Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Решение более сложных целых уравнений"

РЕШЕНИЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ЦЕЛЫХ УРАВНЕНИЙ
Цели: продолжить формирование умения решать целые уравнения;
обобщить и углубить знания учащихся по этому вопросу.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Решите уравнение:
а) х
3
– 4х
2
– 9х + 36 = 0;
б) х
4
+ 7х
2
– 44 = 0;
в) (х
2
– х + 1) (х
2
– х – 7) = 65.
В а р и а н т 2
Решите уравнение:
а) 16х
3
– 32х
2
– х + 2 = 0;
б) х
4
+ 6х
2
– 27 = 0;
в) (х
2
+ х + 6) (х
2
+ х – 4) = 144.
III. Формирование умений и навыков.
Все задания можно разбить на две группы. В первую группу войдут
задания на решение целых уравнений, при этом учащимся в полной мере
потребуются полученные ранее знания, а также умения анализировать,
рассуждать, делать выводы. Во вторую группу войдут задания на решение
целых уравнений с параметром. В классе с невысоким уровнем подготовки
вторую группу заданий можно не выполнять.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 284 (а).
Р е ш е н и е
у
7
– у
6
+ 8у = 8;
у
7
– у
6
+ 8у – 8 = 0;
у
6
(у – 1) + 8 (у – 1) = 0;
(у – 1) = 0; или
у – 1 = 0;
у = 1.
у
6
+ 8 = 0;
у
6
= –8.
Корней нет.
О т в е т: 1.
2. № 274 (а).
Р е ш е н и е
х
3
+ 7х
2
– 6 = 0;
х
3
+ х
2
+ 6х
2
– 6 = 0;
х
2
(х + 1) + 6 (х
2
– 1) = 0;
х
2
(х + 1) + 6 (х + 1) (х – 1) = 0;
(х + 1) (х
2
+ 6х – 6) = 0;
х + 1 = 0; или
х = –1.
х
2
+ 6х – 6 = 0;
D
1
= 9 + 6 = 15;
х
1, 2
= –3 ± .
О т в е т: –1; –3 ± .
3. Решите уравнение: х
4
– 25х
2
+ 60х – 36 = 0.
Р е ш е н и е
х
4
– (25х
2
– 60х + 36) = 0;
х
4
– (5х – 6)
2
= 0;
(х
2
– 5х + 6) (х
2
+ 5х – 6) = 0;
х
2
– 5х + 6 = 0; или
х
1
= 2, х
2
= 3
х
2
+ 5х – 6 = 0;
х
1
= 1, х
2
= –6
О т в е т: –6; 1; 2; 3.
15
15
4. № 275.
Р е ш е н и е
Чтобы найти точку пересечения графика функции у = х
3
– 6х
2
+ 11х – 6 с
осью ОУ, нужно подставить х = 0:
у = 0 – 6 = –6, то есть с осью ОУ график пересекается в точке (0; –6).
Чтобы найти точки пересечения графика с осью ОХ нужно решить
уравнение:
х
3
– 6х
2
+ 11х – 6 = 0;
х
3
– 6х
2
+ 12х – 6 – х = 0;
х
3
– х – 6 (х
2
– 2х + 1) = 0;
х (х
2
– 1) – 6 (х – 1)
2
= 0;
х (х – 1) (х + 1) – 6 (х – 1)
2
= 0;
(х – 1) (х
2
+ х – 6х + 6) = 0;
(х – 1) (х
2
– 5х + 6) = 0;
х – 1 = 0; или
х = 1.
х
2
– 5х + 6 = 0;
х
1
= 2, х
2
= 3.
Значит, ось ОХ график данной функции пересекает в трех точках: (1; 0), (2;
0), (3; 0).
О т в е т: (0; –6), (1; 0), (2; 0), (3; 0).
5. Решите уравнение: (2х
2
– х + 1)
2
+ 6х = 1 + 9х
2
.
Р е ш е н и е
(2х
2
– х + 1)
2
– (9х
2
– 6х + 1) = 0;
(2х
2
– х + 1)
2
– (3х – 1)
2
= 0;
(2х
2
– х + 1 – 3х + 1) (2х
2
– х + 1 + 3х – 1) = 0;
(2х
2
– 4х + 2) (2х
2
+ 2х) = 0;
х
2
– 2х + 1 = 0; или
(х – 1)
2
= 0;
2х
2
+ 2х = 0;
2х (х + 1) = 0;
х = 1.
х = 0 или х = –1.
О т в е т: –1; 0; 1.
6. Решите уравнение: (х
2
– 4) (х
2
+ 2х – 3) = 60.
Р е ш е н и е
Разложим выражения, стоящие в скобках, на множители. Получим:
(х – 2) (х + 2) (х – 1) (х + 3) = 60.
Найдем произведение крайних и средних множителей:
(х
2
+ х – 6) (х
2
+ х – 2) = 60.
С д е л а е м з а м е н у: х
2
+ х – 6 = а. Получим:
а (а + 4) = 60;
а
2
+ 4а – 60 = 0;
а
1
= –10, а
2
= 6.
В е р н е м с я к з а м е н е:
х
2
+ х – 6 = –10; или
х
2
+ х + 4 = 0;
D = 1 – 16 = –15.
Корней нет.
х
2
+ х – 6 = 6;
х
2
+ х – 12 = 0;
х
1
= –4, х
2
= 3.
О т в е т: –4; 3.
2-я г р у п п а.
1. Докажите, что уравнение (х
2
– 2х + 3) (х
2
– 6х + 10) = 2 не имеет
корней.
Р е ш е н и е
Выделим из каждого трехчлена, стоящего в скобках, квадрат двучлена:
((х – 1)
2
+ 2) ((х – 3)
2
+ 1) = 2.
Получаем, что первый множитель принимает значения, не меньшие двух,
а второй множитель – не меньшие единицы.
Тогда произведение может быть равно 2 только в том случае, если
первый множитель равен 2, а второй при этом равен 1. Первый множитель
равен 2 при х = 1. Второй множитель при х = 1 равен 5. Значит, исходное
уравнение корней не имеет.
2. При каких значениях а уравнение х
4
+ ах
2
+ 25 = 0 не имеет корней?
Р е ш е н и е
Биквадратное уравнение не имеет корней в двух случаях: если
дискриминант полученного после замены квадратного уравнения
отрицателен или если это квадратное уравнение имеет только
отрицательные корни.
С д е л а е м з а м е н у: х
2
= t. Получим уравнение:
t
2
+ аt + 25 = 0;
D = а
2
– 100;
D < 0, если а
2
– 100 < 0, то есть а (–10; 10).
Значит, при а (–10; 10) данное биквадратное уравнение корней не
имеет.
Пусть а (–∞; 10) (10; +∞), х
1
и х
2
– корни квадратного уравнения t
2
+ аt + 25 = 0. По теореме Виета, х
1
· х
2
= 25, то есть эти корни одинаковых
знаков.
Если х
1
и х
2
– отрицательны, то х
1
+ х
2
< 0, а по теореме Виета, х
1
+ х
2
=
= –а. Имеем:
х
1
+ х
2
< 0, если –а < 0, то есть а > 0.
О т в е т: (–10; 10) (10; +∞).
3. При каком значении т сумма квадратов корней уравнения х
2
+
+ (2 – т) х – т – 3 = 0 минимальна?
Р е ш е н и е
Данное уравнение должно иметь два корня, то есть дискриминант
должен быть положительным:
D = (2 – т)
2
+ 4 (т + 3) = 4 – 4т + т
2
+ 4т + 12 = т
2
+ 16.
Выражение т
2
+ 16 положительно при любом значении т, то есть данное
уравнение имеет два корня: х
1
и х
2
. По условию сумма х
1
+ х
2
должна быть
минимальна.
Справедливо следующее равенство:
х
1
2
+ х
2
2
= (х
1
+ х
2
)
2
– 2х
1
· х
2
.
По теореме Виета, х
1
+ х
2
= т – 2, х
1
· х
2
= –т – 3.
Подставим полученные выражения в это равенство:
х
1
2
+ х
2
2
= (т – 2)
2
+ 2(т + 3) = т
2
– 4т + 4 + 2т + 6 = т
2
– 2т + 10.
Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена т
2
– 2т + 10:
т
2
– 2т + 10 = (т – 1)
2
+ 9.
Таким образом, имеем:
х
1
2
+ х
2
2
= (т – 1)
2
+ 9.
Выражение (т – 1)
2
+ 9 принимает наименьшее значение при т = 1.
О т в е т: т = 1.
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какое наибольшее количество корней может иметь целое уравнение
пятой степени?
– Какие существуют методы решения целых уравнений? Опишите каждый
из них.
– Как решаются биквадратные уравнения? Сколько корней они могут
иметь? Опишите все возможные случаи.
Домашнее задание:
1. № 358 (г, е), № 284 (б), № 274 (б).
2. Решите уравнение:
а) (х – 2)
2
(х
2
– 4х + 3) = 12;
б) х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 120.
Д о п о л н и те л ь н о: Докажите, что число 1 является корнем уравнения
(2х
2
– 4х + 3) (х
2
– 2х + 2) = 1 и других корней у этого уравнения нет.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: