в одну и
ту же степень левую и правую части:
112
10
≡
2
10
(𝑚𝑜𝑑 5)
, где
2
10
=
(2
5
)
2
= 32
2
Знаем, 32 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 5), (32 = 5 · 6 + 2)
Возведем в квадрат обе части:
32
2
≡2
2
(𝑚𝑜𝑑 5)
По свойству транзитивности:
11210 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 5)
Ответ: 4.
Задание 3. 30
99
≡ (−1)
99
≡ – 1 (𝑚𝑜𝑑 31) 61
100
≡ (−1)
100
≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 31).
Вариант 2
Задание 1.
а) 𝑥 ≡ 11 (𝑚𝑜𝑑12) б) 𝑥 ≡ 7 (𝑚𝑜𝑑10) в) 𝑥 ≡ 10 (𝑚𝑜𝑑17)
Задание 2. 101 – простое число. Числа 5 и 101 взаимно простые, а поэтому 5
100
≡
1(𝑚𝑜𝑑101). Возведем это сравнение почленно в четвертую степень. Получим:
5
400
≡ 1(𝑚𝑜𝑑101)
Кроме того, 5
3
≡ 24(mod101). Перемножим эти сравнения:
5
403
≡ 1(𝑚𝑜𝑑101)
Из последнего сравнения получается, что искомым остатком будет число 24.
Задание 3. 43
23
+ 23
43
: (2 · 3 · 11)
1. 43
23
+ 23
43
≡ 1
23
+ 1
43
≡ 2 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2)
2.
43
23
+ 23
43
≡ 1
23
+ 1
43
≡ 1
23
+ (−1)
43
≡ 1 − 1 = 0 (𝑚𝑜𝑑 3)
3.
43
23
+ 23
43
≡
(
−1
)
23
+ 1
43
≡ −1 + 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 11)
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: