Программа элективного курса "Уравнения и неравенства в целых числах. Опорные задачи"

Программа элективного курса «Уравнения и неравенства в целых числах.
Опорные задачи».
Выполнила: Сафаргулова Э. Я.,
учитель математики,
МБОУ СШ №12,
г. Сургута
Пояснительная записка.
Предлагаемый элективный курс в соответствии с ФГОС нового поколения
способствует развитию ученика как субъекта познавательной деятельности
(воспитание гражданина современного общества, человека, который будет учиться
всю жизнь). Поставленная задача требует перехода к новой системно-деятельностной
образовательной парадигме, которая, в свою очередь, связана с принципиальными
изменениями деятельности учителя, реализующего новый стандарт. Также изменены и
технологии обучения, внедрение информационно-коммуникационных технологий
открывает значительные возможности расширения образовательных рамок по
предмету.
Данный элективный курс направлен на формирование у учащихся
компетентностей: практических навыков, способностей применять знания, что
согласуется с Концепцией развития системы образования Ханты-Мансийского
автономного округа - Югры до 2020 года.
Курс предназначен для учащихся 9 классов, которые хотят продолжить
обучение в профильном 10 классе. В вариантах ЕГЭ последних лет самая сложная
задача 19 связана с целыми числами. Такие задачи встречаются в вариантах различных
олимпиад, проводимых для старшеклассников и дающих льготы при поступлении в
вузы. В предлагаемых материалах предпринята попытка систематизировать типы
уравнений и неравенств в целых числах и изложить основные методы решения. Упор
делается на решение уравнений и неравенств различных типов в целых числах.
Цель курса - ознакомление учащихся с основными методами решения уравнений
и неравенств в целых числах.
Другие цели:
Расширение и углубление знаний учащихся по математике;
Развитие математического мышления и способностей учащихся;
Подготовка к сдаче ОГЭ и продолжение успешного обучения в старших
классах(профильных).
Учебно-тематический план:
п/п
Тема
Количество часов
1
Уравнения первого порядка с двумя неизвестными
в целых числах.
3
2
Уравнения второго порядка с двумя неизвестными
в целых числах.
4
3
Основные методы решения в целых числах
нелинейных уравнений.
4
4
Уравнения в целых числах, используемых при
решении текстовых задач.
3
5
Неравенства в целых числах. Графические
иллюстрации.
4
Содержание:
1) Уравнения первого порядка с двумя неизвестными в целых числах:
Определение уравнения. Два способа решения уравнения первого порядка с двумя
неизвестными в целых числах.
Деление с остатком.
2) Уравнения второго порядка в целых числах:
3) Основные методы решения в целых числах нелинейных уравнений:
Разложение на множители и перебор вариантов;
Выражение одной переменной через другую, выделение целой части дроби;
нахождение целых делителей числителя.
4) Уравнения в целых числах, используемые при решении текстовых задач:
Определение данного уравнения;
Разложение на множители;
Перебор конечного числа вариантов;
Рассмотрение уравнения как квадратного уравнения относительно какой-то
переменной.
5) Неравенства в целых числах:
Графические иллюстрации;
Графическое решение неравенств;
Выделение из множества решений на координатной плоскости множества
точек с целочисленными координатами.
Необходимым условием решения таких задач является правильная формализация
задачи, т.е. введение нужных переменных и составление уравнений или систем.
Планируемые результаты:
В результате изучения данного элективного курса учащийся должен знать:
Основные виды уравнений в целых числах;
Основные методы и приемы решения уравнений, задач, неравенств в целых
числах;
Должен уметь:
Применять изученные методы и приемы при решении уравнений, задач,
неравенств в целых числах.
Опорные задачи.
1. Уравнения в целых числах - это алгебраические уравнения с двумя и большим
количеством переменных и целыми коэффициентами. Древнегреческий математик
Диофант Александрийский исследовал некоторые типы уравнений в целых числах,
поэтому такие уравнения называются диофантовыми.
Уравнениями первого порядка в целых числах с двумя переменными называются
уравнения вида ax+ bx=c, где a,b,c,x,yƵ, где a и b взаимно просты.
Рассмотрим два способа решения таких уравнений в целых числах.
Решите уравнение 3х-4y=1.
1)Первый способ:
=
=
.143
,143
00
yx
yx
Находим какое-то решение данного уравнения, х
0
=3, у
0
=2, (9-8=1)
3(х-х
0
) 4(у-у
0
)=0,
3(х-х
0
) = 4(у-у
0
),т.к. 3 не делится на 4,то
х-х
0
=4n, y-y
0
=3n, nƵ,
х=3+4n,nƵ, у=2+3n, nƵ.
Ответ: х=3+4n,nƵ; y=2+3n, nƵ.
2) Второй способ:
3x-4y=1, 3x=4y+1,т.к. (3х) 3, то и (4у+1) должна делиться на 3.
Рассмотрим 3 ситуации:
А) у=3к, кƵ, 4у+1=12к+1, не делится на 3;
Б) у=3к+1, кƵ, 4у+1=12к+5=3(4к+1)+2, не делится на 3;
В) у=3к+2, кƵ, 4у+1=(12к+9) 3,
Значит, 3х=12к+9, х=4к+3, кƵ.
Ответ: х=4к+3, у=3к+2, кƵ.
Решите уравнение
= -1 в целых числах.
-5у=-15
0
-
0
= -15
3(х-х
0
)-5(у-у
0
)= 0
3(х-х
0
)=5(у-у
0
)
х-х
0
=5к, кƵ, х= -5+5к, кƵ,
у-у
0
=3к, кƵ, у=3к, кƵ.
Ответ: х= -5+5к, кƵ, у=3к, кƵ.
3) Решите уравнение в целых числах:
36х-25у=1,
25у =36х-1, т.к. левая часть делится на 5 то и (36х-1) должна делиться на 5.
При делении на 5 возможны пять ситуаций:
1) х=5к+1, кƵ, 36х-1=180к+35, делится на 5;
2) х=5к+2, кƵ, 36х-1=180к+71, не делится на 5;
3) х=5к+3, кƵ, 36х-1=180к+107, не делится на 5;
4) х=5к+4, кƵ, 36х-1=180к+143, не делится на 5;
5) х=5к, кƵ, 36х-1=180к-1, не делится на 5,
значит х=5к+1, тогда
25у= 180к+35 или 5у=36к+7.
Далее аналогично, если слева делится на 5, то и справа делится на 5, т.е.
1)к=5е,еƵ, 36к +7=180е+7, не делится на 5;
2) к=5е+1,еƵ, 36к +7=180е+43, не делится на 5;
3) к=5е+2,еƵ, 36к +7=180е+79, не делится на 5;
4) к=5е+3,еƵ, 36к +7=180е+115, делится на 5;
5) к=5е+4,еƵ, 36к +7=180е+151, не делится на 5,
Значит 5у=180е+115, у=36е+23, х=25е+16, еƵ.
Ответ:х=25е+16, у=36е+23, еƵ.
Задачи для самостоятельного решения.
Решите уравнения в целых числах:
1)
32
y
x
+
=1;
2) 19х-21у=2;
3) 19m+84n=1984;
4) 20х-19у=3, найти сумму трех наименьших положительных х, являющихся
корнями данного уравнения.
5) Найти все решения уравнений в натуральных числах:
А)7х +13у=113;
Б)19х+99у=1999.