Текстовые задачи, использующие уравнения в целых числах
Текстовые задачи, использующие уравнения в целых числах
Рассмотрим несколько текстовых задач, при решении которых возникают уравнения
в целых числах. В таких задачах необходимым условием их решения является правильная
формализация задачи, т.е. введение нужных переменных и составление уравнения (или
системы уравнений), содержащего эти переменные.
Пример 1. Длина дороги, соединяющей пункты А и В, равна 2 км. По этой дороге
курсируют два автобуса. Достигнув пункта А или пункта В, каждый из автобусов
немедленно разворачивается и следует без остановок к другому пункту. Первый автобус
движется со скоростью 51 км/час, а второй – 42 км/час. Сколько раз за 8 часов движения
автобусы встретятся в пункте В, если известно, что первый стартует из пункта А, а второй
– из пункта В?
Решение. Первый автобус проезжает путь между А и В за
второй –
за
Если оба автобуса встретились в пункте В, то за одинаковое время
первый проехал этот путь нечетное число раз, второй – четное число раз. Имеем:
Из последнего уравнения видно, то нечетно и кратно 7. Таких чисел в интервале от
1 до 84 шесть, это 7, 21, 35, 49, 63 и 77. Каждому такому соответствует целое значение
. Таким образом, за 8 часов движения автобусы встретятся в пункте В шесть раз.
Ответ: 6 раз.
Пример 2. Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик – на 2
детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе –
на 1 час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?
Решение. Пусть x > 5 деталей делает мастер за 1 час, тогда ученик за один час делает
x – 2 детали. Пусть также мастер выполняет заказ за t часов, где t – целое число. Согласно
условиям задачи имеем уравнение:
xt = 2(x – 2)(t – 1).
Дробь
должна быть целым числом. При x > 5 это возможно, когда или
Если , то
, 6 детали в заказе.
Если , то
, 8 детали в заказе.
Ответ: из 24 деталей.
Пример 3. Ваня и Петя ходили за грибами. Ваня нашёл 35 грибов, среди которых
было несколько подосиновиков, а Петя грибов не нашёл. Ваня взял себе все белые грибы,
а остальные отдал Пете. Петя, обнаружив среди них червивый подберёзовик, выкинул его.
Сколько было найдено подосиновиков, если доля белых в найденных Ваней грибах
оказалась равна доле подосиновиков в принесенных Петей домой грибах?
Решение. Обозначим число найденных Ваней подосиновиков за , а белых грибов за
y. Cогласно условиям задачи имеем следующее уравнение:
Так как 35 = 5 , а 5 и 7 – взаимно простые числа, то одно из чисел и
должно делиться на 5, а другое – на 7. Перебирая все возможные варианты, получаем, что
либо у = 20 и 34 – у = 14, либо у = 14 и 34 – у = 20.
Тогда
Таким образом, Ваня нашёл 8 подосиновиков.
Ответ: 8 подосиновиков.
Пример 4. Любая из трёх барж разной грузоподъёмности может при полной
загрузке в каждом рейсе перевезти некоторый груз, причём баржа наименьшей
грузоподъёмности – за 15 рейсов. Две другие баржи перевозят весь груз за 3 совместных
рейса. Сколько рейсов необходимо барже наибольшей грузоподъемности для перевозки
всего груза, если недогрузка барж запрещается?
Решение. Пусть х и у – количество рейсов, за которое перевозят весь груз баржи
баржи средней и наибольшей грузоподъёмности (, а объём (или
масса) всего груза равен единице. Тогда
грузоподъёмности этих двух барж.
По условию задачи баржи средней и наибольшей грузоподъёмности перевозят весь
груз за 3 рейса. Тогда имеем уравнение:
Из последнего равенства следует, что число должно быть делителем числа 9.
Если то х = 4, у = 12; если то х = 6, у = 6; если то х = 12,
у = 4. Значит, решением уравнения служат пары (х, у) = {(12, 4); (6, 6); (4, 12)}, а
решением задачи – пара х = 12, у = 4. Таким образом, баржа наибольшей
грузоподъёмности сможет перевезти весь груз за 4 рейса.
Ответ: 4 рейса.
Пример 5. Тринадцать пиратов делят клад золотых монет на палубе шхуны. При
попытке разделить клад поровну оказалось, что остаётся 8 монет. Налетевшим штормом
двух пиратов смыло за борт. Когда оставшиеся пираты снова стали поровну делить клад,
то лишними оказались 3 золотые монеты. Затем в перестрелке погибли ещё три пирата.
Когда уцелевшие пираты опять стали делить клад, то на этот раз оказалось, что остаётся 5
монет. Из какого количества монет состоял клад, если для его переноски достаточно
сундука, вмещающего 500 золотых монет?
Решение. Пусть S ≤ 500 – количество монет, из которых состоит клад, k, m и n –
число монет, которые достались бы каждому пирату при первом, втором и третьем
делении соответственно. Согласно условиям задачи имеем следующую систему
уравнений:
Решим эту систему в целых числах. Рассмотрим сначала уравнение:
Найдем частное решение уравнения, им будет, например, m
0
= 6, n
0
= 8. Вычитая из
равенства равенство 11·6 – 8·8 = 2, мы получим однородное уравнение:
11( − 6) = 8( − 8). Общее решение этого однородного уравнения в целых числах имеет
вид: − 6 = 8l, − 8 = 11l, где l Z. Соответственно, общее решение исходного
уравнения в целых числах имеет вид: m = 8l + 6, = 11l + 8, где l Z.
Следовательно,
.
Рассмотрим теперь уравнение Применим к
этому уравнению алгоритм последовательного уменьшения модулей коэффициентов при
неизвестных. Имеем:
1.
Левая часть последнего уравнения делится на 13. Следовательно, и правая часть
должна делиться на 13, то есть Z.
2.
3.
Вернёмся теперь к исходным переменным:
1.
2.
3.
При имеем
имеем не является натуральным
числом. Значит, в кладе было 333 монеты.
Ответ: 333 монеты.
Рассмотрим другой способ решения задачи: методом подбора.
Составим таблицу количества монет до 500 штук, при делении на 13 пиратов.
1 * 13 + 8 = 21,
2 * 13 + 8 = 34,
...
37 * 13 + 8 = 489.
Всего 37 вариантов.
Далее из всех вариантов оставим только те, деление которых на 11 даёт в остатке 3.
Таких чисел всего три: 47, 190, 333.
Из них найдём число, которое имеет в остатке 5 при его делении на 8. Это число 333.
Ответ: клад состоял из 333 монет.
Пример 6. Абитуриенты сдавали экзамены в течение трёх дней в одних и тех же
аудиториях первого корпуса. Число экзаменовавшихся каждый день абитуриентов в каждой
аудитории было равно числу аудиторий. Если бы экзамены проводились во втором корпусе,
то их можно было провести за два дня, используя каждый день одни и те же аудитории,
причём каждый день в каждой аудитории абитуриентов удалось бы рассадить по рядам так,
что число рядов, а также число людей в ряду было бы равным числу используемых
аудиторий. Найти минимальное возможное число абитуриентов, которые могли бы быть
проэкзаменованы при этих условиях.
Решение. Пусть х и у – количество аудиторий в первом и во втором корпусе
соответственно. Согласно условиям задачи получаем уравнение
.
Решим это уравнение в натуральных числах. Заметим сначала, что у должно
делиться на 3, поэтому у = 3k, k N. Уравнение в этом случае принимает вид:
Выясним, при каких число
является полным квадратом. Ясно, что это
произойдёт тогда и только тогда, когда число 18k также будет полным квадратом. Имеем:
18k = n
2
, n N, откуда следует, что n
2
делится нацело на 18, т.е. n = 6m, m N. Тогда
18k = (6m)
2
, 18k = 36m
2
,
Значит,
Общее число абитуриентов в этом случае равно
Таким образом, минимальное возможное число абитуриентов,
которые могли бы быть проэкзаменованы при данных условиях, равно 432.
Ответ: 432 абитуриента.
Пример 7. Игорь и Володя решали задачу: некоторое заданное трёхзначное число
прологарифмировать по основанию 2, из полученного числа вычесть некоторое заданное
натуральное число и затем разность разделить на то же самое натуральное число. Игорь
перепутал и в первом действии прологарифмировал по основанию 3, а Володя посчитал
правильно. Когда они сверили свои результаты, оказалось, что полученные ими числа
взаимно обратны. Найти исходное трёхзначное число.
Решение. Пусть х – заданное трёхзначное число, а у – заданное натуральное число.
Согласно условию имеем следующее уравнение:
(
Откуда
Заметим, что 6
2
= 36 – двузначное число, 6
3
= 216 –
трёхзначное число, а 6
4
= 1296 – четырёхзначное число. Таким образом, условию задачи
удовлетворяет х = 216 и у = 3.
Ответ: 216.
Задачи для самостоятельного решения
1. Учительница принесла в класс счётные палочки. Дети раскладывали их в
пакетики. Когда разложили по две палочки в каждый пакетик, то осталась одна лишняя
палочка. Затем разложили по 13 штук в пакетик, и тогда осталось 7 лишних палочек.
Когда же палочки разложили по 9 штук в пакетик, то лишних не осталось. Сколько, самое
меньшее, было счётных палочек? Ответ: 189 палочек.
2. Длина дороги, соединяющей пункты А и В, равна 3 км. По этой дороге курсируют
два автобуса. Достигнув пункта А или пункта В, каждый из автобусов немедленно
разворачивается и следует без остановок к другому пункту. Первый автобус движется со
скоростью 50 км/час, а второй – 44 км/час. Сколько раз за 9 часов движения автобусы
встретятся в пункте В, если известно, что первый стартует из пункта А, а второй – из
пункта В?
3. Турфирма планирует экскурсионный маршрут для группы туристов с посещением
городов А, В и С. Для проезда до города А по железной дороге были забронированы все
места в 5 одинаковых вагонах и 1 место ещё в одном вагоне. Для проезда из А и В по
морю были арендованы все места в 7 одинаковых яхтах и 2 места ещё в одной яхте. Для
проезда из В в С были выкуплены все места в 11 одинаковых автобусах и 3 места ещё в
одном автобусе. Определить количество туристов в группе, если на обратный путь заказан
чартерный авиарейс на самолёт, вмещающий не более 400 пассажиров.
4. Один рабочий на новом станке производит за 1 ч целое число деталей, большее 8,
а на старом станке – на 3 детали меньше. На новом станке один рабочий выполняет
дневную норму за целое число часов, а два рабочих вместе выполняют норму на старых
станках на 1 ч быстрее. Из какого количества деталей состоит дневная норма, если
производительность рабочих одинакова?
5. Коля и Толя ходили за грибами. Толя нашёл 21 гриб, среди которых было
несколько подберезовиков, а Коля грибов не нашёл. Толя взял себе все подосиновики, а
остальные отдал Коле. Коля, обнаружив среди них червивый белый гриб, выкинул его.
Сколько было найдено подберезовиков, если доля подосиновиков в найденных Толей
грибах оказалась равна доле подберёзовиков в принесенных Колей домой грибах?
6. Любой из трёх грузовиков разной грузоподъемности при полной загрузке в
каждой ездке может перевезти некоторый груз, причем грузовик с наименьшей
грузоподъёмностью – за 10 ездок. Сколько совместных ездок необходимо двум другим
грузовикам для перевозки всего груза, если недогрузка грузовиков запрещается?
7. Собранные на бахче арбузы уложили в одинаковые контейнеры, положив в
каждый контейнер одинаковое число арбузов. Когда третью часть всех контейнеров
погрузили в автомобили, то число погруженных контейнеров оказалось равно числу
арбузов в одном контейнере. Пятая часть всех собранных арбузов была продана
магазином в течение нескольких дней, причём каждый день продавалось одно и то же
число арбузов, равное квадрату числа дней продажи. Какое минимальное количество
арбузов могло быть собрано?
8. Саша и Олег решали задачу: некоторое заданное трёхзначное число
прологарифмировать по основанию 3, полученное число разделить на некоторое заданное
натуральное число, а затем из частного вычесть единицу. Саша перепутал и в первом
действии прологарифмировал по основанию 5, а Олег посчитал правильно. Когда они
сравнили свои результаты, оказалось, что полученные ими числа взаимно обратны. Найти
исходное трёхзначное число.
Математика - еще материалы к урокам:
- Промежуточная аттестация по математике 4 класс
- Конспект урока "Закрепление по теме «Деление с остатком»" 3 класс
- Конспект урока "Решение задач с помощью квадратных уравнений" 8 класс
- Технологическая карта урока математика "Что узнали. Чему научились. Сложение и вычитание в пределах сотни" 2 класс
- Технологическая карта урока математики "Умножение многозначных чисел, запись которых оканчивается нулями" 4 класс
- Внеклассное занятие по математике "Геометрия ножниц. Задачи на разрезание и складывание фигур"
