Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"

Тема урока: Отбор корней при решении тригонометрических уравнений
Цели и задачи:
• дидактические: обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Решение
тригонометрических уравнений»; закрепление основных понятий; систематизация
умений и навыков по применению способов отбора корней в тригонометрических
уравнениях.
• развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления,
интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
• воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в
тетради и самостоятельность мышления у учащихся.
Ход урока:
I. Организационный момент. Сформулировать цели и задачи урока.
II. Актуализация знаний учащихся.
1. Назовите вид уравнения и изложите грамотно способ его решения.
а) 2cos
2
х - cos x - 5 = 0
б) sin
2
х + cos x - 8 = 0
в)
3
cos х + sin x = 0
г) sin х -
3
cos x = 1
д) 3cos x - 4sin x = 0 (или 5)
е) 5 sin
2
х — 8sin x cos x + cos
2
x = 0 (или 2)
ж) sin 2х - cosx = 0
з) cos 3х = cos х
2. Установить соответствие:
Zkk
Zkk
Zkk
Zkk
Zkk
Zkk
Zkk
+
+
+−
+
+
,
4
,2
,2
2
,
2
.
,2
,2
2
3.
III. Переход к изучению нового.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических
уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе
решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа
тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения
0cos
1sin
1
1cos
1sin
1cos
0sin
=
−=
=
=
=
−=
=
x
x
tgx
x
x
x
x
множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в
окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть,
если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим
различные способы и приемы при выборе ответа. Для нас важность этой темы связана с
тем, что тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней,
часто встречаются в тематических тестах ЕГЭ; это задание С1 с дополнительным
условием.
При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно
используют один из следующих способов.
● Арифметический способ:
а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся
ограничения;
б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
● Алгебраический способ:
а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и
вычисление корней;
б) исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.
● Геометрический способ:
а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с
учетом имеющихся ограничений;
б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом
имеющихся ограничений.
Сегодня на уроке мы остановимся на наиболее часто применяемых способах отбора
корней и тех способах с которыми мы еще не сталкивались.
IV. Разбор примеров. Решение задач.
№1. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом.
Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период
меньше 2𝜋.
Пример 1.
2
4
3
cos2cos =+
x
x
Решение.
Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно
системе
=
=
;1
4
3
cos
,12cos
x
x
=
=
;,
3
8
,,
Zn
n
x
Zkkx
Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение
;
3
8 n
k
=
;
3
8n
k =
Получаем
,8tk =
Zttn = ,3
Итак,
.,8 Zttx =
}./8{: ZttОтвет
№2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой
окружности (геометрический).
Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических
уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом
круге. В ряде случаев этот прием более наглядный и убедительный.
Пример 1. cos x + cos 2x – cos 3x = 1.
Решение.
cos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0,
2sin x sin 2x – 2sin
2
x = 0,
2sin x (sin 2x – sin x) = 0,
Изобразим серии корней на числовой окружности. Видим, что первая серия включает в
себя корни второй серии, а третья серия включает в себя числа вида
kx
2+=
из корней
первой серии.
Ответ:
Zmn
m
n + ,,
3
2
3
,2
№ 3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями.
;0
2
3
cos
2
sinsin4 =
xx
x
=
=
=
;0
2
3
cos
,0
2
sin
,0sin
x
x
x
+=
=
=
;,
22
3
,
2
,
Zmm
x
Znn
x
Zkkx
+=
=
=
;,
3
2
3
,2
,
Zm
m
x
Znnx
Zkkx
Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда
применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти
способы комбинируются.
Пример 1. Найти корни уравнения
sin 2x = cos x | cos x | , удовлетворяющие
условию x
[0; 2𝜋].
Решение.
sin 2x = cos x | cos x |;
2sin x· cos x - cos x | cos x |=0;
cos x (2sin x - | cos x |)=0;
=+
=−
;0)cossin2(cos
,0cos
;0)cossin2(cos
,0cos
xxx
x
xxx
x
+−=
+=
+=
.,
2
1
,0cos
;,
2
1
,,
2
,0cos
Zmmarctgx
x
Zkkarctgx
Znnx
x
Определим решения систем с помощью числовой окружности.
+=
+=
.,2
2
1
,,
2
Zkkarctgx
Znnx
.,2
2
1
Zmmarctgx +−=
Условию x
[0; 2𝜋] удовлетворяют числа
,
2
=x
,
2
3
=x
2
1
arctgx =
(для первой
системы) и
2
1
arctgx −=
(для второй системы).
}.
2
1
;
2
1
;
2
3
;
2
{: arctgarctgОтвет −
Пример 2. Найти все решения уравнения
,03cos22sin1 =−+ xx
принадлежащие отрезку
].
2
3
;[
Решение.
ОДЗ: cos 3x ≥ 0;
;,2
2
32
2
Znnxn ++−
;,
3
2
63
2
6
Zn
n
x
n
++−
Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге:
Отрезку
]
2
3
;[
принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно
].
2
3
;
6
7
[
.
Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:
1 + sin 2x = 2cos
2
3x ;
sin 2x = cos 6x;
sin 2x - cos 6x=0;
;0)6
2
sin(2sin =−− xx
;0)
4
4sin()2
4
cos(2 =−−
xx
;0)
4
4sin()
4
2cos(2 =−−
xx
=−
=−
.0)
4
4sin(
,0)
4
2cos(
x
x
=−
+=−
.,
4
4
,,
24
2
Zkkx
Znnx
+=
+=
.,
416
,
28
3
Zk
k
x
n
x
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи.
Из первой серии:
;,
2
3
28
3
6
7
Zn
n
+
;,3612928 Znn +
.,271219 Znn
Следовательно n=2, то есть
.
8
11
=x
Из второй серии:
;,
2
3
4166
7
Zn
k
+
;,7212356 Znn +
.,691253 Znn
Следовательно n=5, то есть
.
16
21
=x
}.
16
21
;
8
11
{:
Ответ
VI. Итоги урока.
Итак, мы разобрали различные виды задач, где необходим отбор корней, рассмотрели
несколько способов такого отбора. Вы в дальнейшем можете применять любой из них.
Урок показал, что вы хорошо умеете решать уравнения различных типов (учитель
выставляет оценки учащимся, работавшим у доски, наиболее активным учащимся)
VII. Домашнее задание.
Закрепить дома виды задач.
1) Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку
a) cos 2x + sin x = cos
2
x на [0;2π]
б) sin x + cos x = 0 на [-π;π]
2) Найдите число корней уравнения из [-π;π]
)2sin()(sin
2
3
sin3
22
xxx −++=
+
3) Решите уравнение:
а)
xx sincos2
2
=
б)
xx cos1cos2 =−
Проверочная работа
1. Решить уравнение:
1)
xtgxx cos)2cos1( =+
2)
0
cos1
3sinsin
=
+
−
x
xx
3)
xctgx cos2=
4)
0)1cos)(1sin2( =+−− xx
2. Докажите, что на промежутке
;0
данное уравнение имеет единственный корень,
и найдите его:
tgxxxtgx +=+ sin1sin
3. Решить уравнение:
xxx 4cos6cos2cos =+
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: