Ученики на Учителя.com


Программа элективного курса "Уравнения и неравенства в целых числах. Опорные задачи"

Программа элективного курса «Уравнения и неравенства в целых числах.
Опорные задачи».
Выполнила: Сафаргулова Э. Я.,
учитель математики,
МБОУ СШ №12,
г. Сургута
Пояснительная записка.
Предлагаемый элективный курс в соответствии с ФГОС нового поколения
способствует развитию ученика как субъекта познавательной деятельности
(воспитание гражданина современного общества, человека, который будет учиться
всю жизнь). Поставленная задача требует перехода к новой системно-деятельностной
образовательной парадигме, которая, в свою очередь, связана с принципиальными
изменениями деятельности учителя, реализующего новый стандарт. Также изменены и
технологии обучения, внедрение информационно-коммуникационных технологий
открывает значительные возможности расширения образовательных рамок по
предмету.
Данный элективный курс направлен на формирование у учащихся
компетентностей: практических навыков, способностей применять знания, что
согласуется с Концепцией развития системы образования Ханты-Мансийского
автономного округа - Югры до 2020 года.
Курс предназначен для учащихся 9 классов, которые хотят продолжить
обучение в профильном 10 классе. В вариантах ЕГЭ последних лет самая сложная
задача 19 связана с целыми числами. Такие задачи встречаются в вариантах различных
олимпиад, проводимых для старшеклассников и дающих льготы при поступлении в
вузы. В предлагаемых материалах предпринята попытка систематизировать типы
уравнений и неравенств в целых числах и изложить основные методы решения. Упор
делается на решение уравнений и неравенств различных типов в целых числах.
Цель курса - ознакомление учащихся с основными методами решения уравнений
и неравенств в целых числах.
Другие цели:
• Расширение и углубление знаний учащихся по математике;
• Развитие математического мышления и способностей учащихся;
• Подготовка к сдаче ОГЭ и продолжение успешного обучения в старших
классах(профильных).
Учебно-тематический план:
№ п/п
Тема
Количество часов
1
Уравнения первого порядка с двумя неизвестными
в целых числах.
3
2
Уравнения второго порядка с двумя неизвестными
в целых числах.
4
3
Основные методы решения в целых числах
нелинейных уравнений.
4
4
Уравнения в целых числах, используемых при
решении текстовых задач.
3
5
Неравенства в целых числах. Графические
иллюстрации.
4
Содержание:
1) Уравнения первого порядка с двумя неизвестными в целых числах:
Определение уравнения. Два способа решения уравнения первого порядка с двумя
неизвестными в целых числах.
Деление с остатком.
2) Уравнения второго порядка в целых числах:
3) Основные методы решения в целых числах нелинейных уравнений:
Разложение на множители и перебор вариантов;
Выражение одной переменной через другую, выделение целой части дроби;
нахождение целых делителей числителя.
4) Уравнения в целых числах, используемые при решении текстовых задач:
Определение данного уравнения;
Разложение на множители;
Перебор конечного числа вариантов;
Рассмотрение уравнения как квадратного уравнения относительно какой-то
переменной.
5) Неравенства в целых числах:
• Графические иллюстрации;
• Графическое решение неравенств;
• Выделение из множества решений на координатной плоскости множества
точек с целочисленными координатами.
Необходимым условием решения таких задач является правильная формализация
задачи, т.е. введение нужных переменных и составление уравнений или систем.
Планируемые результаты:
В результате изучения данного элективного курса учащийся должен знать:
• Основные виды уравнений в целых числах;
• Основные методы и приемы решения уравнений, задач, неравенств в целых
числах;
Должен уметь:
• Применять изученные методы и приемы при решении уравнений, задач,
неравенств в целых числах.
Опорные задачи.
1. Уравнения в целых числах - это алгебраические уравнения с двумя и большим
количеством переменных и целыми коэффициентами. Древнегреческий математик
Диофант Александрийский исследовал некоторые типы уравнений в целых числах,
поэтому такие уравнения называются диофантовыми.
Уравнениями первого порядка в целых числах с двумя переменными называются
уравнения вида ax+ bx=c, где a,b,c,x,y∊Ƶ, где a и b взаимно просты.
Рассмотрим два способа решения таких уравнений в целых числах.
Решите уравнение 3х-4y=1.
1)Первый способ:
=−
=−
.143
,143
00
yx
yx
Находим какое-то решение данного уравнения, х
0
=3, у
0
=2, (9-8=1)
3(х-х
0
) – 4(у-у
0
)=0,
3(х-х
0
) = 4(у-у
0
),т.к. 3 не делится на 4,то
х-х
0
=4n, y-y
0
=3n, n∊Ƶ,
х=3+4n,n∊Ƶ, у=2+3n, n∊Ƶ.
Ответ: х=3+4n,n∊Ƶ; y=2+3n, n∊Ƶ.
2) Второй способ:
3x-4y=1, 3x=4y+1,т.к. (3х) 3, то и (4у+1) должна делиться на 3.
Рассмотрим 3 ситуации:
А) у=3к, к∊Ƶ, 4у+1=12к+1, не делится на 3;
Б) у=3к+1, к∊Ƶ, 4у+1=12к+5=3(4к+1)+2, не делится на 3;
В) у=3к+2, к∊Ƶ, 4у+1=(12к+9) 3,
Значит, 3х=12к+9, х=4к+3, к∊Ƶ.
Ответ: х=4к+3, у=3к+2, к∊Ƶ.
Решите уравнение
= -1 в целых числах.
3х-5у=-15
3х
0
-5у
0
= -15
3(х-х
0
)-5(у-у
0
)= 0
3(х-х
0
)=5(у-у
0
)
х-х
0
=5к, к∊Ƶ, х= -5+5к, к∊Ƶ,
у-у
0
=3к, к∊Ƶ, у=3к, к∊Ƶ.
Ответ: х= -5+5к, к∊Ƶ, у=3к, к∊Ƶ.
3) Решите уравнение в целых числах:
36х-25у=1,
25у =36х-1, т.к. левая часть делится на 5 то и (36х-1) должна делиться на 5.
При делении на 5 возможны пять ситуаций:
1) х=5к+1, к∊Ƶ, 36х-1=180к+35, делится на 5;
2) х=5к+2, к∊Ƶ, 36х-1=180к+71, не делится на 5;
3) х=5к+3, к∊Ƶ, 36х-1=180к+107, не делится на 5;
4) х=5к+4, к∊Ƶ, 36х-1=180к+143, не делится на 5;
5) х=5к, к∊Ƶ, 36х-1=180к-1, не делится на 5,
значит х=5к+1, тогда
25у= 180к+35 или 5у=36к+7.
Далее аналогично, если слева делится на 5, то и справа делится на 5, т.е.
1)к=5е,е∊Ƶ, 36к +7=180е+7, не делится на 5;
2) к=5е+1,е∊Ƶ, 36к +7=180е+43, не делится на 5;
3) к=5е+2,е∊Ƶ, 36к +7=180е+79, не делится на 5;
4) к=5е+3,е∊Ƶ, 36к +7=180е+115, делится на 5;
5) к=5е+4,е∊Ƶ, 36к +7=180е+151, не делится на 5,
Значит 5у=180е+115, у=36е+23, х=25е+16, е∊Ƶ.
Ответ:х=25е+16, у=36е+23, е∊Ƶ.
Задачи для самостоятельного решения.
Решите уравнения в целых числах:
1)
32
y
x
+
=1;
2) 19х-21у=2;
3) 19m+84n=1984;
4) 20х-19у=3, найти сумму трех наименьших положительных х, являющихся
корнями данного уравнения.
5) Найти все решения уравнений в натуральных числах:
А)7х +13у=113;
Б)19х+99у=1999.
2. Уравнением в целых числах второго порядка называется уравнение вида
ax
2
+bxy+cy
2
+dx+ey=m, где a,b,c,d,e,m,x,y∊Ƶ.
Основной метод решения данного уравнения - разложение на множители левой
части уравнения, затем задача сводится к перебору конечного числа вариантов,
второй метод- рассмотрение уравнения как квадратного относительно х или у.
Например:
Решить уравнение в целых числах:
2х
2
-3у
2
-5ху = -5, (1)
Левая часть - квадратное относительно х,
D=25у
2
+ 24у
2
= 49у
2
Х
1,2
= , х
1
=3у, х
2
= -
2
y
−
2х
2
-5ху-3у
2
=2(х-3у)(х+
2
y
)=(х-3у)(2х+у),
Уравнение (1) принимает вид
(х-3у)(2х+у)= -5 (2),
Т.к. -5= -1∙5= -5∙1= 1∙(-5)= 5∙(-1),то уравнение (2) заменим четырьмя системами:
1)
=+
−=−
;52
,13
yx
yx
=+
=+−
;52
,262
yx
yx
=
=
.2
,1
x
y
ϵ Ƶ
2)
=+
−=−
;12
,53
yx
yx
=+
=+−
;12
,1062
yx
yx
= ,
7
11
y
Ƶ
3)
−=+
=−
;52
,13
yx
yx
−=+
−=+−
;52
,262
yx
yx
−=
−=
.2
,1
x
y
ϵ Ƶ
4)
−=+
=−
;12
,53
yx
yx
−=+
−=+−
;12
,1062
yx
yx
−= ,
7
11
y
Ƶ
Ответ: (2;1) , (-2;-1).
2. Решить уравнение 5х
2
+5у
2
+8ху+2х-2у+2=0 в целых числах. Рассмотрим
уравнение как квадратное
относительно х.
5х
2
+(8у+2)х +5у
2
-2у +2= 0,
D=16у
2
+8у+1-25у
2
+10у-10= -9у
2
+18у-9= -9(у-1)
2
0, чтобы были корни D=0, т.е.
у=1, тогда х= = -1.
Ответ:(-1;1)
3. 2х
2
-2ху+9х+у=2, нет выражения у
2
.
Выразим у через х:
12
3
5
12
292
2
−
++=
−
−+
=
x
x
x
xx
y
,
выделили целую часть.
Разность 2х-1 может принимать только значения -3, -1, 1, 3.
Перебор.
2х-1
-3
-1
1
3
х
-1
0
1
2
у
3
2
9
8
Ответ: (-1;3), (0;2), (1;9), (2;8).
Для самостоятельного решения:
Решить уравнения в целых числах:
1) 4х
2
-6х-4ху+у
2
+3у=15;
2) х
2
-ху-2х+3у=10;
3) 3х
2
+5ху+2у
2
=7;
4) 5х
2
+4ху+у
2
=121;
5) х
2
-6ху+13у
2
=100.
3. Если уравнения не линейные и не квадратные, как они решаются в целых числах?
Рассмотрим основные методы их решения.
Решить уравнение в целых числах:
Первый способ.
1) х +у=ху, х – ху+у=0,
х(1-у)-(1-у) +1=0, (1-у)(х-1)= -1, (у-1)(х-1)=1,
т.к. 1= 1∙1= -1∙ (-1), то
а) б)
=
=
.2
,2
x
y
=
=
.0
,0
x
y
Ответ: (0;0), (2;2).
Второй способ.
, у=ху-х, у=х(у-1),
1)у-1=0, у=1, решений нет, т.к. 1 0.
2) у 1, х=
1−y
y
, х= = 1+
1
1
−y
,чтобы уравнение имело целые решения, у-1
делитель единицы.
а) у-1=1, у=2, х=2; б) у-1= -1, у=0, х=0.
Ответ: (0;0), (2;2).
Решить уравнение в целых числах:
х
3
+91=у
3
у
3
-х
3
=91, (у-х)(у
2
+ух+х
2
)=91,
т.к.у
3
=х
3
+91, то у
x
и у-х
0,
а х
2
+ху+у
2
0, для любых х и у.
91=1∙91=7∙13=91∙1=13∙7,тогда:
1)
=++
=−
;91
,1
22
xxyy
xy
=−+
+=
;030
,1
2
xx
xy
=
−=
+=
5
6
1
2
1
x
x
xy
(-6; -5) (5;6)
2)
=++
=−
;13
,7
22
xxyy
xy
=++
+=
;0127
,7
2
xx
xy
−=
−=
+=
3
4
7
2
1
x
x
xy
(-4; 3) (-3;4)
3)
=++
=−
;1
,91
22
xxyy
xy
=++
+=
;0276091
,91
2
xx
xy
D
0
, корней нет
4)
=++
=−
;7
,13
22
xxyy
xy
=++
+=
;05413
,13
2
xx
xy
D
0
, корней нет
Ответ: (-6;-5), (5;6), (-4;3), (-3;4).
Первое уравнение мы решили , используя:
1) простой метод-метод перебора;
2) выразили одну переменную через другую, выделили целую часть дроби,
нашли целые делители числителя.
3. Решить уравнение в целых числах:
х
2
+ху+у
2
= х
2
у
2
(1).
1)Легко увидеть, что пара (0;0) – решение уравнения, т.к. 0
2
+0∙0+0
2
=0
2
∙0
2
, 0=0.
2)Запишем уравнение (1) в виде:
(у
2
-1)х
2
-ух-у
2
=0(2)
а)у
2
-1=0, у= 1,
если у=1, то х= -1, (-1;1),
если у= -1, то х=1, (1;-1).
б)у 1, уравнение (2) – квадратное относительно х.
х=
)1(2
34
2
2
−
−
y
yyy
,
т.к. х и у-целое, то 4у
2
-3=a
2
, где a .
4у
2
-a
2
=3, (2у-a), (2y+a)=3,
т.к.3=1∙3= -1∙(-3)=3∙1=(-3)∙(-1),то
1)
=+
=−
;32
,12
ay
ay
=
=
.1
,1
a
y
2)
=+
=−
;12
,32
ay
ay
−=
=
.1
,1
a
y
3)
−=+
−=−
;32
,12
ay
ay
−=
−=
.1
,1
a
y
4)
−=+
−=−
;12
,32
ay
ay
=
−=
.1
,1
a
y
Но у
2
-1 , эти решения не удовлетворяют условию, поэтому ответ: (0;0), (-1;
1), (1;-1).
4. Решить уравнение в целых числах:
х
3
-3у
3
-9z
3
=0?
x
3
=3y
3
+9z
3
, правая часть кратна 3, значит и х- кратно 3,
х=3m,
27m
3
=3y
3
+9z
3
,
9m
3
=y
3
+3z
3
, т.к. 9m
3
кратно 3 и 3z
3
кратно 3, то и у кратно 3, у=3е, е
9m
3
= 27e
3
+3z
3
, 3m
3
= 9e
3
+z
3
, тогда
z
3
=3n, n , 3m
3
=9e
3
+27n
3
,
m
3
=3e
3
+9n
3
и т.д.
получаем, что числа, удовлетворяющие уравнение, всегда кратны 3, сколько бы их на
3 не делили.
Поэтому, единственное решение x=y=z=0.
Ответ: (0;0;0).
5. Решите уравнение в натуральных числах:
y
x
12
2
+
= 1
x
2
y , y ,
2y+x
2
= x
2
y, y(2-x
2
)= - x
2
y= = = 1+
2
2
2
−x
а) x
2
-2=2, б) x
2
-2= -2 в)x
2
-2=1 г) x
2
-2= -1
x= , x
2
=0 x
2
=3 х
2
=1
=
=
0
2
y
y
х ∉N х ∉N x=1
(2;2)
−=
=
1
1
x
x
, -1 ∉N
Ответ: (2;2).
Для самостоятельного решения.
Решить уравнение в целых числах:
1) x+y+z= xyz-в натуральных числах;
2) 19х
3
-17у
3
=51-доказать, что нет решений в целых числах;
3)
12
111
=+
nm
- в натуральных числах;
4) 5х
2
+у
2
+3z
2
-2yz=30.
4. Если решение текстовых задач сводится к решению уравнений в целых
числах, то необходимым условием их решения является правильная формализация
задачи, т.е. введение нужных переменных, составляющих уравнение.
Задача №1.
Длина дороги, соединяющей пункты А и Б, равна 2 км. По этой дороге курсируют два
автобуса. Достигнув пункта А или Б, каждый из автобусов немедленно
разворачивается и без остановок следует к другому пункту. Первый автобус движется
со скоростью 51км/ч, а второй - 42км/ч. Первый стартует из пункта А, второй - из Б.
Сколько раз за 8 часов движения автобусы встретятся в пункте Б?
Решение:
Путь между А и Б, первый проезжает за
51
2
ч, второй за
21
1
ч. Так как автобусы
встречаются в пункте Б, то за одинаковое время первый проедет нечетное число раз, а
второй - четное число раз. Имеем:
51
2
(2n+1)=
21
1
∙2e, n, e
, e, n .
Из системы видно, что е кратно 7, и нечетно , е 84, е = 7; 21; 35; 49; 63; 77.
e
7
21
35
49
63
77
n
8
25
42
69
76
93
Ответ: 6 раз.
Задача №2.
Мастер делает за 1ч целое число деталей больше 5, а ученик на 2 детали меньше. Один
мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе - на 1ч быстрее. Из
какого количества деталей состоит заказ?
Решение:
Пусть, х
5 делает мастер за 1 час, тогда ученик за 1 час делает (х-2) детали. Пусть,
мастер выполняет заказ за t часов, где t . Составляем уравнение:
xt = 2(x-2)(t-1), где x, t,
xt = 2(xt-x-2t+2), xt = 2xt-2x-4t+4,
t =
4
42
−
−
x
x
=
=
−
+−
4
4)4(2
x
x
2 +
4
4
−x
т.к. t , то x-4 при х
5, должны быть делителями 4, т.е.:
х-4=1, х=5, 5=5;
х-4= -1, х=3, 3
5
;
х-4=2, х=6, удовлетворяет, т.к. x
5;
х-4= -2, х=2, 2
5
;
х-4=4, х=8, удовлетворяет, т.к. x
5 ;
х-4= -4, х=0, 0
5
.
1)х=6,t=4,
2) x = 8, t=3.
Заказ состоит из xt деталей, следовательно:
1) xt=6∙4=24,
2) xt=8∙3=24.
Ответ: из 24 деталей.
Для самостоятельного решения:
Например: Мальчик купил 7 карандашей и получил сдачу с одного евро, в которую
входили монеты: «двушки», «трёшки», «пятаки» и «гривенники». Количество двушек
оказалось больше, чем количество пятаков, ровно на столько, на сколько центов их
суммарное достоинство меньше суммарного достоинства пятаков. Количество двушек
и пятаков вместе оказалось больше количества остальных монет ровно на столько, на
сколько центов их суммарное достоинство больше суммарного достоинства остальных
монет. Определить, сколько стоил карандаш и сколько монет было в сдаче.
5. Графическая иллюстрация часто помогает при решении уравнений,
неравенств, систем, связанных с целыми числами. Иногда достаточно несложно
изобразить множество решений на координатной плоскости и выразить из этого
множества точки с целочисленными координатами.
Пример 1.
Найти все пары целых чисел(х;у), удовлетворяющих систему неравенств:
;
Умножим 1-ое на (-1) и сложим со 2-ой строкой.
,
01484
0261843
23
23
+−−+
+−++−
xyxy
xyxy
4х
2
-26х+40
0
;
2х
2
-13х+20
0
,
2х
2
-13х+20=0,
D=169-160=9,
х
1,2
=
х
1
=4, х
2
=2,5
ё 2,5 , то х
т.к. х=3, то
−
−−
14
14
3
3
yy
yy
,
у
3
-4у=0, у=0, у= ;
Ответ: (3;0), (3;2), (3;-2).
Пример 2.
Найти все целочисленные решения системы ,
−+
+−
21
12
2
xy
yxx
Пусть t= x-1, тогда х
2
-2х=х
2
-2х+1-1=(х-1)
2
-1=t
2
-1,
Система примет вид:
+
+−
2
11
2
ty
yt
, тогда
−
−−
ty
ty
2
11
2
,
Изобразим решение данной системы в плоскости oty:
y=2-
y , (0;0)
0
y= -
y
11
2
−− t
-1
2,5
4
+
-
+
2
y
t
-2
2
Из этого рисунка видно, что в полученном множестве есть три точки с
целочисленными координатами (t;y).
(-1;0), (1;0), (0;1), t=x-1, x=t+1.
Решение (х;у):
(0;0), (2;0), (1;1).
Ответ: (0;0), (2;0), (1;1).
Пример 3.
Решите систему неравенств в целых числах:
, из первого неравенства у из второго у , значит 0 .
Значит,
1) у=0, 2)у=1
х=0,х=1,х=2, х=1,у=1.
х=0,у=0;х=2,у=0. Ответ: (0;0), (2;0),
(1;1).
Для самостоятельного решения:
Например: Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем
девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов
увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить вдвое число
пятиэтажных домов, то общее число станет менее 27. Сколько пятиэтажных и
девятиэтажных домов построено?
Контроль и система оценивания
Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам
выполнения учащимися самостоятельных, практических работ. Присутствует как
качественная, так и количественная оценка деятельности. Качественная оценка
базируется на анализе уровня мотивации учащихся, их общественном поведении,
самостоятельности в организации учебного труда, а так же оценке уровня адаптации к
предложенной жизненной ситуации (сдачи экзамена по математике в форме малого
ЕГЭ). Количественная оценка предназначена для снабжения учащихся объективной
информацией об овладении ими учебным материалом и производится по
пятибалльной системе. Итоговый контроль реализуется в двух формах: традиционного
зачёта и тестирования.
Литература:
1. Пукас Ю.О. Похожие задачи и задачи с целыми числами. Архимед. Научно-
методический сборник. М.:АНО Институт логики(Выпуск 6).
2. Галицкий М.Л., Гольдман А.М, Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре.
Москва”Просвещение”.
3. Ю.Н.Макаров, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Г.Феоктистов. Алгебра 7,8,9-учебник
для классов с углубленным изучением математики.
4. Е.В.Галкин”Нестандартные задачи по математике”.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: