Презентация "Квадратный трехчлен" 9 класс Макарычев

Подписи к слайдам:
Квадратный трехчлен Учитель математики ГБОУ СОШ №339 Павлова Л.В. Введение
  • Тема «квадратный трехчлен» занимает в курсе алгебры одно из центральных мест.

В блоке «Алгебра» можно выделить 3 основных содержательно-методических линии:

- тождественные преобразования

- уравнения и неравенства

- функции, их свойства и графики

Из «Примерной программы основного общего образования по математике» видно, что тема «Квадратный трехчлен» нашла свое отражение во всех трех аспектах.

Введение
  • Задания, где применяется данная тема включены в материалы ОГЭ (№15 в 1 части, №21 и №24 во второй части) Также данная тема может быть применена и при решении заданий из ЕГЭ (№13 и №15 во второй части ЕГЭ «Профильного»)
  • В учебнике алгебры под реакцией Ю. Н. Макарычев тема «Квадратный трехчлен» рассматривается подробно в 9-м классе. В учебнике под редакцией Ю. М. Колягина ей выделено меньше времени и в 8-м классе (при изучении темы «Теорема Виета»)
  • Однако, следует отметить, что учащиеся знакомятся с квадратным трехчленом еще в 7 классе при изучении тем «Многочлены» и «Разложение многочленов на множители».
Введение
  • В учебнике под редакцией Ю. М. Колягина в 7 классе учащиеся уже знакомятся с один из способов разложения квадратного трехчлена на множители (через формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки)

Например

Важно, что и в старшей школе (10-11 классы) данная тема находит свое применение при решении показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств.

1) Решить уравнение

Решение: Пусть =>

Нет корней

Ответ x=2

2) Решить уравнение:

Решение: ОДЗ:

Пусть t=lgx, тогда

t-2 = 0 => t=2 => lgx=2 => x=100

Ответ x=100

Цели и результаты

Цели:

Исходя из вышеизложенного я бы выделила следующие цели обучения данной теме:

  • Развитие аналитико-логического мышления
  • Установление взаимосвязи между квадратным трехчленом и квадратичной функцией.
  • Развитие умения рационально подходить к решению поставленной задачи.
  • Упрощение восприятия и усвоения материала в старшей школы.
  • Успешная подготовка к сдаче ОГЭ и ЕГЭ

Результаты

В результате обучения учащиеся должны понимать, что такое многочлен, его корни, как определить степень многочлена, знать формулу разложения квадратного трехчлена на множители , где x­1, x2 – корни многочлена и уметь применять эту формулу при решении различных типов задач.

Корень многочлена

корень квадратного трехчлена

выделение квадрата двучлена

квадратный трехчлен (1)

дискриминант квадратного трехчлена

разложение квадратного трехчлена на множители (2)

Теорема о разложении к.т. на множители:

Если

Утверждение:

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени

Старший коэффициент

Свободный член квадратного трехчлена

Количество корней квадратного трехчлена в зависимости от дискриминанта

Многочлен с одной переменной

Многочлен с двумя переменными

одночлен

Многочлен

Разложение многочлена на множители: (вынесение за скобки, формулы сокращенного умножения, группировка)

Переменная

Степень многочлена

Положительное/неположительное/отрицательное/неотрицательное значение выражения

Линейный множитель (ax+b)

квадратные уравнения

Теорема Виета

Числовой коэффициент одночлена

Дискриминант

Неполные квадратные уравнения

Квадратичная функция и ее график (1)

Целое уравнение и его корни(1)

Дробно рациональное уравнение (1,2)

Тригонометрические уравнения (1,2)

Логарифмические уравнения (1,2)

Показательные уравнения (1,2)

Метод интервалов (1,2)

Метод мат индукции (1,2)

Возрастание и убывание функции (1,2)

Наибольшее наименьшее значение функции (1,2)

Дробно линейная функция и ее график (1,2)

Логико-математический анализ

Основные типы задач
  • Нахождение значений выражений
  • Разложение выражения на множители
  • Сокращение дробей
  • Решение квадратных уравнений
  • Решение квадратных неравенств
  • Нахождение наибольшего/наименьшего значения выражения/функции

1) Нахождение значений выражений. Пример. Найти значение выражения:

Решение:

=128 Ответ: 128

2) Разложение выражения на множители: Пример. Разложить на множители:

Решение: =0 => : Ответ:

3) Сокращение дробей: Пример. сократить дробь:

Решение:

Ответ:

4) Решение квадратных уравнений: Пример. а) б)

Решение а): =>

Решение б): Ответ: =1;

5) Решение квадратных неравенств: Пример: x2-6x+9>0

Решение: x2-6x+9=0=>x1=x2=3

Ответ: x (-∞;3 (3;+ ∞)

6) Нахождение наибольшего/наименьшего значения выражения/функции: Пример.

Решение: =(x+3)2+2, тогда

т.к. (x+3)20, то

Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя, то есть

Ответ: 4

Поурочное планирование темы (по учебнику под редакцией Ю. Н. Макарычева)

№ урока

Тема урока

Тип урока

Цели урока

Планируемые результаты

ДЗ

1

Квадратный трехчлен и его корни

Изучение нового материала

Ввести определение квадратного трехчлена, его корней; установить зависимость количества корней квадратного трехчлена от дискриминанта; научить выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

Урок 1-4

Предметные: знать понятие квадратного трехчлена формулу разложения квадратного трехчлена на множители; уметь выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена; раскладывать квадратный трехчлен на множители различными способами.

Личностные: уметь использовать навыки самоанализа, самопроверки, уметь находить и исправлять свои ошибки.

Коммуникативные: вступать в диалог с учителем, участвовать в общей беседе.

Познавательные: осознавать вопрос задачи; уметь находить рациональный способ решения задачи, уметь извлекать необходимую информацию при чтении материала учебника и прослушивании изложения материала учителем.

№59 (б,г,е); № 60 (б,г,); №61 (б,г,); №62(б,г,); №65(б, г,)

2

Разложение квадратного трехчлена на множители

Комбинированный урок (продолжается изучение темы с созданием проблемной ситуации)

Продолжить применение ранее изученного материала при решении задач. Вывести формулу разложения квадратного трехчлена на множители; научить применять эту формулу на практике

№77 (б, г); №78 (б, г); №84 (б) №85 (б)

3

Разложение квадратного трехчлена на множители

Урок закрепление полученных знаний и умений. Промежуточный контроль за состоянием знаний, умений и навыков учащихся

Продолжить изучение темы; выполнить промежуточный контроль за состоянием знаний, умений, навыков учащихся с целью выявления «пробелов»; закрепить применение теоретического материала при решении задач. Продолжить развитие алгоритмического и логического мышления у учащихся

№86 №87, №88, №89

4

Подготовка к контрольной работе по теме «Функции их свойства. Квадратный трехчлен, его корни разложение квадратного трехчлена на множители».

Урок – обобщения и систематизации

(повторение и закрепление)

Закрепление полученных знаний учащимися. Развитие аналитико-логического мышления; развитие алгоритмического мышления; развитие рационального подхода к решению задач. Формирование навыка самоанализа.

Подготови-

тельный

Вариант кр

5

Контрольная работа по теме: «Функции их свойства. Квадратный трехчлен, его корни разложение квадратного трехчлена на множители».

Урок контроля знаний

Выявление знаний и умений учащихся. Формирование навыков самоанализа и самоконтроля.

Формирование навыка регулировать собственную деятельность посредством письменной речи. Формирование навыка выбора наиболее эффективного способа решения задачи

Научить организовывать выделенное на решение задачи время

Предметные: знать и уметь применять полученные знания на практике.

Личностные: использование навыков самоанализа и самоконтроля

Коммуникативные: уметь регулировать собственную деятельность посредством письменной речи

Регулятивные: уметь оценивать достигнутый результат

Познавательные: уметь выбирать рациональные и эффективные способы решения поставленной задачи

Урок №1 Квадратный трехчлен и его корни

1) Организационный этап.

Облако слов, составленное из слов – понятий, которые учащиеся уже знают и нового понятия, выделенного одним цветом. Задача учащихся - определить тему урока.

Цели: Ввести определение квадратного трехчлена, его корней; установить зависимость количества корней квадратного трехчлена от дискриминанта; научить выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

Задачи: научить использовать навыки самоанализа, самопроверки, научить находить и исправлять свои ошибки, научить извлекать необходимую информацию, научить вступать в диалог и аргументировать свое мнение

2) Постановка цели и задач урока.

№74 (неч) Решить уравнение: (Решает 1 учащийся на доске, учитель помогает вопросами, остальные ученики решают в тетради)

3) Актуализация знаний.

1. Повторение темы многочлен

Вопросы: Что такое одночлен? Что такое многочлен? Что такое степень одночлена?

Распределите по столбцам:

Одночлены:

Многочлены:

(3 ст)

(0 ст)

(1 ст)

(6 ст)

2. Вспомнить как решаются квадратные уравнения.

  • №74 (неч) Решить уравнение: (Решает 1 учащийся на доске, учитель помогает вопросами, остальные ученики решают в тетради)

5) Первичная проверка понимания

Задать вопросы: Почему a≠0? На доске выписать примеры различных многочленов и попросить учащихся найти среди ник квадратный трехчлен.

Ответ :

Вопрос: Почему именно эти? Обсудить последний, если b – параметр, то это тоже многочлен?

6) Усвоение новых знаний.

  • Ввести понятие корней квадратного трехчлена.
  • Задать устные вопросы: Что такое уравнение? Что называется корнями уравнения?

    Рассмотрим пример 1 (п3 пар2, стр 20): Найти корни квадратного трехчлена 3x2-2x-5

Корнями квадратного трехчлена ax2+bx+c называются корни уравнения ax2+bx+c=0

  • Первичное усвоение новых знаний.
  • 1. Давайте сформулируем понятие квадратного трехчлена.

    Как вы думаете, если речь идет о трехчлене, сколько должно быть слагаемых в многочлене? Что означает понятие «Квадратный»?

    2. Попробуйте сформулировать определение квадратного трехчлена

    (возможные варианты: трехчлен, где все одночлены 2 степени, трехчлен, где есть одночлен 2 степени)

    3. Дать определение квадратного трехчлена:

Определение. Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2+bx+c, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a≠0

3) Решить № 59 (а, в, д) №60 (а, в) (№59 а – решает учитель, остальное учащиеся под руководством учителя)

4)Выяснить количество корней квадратного трехчлена в зависимости от дискриминанта квадратного трехчлена на примере решение №61(а, в) №62 (а, в)

5)Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Рассмотреть пример 2 (п3 пар2, стр 21)

7) Первичное закрепление.

=

Решить № 64, 65 (a, в)

8) Домашнее задание:

№59 (б, г, е); № 60 (б, г,); №61 (б, г,); №62(б, г,); №65(б, г,)

+ дополнительно (по желанию) №63 (сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна 0, а его свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Найти корни этого трехчлена ax2+bx+c, где

9) Рефлексия (подведение итогов занятия)

Подведение итогов занятия, выставление оценок, объявление галочек за урок (система 5 галочек оценка 5), вопросы по уроку. На специальной доске ставят галочки в одну из ячейки таблицы.

Понял урок, было интерсно

Не понял урок, но было интересно

Понял урок, было не интересно

Не понял урок, было не интересно

Урок №2 Разложение квадратного трехчлена на множители

Ход урока

  • Продолжение изучения темы «Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена
  • Проверка Д/З №64(б, г); №65(б, г)
  • Создание проблемной ситуации
  • Существует ли наименьшее значение выражения/наибольшее значение выражения?

    Так как на прошлом уроке было установлено, что то легко установить, что данное выражение будет наименьшим, если x-6=0, то есть при x=6 наименьшее значение данного выражения равно 32

3)Рассмотреть пример 3 (п2 пар 2 стр 21)

Вопросы: 1. Если 2 четырехугольника имеют одинаковый периметр, одинакова ли у них площадь? Привести пример.

2. Установить опытным путем, что квадрат имеет наибольшую площадь, доказать этот факт.

Решение: Пусть a=x , тогда b=10-x

Найдем Sпрямоугольника:

Выделим квадрат двучлена:

при любом x≠5 отрицательно, то сумма (-x-5)2+25 принимает наибольшее значение при x=5, то есть a=5. Тогда b=10-x=5. Значит площадь будет наибольшая, если a=b, то есть если данный прямоугольник будет квадратом.

II Изучение нового материала

  • Создание проблемной ситуации: сократить дробь: (наводящие вопросы: можно ли числитель разложить на множители?)
  • Решение: Или

    Таким образом

Вывод формулы для разложения Квадратного трехчлена на множители

, где x1, x2 – корни квадратного трехчлена

Так как то

Решить вышеприведенный пример эти способом и сравнить время, затраченное на решение, установив таким образом полезность данный формулы.

III. Закрепление изученного материала

Использование выведенной формулы на практике

Пример №1,2 (стр 25) +№77 (а, в,); №78 (а, в)

Вопрос: Где может быть использована данная формула?

(Ответ: при сокращении дробей)

Пример №3 (стр26) + №84 (а); №85(а)

IV. Домашнее задание

№77 (б, г); №78 (б, г); №84 (б) №85 (б)

Урок №3 Разложение квадратного трехчлена на множители

Ход урока

  • Проверка усвоения знаний. Проверочная работа:

№ задания

Балл

1

1

2

1

3

1

4

2

Кол-во баллов

Оценка

0-2

2

3

3

4

4

5

5

II. Провести анализ проверочной работы, наиболее сложные задания разобрать на доске.

III. Продолжение изучения темы (связь квадратного трехчлена и функции)

  • Построить графики функции:

и

О.О.Ф. x≠5

IV. Домашнее задание: №86 Чем различаются графики функций и построить графики этих функций.

Задание на повторение: №87, №88, №89

Вопрос: В чем различие графиков этих функций?

(Ответ: различна О.О.Ф., на втором графике выколота 1 точка)

Урок №4 Подготовка к контрольной работе по теме «Функции их свойства. Квадратный трехчлен, его корни разложение квадратного трехчлена на множители».

Ход урока:

  • Проверка Д/З . Анализ ошибок допущенных при выполнении д/з и проверочной работы

II. Отработка полученных навыков и умений

  • Дана функция а) f(x)=17x-51. б)

2) Область определения функции y= ϕ(x) отрезок [-6;5]. Найдите нули функции, промежутки возрастания/убывания, наибольшее/наименьшее значение функции.

3) Разложите на множители

а)

Какую формулу «удобнее» использовать при решения данных уравнений ема Виета) (Формулу когда b – четное,

4) Сократите дробь:

Вопросы:

  • Что необходимо для сокращения дроби (разложить на множитель числитель и знаменатель)
  • Вспомните алгоритм разложения на множители:
  • 3. При каких значениях а данное выражение (дробь) не имеет смысла? Почему?

     

  • Cумма положительных чисел a и b равна 50. При каких значениях a и b
  • Их произведение будет наибольшим?

    Решение: Пусть a=x, тогда b=50-x, ab=x(50-x)

    Поскольку отрицательно при любом x≠25, наибольшее значение ab возможно при x=25 и равно оно 625

    (Вспомнить урок №2 и пример 3 стр 21)

  • Вынести за скобки общий множитель
  • Формулы сокращенного умножения
  • Способ группировки
  • Разложение квадратного трехчлена н множители
  • Домашнее задание:
  • Подготовиться к контрольной работе (учитель выдаст подготовительный вариант КР)

Урок №5 Контрольная работа по теме «Функции их свойства. Квадратный трехчлен, его корни разложение квадратного трехчлена на множители».

Контрольная работа

Задание

балл

1

1b

1

2a

1

2b

1

3a

1

3b

1

3c

1

4

2

5

2

балл

оценка

0-5

«2»

6-7

«3»

8-9

«4»

10-11

«5»

Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена
  • Тема «Квадратный трехчлен и его корни» имеет широкое применение в курсе алгебры в 10-11-х классах при решении показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств. За урок учащимся приходится решать большое количество этих уравнений и времени на нахождение корней трехчлена по формуле нет. Поэтому в 9 классе целесообразно рассмотреть частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена. Это можно сделать и на уроках во время изучения тем «Квадратные уравнения» и «квадратные неравенства» Можно ( и наверное – лучше) отвести для усвоения этой темы 1 занятие из элективных курсов.
  • Если
  • Если
  • Если )
  • Если )
  • Способ решения квадратного уравнения
  • Некоторое соотношение между корнями и коэффициентами квадратного трехчлена
Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена
  • Если
  • Например:

    Так как 4+5-9=0, то

    Следовательно

    =

2) Если

Например:

Так как 4-5+1=0, то

Следовательно

=

  • Если
  • )

    Например:

    Так как a=c=2, b=22+1, то

    Следовательно

    =

  • Если
  • )

    Например:

    Так как a=c=3, b=-(32+1), то

    Следовательно

    =

Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена

5) Применять теорему Виета при решении неприведенных квадратных уравнений бывает неудобно ( можно воспользоваться следующим приемом

Тогда:

Например:

Ответ:

6) Используя теорему Виета можно вывести еще некоторое соотношение между корнями и коэффициентами квадратного трехчлена:

То есть:

То есть:=

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» ОГЭ №15 (I часть) При решении квадратных неравенств №21 (II часть) При решении квадратных уравнений №23 (II часть) При построении графиков ЕГЭ «Базовый» №7 При решении квадратных уравнений №17 при решении квадратных неравеств

Далее на слайдах

*все задания взяты с сайта Д. Д. Гущина «Решу ОГЭ»

**все задания взяты с сайта Д. Д. Гущина «Решу ЕГЭ «математика базового уровня»»

***все задания взяты с сайта Д. Д. Гущина «Решу ЕГЭ «математика профильного уровня»»

ЕГЭ «Профильный»

№5 (I часть) Простейшие уравнения

№13 (С-1, II часть) Уравнения

№15 (С-3, II часть). Решение неравенств

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» в заданиях ОГЭ

№15 (I часть) При решении квадратных неравенств

(314579)*

Ответ: 4

№21 (II часть) При решении квадратных уравнений

(338632)* Решите уравнение

№23 (II часть) При построении графиков

(353520)*

Сократим дробь

Построим график

и «выколем точку x=3

Нули функции: x1=2; x2=1

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» в заданиях ЕГЭ «базовый»

№7 при решении квадратных уравнений

(506842)**

x2+11x=-28

x2+11x+28=0

x1=-7 ;x2=-4

Ответ -7

(100879)**

Ответ: -3

№17 при решении квадратных неравенств

(511990)**

(512614)**

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» в заданиях ЕГЭ «профильный»

№5 (I часть) Простейшие уравнения

(№100759)*** (Решите уравнение, в ответ запишите сумму корней)

№13 (С-1, II часть) Уравнения

(№514623)***

a)

Пусть t=, тогда

Ответ: x1=2; x2=

№13 (С-1, II часть) Уравнения

(№516779)***

Ответ:

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» в заданиях ЕГЭ «профильный»

№15 (С-3, II часть) Решение неравенств

(№516333)*** Решите неравенство

Решение:

 

12

-16

3

1

X=1

12

-4

-1

0

По схеме Горнера

p: q: в.к.

x=1: 12-6+3+1=0

Таким образом отмечаем точки: x=-16;x=12зн!ч;x=1;x=2 (зн!)

Ответ:

Формулировка понятия «квадратный трехчлен»

1 этап: Систематизировать другие понятия, входящие в понятие «квадратный трехчлен»: переменная, одночлен, многочлен с одной переменной, многочлен с несколькими переменными, степень многочлена

  • Предложить учащимся ответить устно на вопросы, касающиеся этих понятий
  • (Что такое одночлен? Что такое многочлен? Что такое степень одночлена?)

    2. Предложить учащимся теоретическую самостоятельную работу на понимание этих понятий Распределите по столбцам:

2 этап: Ввести термин «квадратный трехчлен»

Попросить учащихся самостоятельно сформулировать определение задавая наводящие вопросы. Как вы думаете, если речь идет о трехчлене, сколько должно быть слагаемых в многочлене? Что означает понятие «Квадратный»? Обращая внимание на «необходимое» для данного понятия сформулировать определение:

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2+bx+c, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a≠0

3 этап: Проверить усвоение понятия учащимися На доске выписать примеры различных многочленов и попросить учащихся найти среди них квадратный трехчлен.

4 этап: Закрепить понятие «Квадратный трехчлен»

Проверить предыдущее задание и проанализировать допущенные ошибки

Формулировка понятия «квадратный трехчлен»

Формулировка понятия «корень квадратного трехчлена»

1 этап: Систематизировать другие понятия, входящие в данное понятие

Уравнение с одной переменной, корни уравнения

Задать устные вопросы: Что такое уравнение? Что называется корнями уравнения?

2 этап: Ввести понятие «корни квадратного трехчлена»

Корнями квадратного трехчлена ax2+bx+c называются корни уравнения ax2+bx+c=0

3 этап: Закрепление усвоения понятия в процессе решения практических задач

№59(а,в,д); №60(а,в); №61(а,в); №62(а,в) (задания решают учащиеся на доске, учитель контролирует процесс и помогает в случае необходимости)

4 этап: контроль за усвоением данного понятия.

Контроль будет проведен на последующих уроках во время проведения проверочной работы (3 урок по теме) и контрольной работы (5 урок по теме)

Этапы работы с теоремой о разложении квадратного трехчлена на множители:

1 этап: Актуализация ранее полученных знаний.

Вспомните алгоритм разложения многочлена на множители:

  • Вынесение общего множителя за скобки например:
  • Применение формул сокращенного умножения (квадрат суммы и разности, разность квадратов, куб суммы и разности, сумма и разность кубов) (например:
  • Применение «Группировки» (например:

2 этап: Мотивация изучения нового факта.

  • Предложить учащимся разложить на множители выражение: Решение:
  • Показать учащимся формулу , где x1,x2 –корни уравнения Выполнить разложение на множители того же выражения с помощью этой формулы:

Подчеркнуть, что применение этой формулы упрощает решение задачи.

3 этап. Доказательство

  • Привести доказательство справедливости данной формулы «справа налево» (так как это более простое доказательство)
  • (На этом этапе вспомнить полную теорему Виета, когда a≠0)

    2. Привести доказательство справедливости этой формулы «слева направо» (пошагово)

    1 шаг: вынесем старший коэффициент за скобки

    (Вспомните выше рассмотренный пример, что мы делали сначала (вынесли за скобки общий множитель)

    2 шаг: Чем можно заменить . Почему? (

    ==

    3 шаг. Как разложить на множители выражение в скобках? (с помощью группировки)

4 этап: Закрепление вывода справедливости формулы

  • Акцентировать внимание учащихся на понятиях, входящих в формулу: Что такое x? (переменная) x1x2? (числа, корни уравнения) Чем отличается квадратное уравнение от квадратного трехчлена (кв. тр – многочлен, а уравнение - равенство)
  • Составить план доказательства теоремы:
  • Вынести за скобки общий множитель
  • Использую теорему Виета выполнить замену
  • Раскрыть «внутренние» скобки
  • Разложить на множители выражение в скобках с помощью группировки
  • Прорешать несколько задач с использованием данной формулы в обе стороны.

Пример:

Обратить внимание учащихся, что множитель «2» удобно внести в 1-ю скобку (

Обратить внимание учащихся, что в уравнении можно обе части сократить на «-4», а в многочлене нельзя

(

=a

Пример:

Можно проверить с помощью непосредственного перемножения:

Учебно-методический комплекс

Учебник Ю. Н. Макарычев «Алгебра 9 класс»

Презентации к урокам №1, №2, №3, №4, №5 (пример: презентация к уроку №1)

Поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева «алгебра 9 класс»

Рабочая тетрадь по алгебре Т. М. Ерина, М. Ю. Ерина. (к учебнику Ю.Н. Макарычева)

Список литературы
  • Учебник Ю. Н. Макарычев «Алгебра» 7 класс
  • Учебник Ю. Н. Макарычев «Алгебра» 8 класс
  • Учебник Ю. Н. Макарычев «Алгебра» 9 класс
  • Учебник Ш. А. Алимов «Алгебра» 8 класс
  • Учебник Ш. А. Алимов «Алгебра» 9 класс
  • Учебник Ш. А. Алимов «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс